ძირითადი ლოგარითმები. რა არის ლოგარითმი? ლოგარითმების ამოხსნა. მაგალითები. ლოგარითმების თვისებები. ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. ასე რომ, დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ჟურნალი ა x+ ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
2. ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ შეინიშნება ლოგარითმის ODZ: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

მიეცით ლოგარითმის ჟურნალი ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:

[წარწერა სურათზე]

კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტში მდგომი ხარისხის მაჩვენებელი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. სწორედ ამას ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ ნომერი ბაიყვანეთ ისეთ ძალამდე, რომ რიცხვი ბამ ძალას აძლევს რიცხვს ა? ეს მართალია: თქვენ მიიღებთ იმავე რიცხვს ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ გახსოვდეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე ასწორედ ამ ფუძიდან უდრის ერთს.
2. ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! იმიტომ რომ ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

\(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)

მოდი უფრო მარტივად ავხსნათ. მაგალითად, \(\log_(2)(8)\) ტოლია იმ სიმძლავრისა, რომელზეც \(2\) უნდა გაიზარდოს \(8\) მისაღებად. აქედან ირკვევა, რომ \(\log_(2)(8)=3\).

ლოგარითმის არგუმენტი და საფუძველი

ნებისმიერ ლოგარითმს აქვს შემდეგი „ანატომია“:

ლოგარითმის არგუმენტი ჩვეულებრივ იწერება მის დონეზე, ხოლო ფუძე იწერება ქვესკრიპტით, რომელიც უფრო ახლოსაა ლოგარითმის ნიშანთან. და ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "ლოგარითმი ოცდახუთიდან ხუთამდე".

როგორ გამოვთვალოთ ლოგარითმი?

ლოგარითმის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას: რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს საფუძველი არგუმენტის მისაღებად?

Მაგალითად, გამოთვალეთ ლოგარითმი: ა) \(\log_(4)(16)\) ბ) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) გ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ა) რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს \(4\) რომ მივიღოთ \(16\)? ცხადია მეორე. Ამიტომაც:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

გ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(5)\) რომ მივიღოთ \(1\)? რომელი ძალა განაპირობებს ნებისმიერ ნომერ პირველს? ნული, რა თქმა უნდა!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

დ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(7)\) რომ მივიღოთ \(\sqrt(7)\)? ჯერ ერთი, ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ე) რა ძალამდე უნდა გაიზარდოს \(3\) \(\sqrt(3)\) მისაღებად? ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის წილადი სიძლიერე, რაც ნიშნავს, რომ კვადრატული ფესვი არის \(\frac(1)(2)\) სიძლიერე.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

მაგალითი : გამოთვალეთ ლოგარითმი \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

რატომ გამოიგონეს ლოგარითმი?

ამის გასაგებად, მოდით ამოხსნათ განტოლება: \(3^(x)=9\). უბრალოდ შეუსაბამეთ \(x\), რათა განტოლება იმუშაოს. რა თქმა უნდა, \(x=2\).

ახლა ამოხსენით განტოლება: \(3^(x)=8\).რის ტოლია x? Ამაშია ზუსტად ამის აზრი.

ყველაზე ჭკვიანი იტყვის: "X არის ორზე ცოტა ნაკლები". ზუსტად როგორ ჩავწეროთ ეს რიცხვი? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოიგონეს ლოგარითმი. მისი წყალობით, აქ პასუხი შეიძლება დაიწეროს როგორც \(x=\log_(3)(8)\).

მინდა ხაზი გავუსვა იმას, რომ \(\log_(3)(8)\), მოსწონს ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. დიახ, გამოიყურება უჩვეულო, მაგრამ მოკლეა. რადგან თუ გვინდოდა მისი დაწერა ათწილადად, ასე გამოიყურებოდა: \(1.892789260714.....\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(4^(5x-4)=10\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები

როგორც ლოგარითმის განმარტებაშია ნათქვამი, მისი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი გარდა ერთი \((a>0, a\neq1)\). და ყველა შესაძლო საფუძველს შორის არის ორი, რომელიც ხდება ისე ხშირად, რომ მათთან ერთად გამოიგონეს სპეციალური მოკლე აღნიშვნა ლოგარითმებისთვის:

ბუნებრივი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ეილერის რიცხვი \(e\) (დაახლოებით \(2.7182818…\)), ხოლო ლოგარითმი იწერება როგორც \(\ln(a)\).

ანუ \(\ln(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(e)(a)\)

ათწილადი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია 10, იწერება \(\lg(a)\).

ანუ \(\lg(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(10)(a)\), სადაც \(a\) არის რაღაც რიცხვი.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ლოგარითმს ბევრი თვისება აქვს. ერთ-ერთ მათგანს ეწოდება "ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა" და ასე გამოიყურება:

ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან. ვნახოთ ზუსტად როგორ გაჩნდა ეს ფორმულა.

გავიხსენოთ ლოგარითმის განმარტების მოკლე აღნიშვნა:

თუ \(a^(b)=c\), მაშინ \(\log_(a)(c)=b\)

ანუ \(b\) იგივეა, რაც \(\log_(a)(c)\). მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ \(\log_(a)(c)\) \(b\)-ის ნაცვლად ფორმულაში \(a^(b)=c\). აღმოჩნდა \(a^(\log_(a)(c))=c\) - მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ლოგარითმების სხვა თვისებები. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ და გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები ლოგარითმებით, რომელთა პირდაპირ გამოთვლა რთულია.

მაგალითი : იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(36^(\log_(6)(5))\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(25\)

როგორ დავწეროთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. პირიქითაც მართალია: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმად. მაგალითად, ვიცით, რომ \(\log_(2)(4)\) უდრის ორს. შემდეგ ორის ნაცვლად შეგიძლიათ დაწეროთ \(\log_(2)(4)\).

მაგრამ \(\log_(3)(9)\) ასევე უდრის \(2\), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ \(2=\log_(3)(9)\) . ანალოგიურად, \(\log_(5)(25)\), და \(\log_(9)(81)\) და ა.შ. ანუ გამოდის

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ამრიგად, თუ გვჭირდება, შეგვიძლია დავწეროთ ორი ლოგარითმად ნებისმიერი ფუძით სადმე (განტოლებაში, გამოსახულებაში თუ უტოლობაში) - ჩვენ უბრალოდ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კვადრატში.

იგივეა სამმაგი – ის შეიძლება დაიწეროს როგორც \(\log_(2)(8)\), ან როგორც \(\log_(3)(27)\), ან როგორც \(\log_(4)( 64) \)... აქ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კუბში:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

და ოთხთან ერთად:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

და მინუს ერთით:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

და ერთი მესამედით:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

ნებისმიერი რიცხვი \(a\) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

მაგალითი : იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(1\)

(ბერძნული λόγος - "სიტყვა", "კავშირი" და ἀριθμός - "რიცხვი") რიცხვები ბდაფუძნებული ა(ლოგი α ბ) ეწოდება ასეთ რიცხვს გ, და ბ= გ, ანუ ჩანაწერების ჟურნალი α ბ=გდა b=aგექვივალენტები არიან. ლოგარითმი აზრი აქვს, თუ a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Სხვა სიტყვებით ლოგარითმინომრები ბდაფუძნებული აჩამოყალიბებულია მაჩვენებლის სახით, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x= log α ბ, უდრის a x =b განტოლების ამოხსნის.

Მაგალითად:

ჟურნალი 2 8 = 3, რადგან 8 = 2 3.

ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ ლოგარითმის მითითებული ფორმულირება შესაძლებელს ხდის დაუყოვნებლივ განსაზღვროს ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მოქმედებს როგორც ფუძის გარკვეული ძალა. მართლაც, ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმების თემა მჭიდრო კავშირშია თემასთან რიცხვის ძალა.

ლოგარითმის გამოთვლა ეწოდება ლოგარითმი. ლოგარითმი არის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმების აღებისას ფაქტორების პროდუქტები გარდაიქმნება ტერმინების ჯამებად.

გაძლიერებაარის ლოგარითმის შებრუნებული მათემატიკური მოქმედება. პოტენციაციის დროს მოცემული ბაზა ამაღლებულია გამოხატვის ხარისხამდე, რომელზედაც ხდება პოტენციაცია. ამ შემთხვევაში ტერმინების ჯამები გარდაიქმნება ფაქტორების ნამრავლად.

საკმაოდ ხშირად, რეალური ლოგარითმები გამოიყენება ბაზებით 2 (ორობითი), ეილერის რიცხვი e ≈ 2.718 (ბუნებრივი ლოგარითმი) და 10 (ათწილადი).

ამ ეტაპზე მიზანშეწონილია განიხილოს ლოგარითმის ნიმუშებიჟურნალი 7 2 , ლნ √ 5, lg0.0001.

ხოლო ჩანაწერებს lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 აზრი არ აქვს, რადგან პირველში უარყოფითი რიცხვია მოთავსებული ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მეორეში არის უარყოფითი რიცხვი. ფუძეში, ხოლო მესამეში არის უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთეული ბაზაზე.

ლოგარითმის განსაზღვრის პირობები.

ცალკე უნდა განვიხილოთ პირობები a > 0, a ≠ 1, b > 0.რომლებითაც მივიღებთ ლოგარითმის განმარტება.მოდით განვიხილოთ, რატომ იქნა მიღებული ეს შეზღუდვები. ამაში დაგვეხმარება x = log α ფორმის ტოლობა ბ, რომელსაც ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.

ავიღოთ პირობა a≠1. ვინაიდან ერთი ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ უდრის ერთს, მაშინ ტოლობა x=log α ბშეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b=1, მაგრამ ჟურნალი 1 1 იქნება ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, ჩვენ ვიღებთ a≠1.

დავამტკიცოთ პირობის აუცილებლობა a>0. ზე a=0ლოგარითმის ფორმულირების მიხედვით შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b=0. და შესაბამისად მაშინ ჟურნალი 0 0შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერ არანულოვან ხარისხზე არის ნული. ეს გაურკვევლობა შეიძლება აღმოიფხვრას მდგომარეობით a≠0. Და როცა ა<0 ჩვენ უნდა უარვყოთ ლოგარითმის რაციონალური და ირაციონალური მნიშვნელობების ანალიზი, რადგან რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი განისაზღვრება მხოლოდ არაუარყოფითი ბაზებისთვის. სწორედ ამ მიზეზით არის გათვალისწინებული პირობა a>0.

და ბოლო პირობა b>0გამომდინარეობს უთანასწორობიდან a>0, ვინაიდან x=log α ბ, და ხარისხის მნიშვნელობა დადებითი ბაზით აყოველთვის პოზიტიური.

ლოგარითმების მახასიათებლები.

ლოგარითმებიხასიათდება გამორჩეული მახასიათებლები, რამაც გამოიწვია მათი ფართო გამოყენება მტკივნეული გამოთვლების საგრძნობლად გასაადვილებლად. "ლოგარითმების სამყაროში" გადასვლისას, გამრავლება გარდაიქმნება ბევრად უფრო მარტივ მიმატებად, გაყოფა გარდაიქმნება გამოკლებად, ხოლო სიმძლავრე და ფესვის ამოღება გარდაიქმნება, შესაბამისად, გამრავლებად და გაყოფად მაჩვენებლით.