გეომეტრიული პროგრესირების კვადრატი. გეომეტრიული პროგრესია

გეომეტრიული პროგრესია არის ახალი სახეობარიცხვთა თანმიმდევრობა, რომელსაც უნდა გავეცნოთ. წარმატებული გაცნობისთვის სულაც არ აზარალებს ცოდნა და გაგება. მაშინ გეომეტრიული პროგრესიით პრობლემა არ იქნება.)

რა არის გეომეტრიული პროგრესია? გეომეტრიული პროგრესიის კონცეფცია.

ტურს, როგორც ყოველთვის, ელემენტარულით ვიწყებთ. მე ვწერ რიცხვების დაუმთავრებელ თანმიმდევრობას:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში და გითხრათ, რომელი რიცხვები იქნება შემდეგი? წიწაკა ნათელია, რიცხვები 100000, 1000000 და ა.შ. დიდი ფსიქიკური სტრესის გარეშეც კი ყველაფერი ნათელია, არა?)

ᲙᲐᲠᲒᲘ. Სხვა მაგალითი. მე ვწერ შემდეგ თანმიმდევრობას:

1, 2, 4, 8, 16, …

შეგიძლიათ თქვათ, რომელი რიცხვები წავა შემდეგ 16 რიცხვისა და სახელის შემდეგ მერვემიმდევრობის წევრი? თუ მიხვდით, რომ ეს იქნებოდა რიცხვი 128, მაშინ ძალიან კარგად. ასე რომ, ბრძოლის ნახევარი გაგებაშია მნიშვნელობადა ძირითადი პუნქტებიგეომეტრიული პროგრესი უკვე შესრულებულია. შეგიძლიათ კიდევ გაიზარდოთ.)

ახლა კი კვლავ გადავდივართ შეგრძნებებიდან მკაცრ მათემატიკაზე.

გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი მომენტები.

საკვანძო მომენტი #1

გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა.ისევე როგორც პროგრესი. არაფერი სახიფათო. უბრალოდ დაალაგეთ ეს თანმიმდევრობა განსხვავებულად.აქედან გამომდინარე, რა თქმა უნდა, მას სხვა სახელი აქვს, დიახ ...

საკვანძო მომენტი #2

მეორე საკვანძო პუნქტით, კითხვა უფრო რთული იქნება. მოდით ცოტა უკან დავბრუნდეთ და გავიხსენოთ არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება. Აქ არის: თითოეული წევრი განსხვავდება წინაგან იმავე რაოდენობით.

შესაძლებელია თუ არა მსგავსი საკვანძო თვისების ჩამოყალიბება გეომეტრიული პროგრესიისთვის? ცოტა დაფიქრდი... გადახედე მოყვანილ მაგალითებს. გამოიცანით? დიახ! გეომეტრიული პროგრესიით (ნებისმიერი!) მისი თითოეული წევრი განსხვავდება წინაგან ამდენივე ჯერ.Ყოველთვის არის!

პირველ მაგალითში ეს რიცხვი არის ათი. თანმიმდევრობის რომელი წევრიც არ უნდა აიღოთ, ის წინაზე მეტია ათჯერ.

მეორე მაგალითში ეს არის ორი: თითოეული წევრი წინაზე მეტია. ორჯერ.

სწორედ ამ საკვანძო პუნქტში განსხვავდება გეომეტრიული პროგრესია არითმეტიკულისგან. არითმეტიკული პროგრესიის დროს მიიღება ყოველი შემდეგი წევრი დასძინაიგივე მნიშვნელობა აქვს წინა ტერმინს. Და აქ - გამრავლებაწინა ვადა იმავე ოდენობით. ეს არის განსხვავება.)

საკვანძო მომენტი #3

ეს საკვანძო წერტილი სრულიად იდენტურია არითმეტიკული პროგრესიისთვის. კერძოდ: გეომეტრიული პროგრესიის თითოეული წევრი თავის ადგილზეა.ყველაფერი ზუსტად ისეა, როგორც არითმეტიკული პროგრესიით და კომენტარები, ვფიქრობ, ზედმეტია. არის პირველი ტერმინი, არის ასი პირველი და ა.შ. მოდით გადავაწყოთ მინიმუმ ორი წევრი - ნიმუში (და მასთან ერთად გეომეტრიული პროგრესია) გაქრება. რჩება მხოლოდ რიცხვების თანმიმდევრობა ყოველგვარი ლოგიკის გარეშე.

Სულ ეს არის. ეს არის გეომეტრიული პროგრესიის მთელი აზრი.

ვადები და აღნიშვნები.

ახლა კი, გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელობისა და ძირითადი პუნქტების განხილვის შემდეგ, შეგვიძლია გადავიდეთ თეორიაზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, რა არის თეორია მნიშვნელობის გაგების გარეშე, არა?

რა არის გეომეტრიული პროგრესია?

როგორ იწერება გეომეტრიული პროგრესია ზოგადი თვალსაზრისით? Არაა პრობლემა! პროგრესის თითოეული წევრი ასევე იწერება ასოს სახით. მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესირებისთვის, ჩვეულებრივ გამოიყენება ასო "ა", გეომეტრიულისთვის - ასო "ბ". წევრის ნომერიჩვეულებისამებრ, მითითებულია ქვედა მარჯვენა ინდექსი. თავად პროგრესიის წევრები უბრალოდ გამოყოფილია მძიმეებით ან მძიმით.

Ამგვარად:

b1,ბ 2 , ბ 3 , ბ 4 , ბ 5 , ბ 6 , …

მოკლედ, ასეთი პროგრესი იწერება შემდეგნაირად: (b n) .

ან ასე, სასრული პროგრესებისთვის:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

ან შიგნით აბრევიატურა:

(b n), ნ=30 .

სინამდვილეში, ეს არის ყველა აღნიშვნა. ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ ასოა განსხვავებული, დიახ.) ახლა კი პირდაპირ განმარტებაზე გადავდივართ.

გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება.

გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი არ არის ნულოვანი და ყოველი მომდევნო წევრი უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე არანულოვანი რიცხვით.

ეს არის მთელი განმარტება. სიტყვებისა და ფრაზების უმეტესობა თქვენთვის გასაგები და ნაცნობია. თუ, რა თქმა უნდა, არ გესმით გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელობა "თითებზე" და ზოგადად. მაგრამ არის რამდენიმე ახალი ფრაზაც, რომლებზეც განსაკუთრებული ყურადღება მინდა გავამახვილო.

პირველი, სიტყვები: „რომლის პირველი ვადა განსხვავდება ნულიდან".

ეს შეზღუდვა პირველ ვადაზე შემთხვევით არ დაწესებულა. როგორ ფიქრობთ, რა მოხდება, თუ პირველი ვადა ბ 1 ნული გამოდის? რა იქნება მეორე წევრი, თუ თითოეული წევრი წინაზე მეტია იგივე რამდენჯერ?ვთქვათ სამჯერ? ვნახოთ... გავამრავლოთ პირველი წევრი (ე.ი. 0) 3-ზე და მივიღოთ... ნული! და მესამე წევრი? ნულსაც! და მეოთხე წევრიც არის ნული! Და ასე შემდეგ…

ჩვენ ვიღებთ მხოლოდ ბაგელების ტომარას ნულების თანმიმდევრობით:

0, 0, 0, 0, …

რა თქმა უნდა, ასეთ თანმიმდევრობას აქვს სიცოცხლის უფლება, მაგრამ ეს არ არის პრაქტიკული ინტერესი. ყველაფერი ისე ნათელია. მისი რომელიმე წევრი ნულის ტოლია. ნებისმიერი რაოდენობის წევრების ჯამი ასევე ნულია... რა საინტერესო რამის გაკეთება შეგიძლიათ მასთან? არაფერი…

შემდეგი საკვანძო სიტყვები: „გამრავლებული იმავე არანულოვანი რიცხვით“.

ამ იმავე ნომერს ასევე აქვს თავისი განსაკუთრებული სახელი - გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი. დავიწყოთ შეხვედრა.)

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

ყველაფერი მარტივია.

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი არის არანულოვანი რიცხვი (ან მნიშვნელობა), რომელიც მიუთითებსრამდენჯერპროგრესის თითოეული წევრი წინაზე მეტი.

ისევ, არითმეტიკული პროგრესიის ანალოგიით, საკვანძო სიტყვარაც ამ განმარტებაში უნდა აღინიშნოს არის სიტყვა "მეტი". ეს ნიშნავს, რომ მიღებულია გეომეტრიული პროგრესიის თითოეული ტერმინი გამრავლებასწორედ ამ მნიშვნელს წინა წევრი.

ვუხსნი.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორეწევრი მიიღოს პირველიწევრი და გამრავლებაის მნიშვნელისკენ. გაანგარიშებისთვის მეათეწევრი მიიღოს მეცხრეწევრი და გამრავლებაის მნიშვნელისკენ.

თავად გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი რამ. აბსოლუტურად ვინმეს! მთელი რიცხვი, წილადი, დადებითი, უარყოფითი, ირაციონალური - ყველა. ნულის გარდა. სწორედ ამის შესახებ გვეუბნება განმარტებაში სიტყვა „არა-ნულოვანი“. რატომ არის საჭირო ეს სიტყვა აქ - ამის შესახებ მოგვიანებით.

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით ქ.

როგორ მოვძებნოთ ეს ქ? Არაა პრობლემა! ჩვენ უნდა ავიღოთ პროგრესის ნებისმიერი ტერმინი და გაყოფა წინა ტერმინზე. განყოფილება არის წილადი. აქედან მოდის სახელწოდება – „პროგრესიის მნიშვნელი“. მნიშვნელი, ის ჩვეულებრივ წილადია, დიახ ...) თუმცა, ლოგიკურად, მნიშვნელობა ქუნდა ეწოდოს კერძოგეომეტრიული პროგრესია, მსგავსი განსხვავებაარითმეტიკული პროგრესიისთვის. მაგრამ დარეკვას დათანხმდა მნიშვნელი. და ჩვენ არც ბორბალს ხელახლა გამოვიგონებთ.)

მოდით განვსაზღვროთ, მაგალითად, მნიშვნელობა ქამ გეომეტრიული პროგრესისთვის:

2, 6, 18, 54, …

ყველაფერი ელემენტარულია. Ჩვენ ვიღებთ ნებისმიერირიგითი ნომერი. რაც ჩვენ გვინდა არის ის, რასაც ვიღებთ. პირველის გარდა. მაგალითად, 18. და გაყავით წინა ნომერი. ანუ 6-ზე.

ჩვენ ვიღებთ:

ქ = 18/6 = 3

Სულ ეს არის. ეს არის სწორი პასუხი. მოცემული გეომეტრიული პროგრესიისთვის, მნიშვნელი არის სამი.

მოდი ვიპოვოთ მნიშვნელი ქკიდევ ერთი გეომეტრიული პროგრესიისთვის. მაგალითად, ასე:

1, -2, 4, -8, 16, …

Ერთი და იგივე. რა ნიშნებიც აქვთ თავად წევრებს, ჩვენ მაინც ვიღებთ ნებისმიერირიგითი ნომერი (მაგალითად, 16) და გაყავით წინა ნომერი(ანუ -8).

ჩვენ ვიღებთ:

დ = 16/(-8) = -2

და ეს.) ამჯერად პროგრესიის მნიშვნელი უარყოფითი აღმოჩნდა. მინუს ორი. Ხდება ხოლმე.)

ავიღოთ ეს პროგრესი:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

და ისევ, მიმდევრობაში რიცხვების ტიპის მიუხედავად (ლუწი რიცხვები, თუნდაც წილადი, ლუწი უარყოფითი, თუნდაც ირაციონალური), ვიღებთ ნებისმიერ რიცხვს (მაგალითად, 1/9) და ვყოფთ წინა რიცხვზე (1/3). რა თქმა უნდა, წილადებთან მოქმედების წესების მიხედვით.

ჩვენ ვიღებთ:

სულ ესაა.) აქ მნიშვნელი წილადი აღმოჩნდა: ქ = 1/3.

მაგრამ შენნაირი "პროგრესი"?

3, 3, 3, 3, 3, …

ცხადია აქ ქ = 1 . ფორმალურად, ეს ასევე გეომეტრიული პროგრესიაა, მხოლოდ იგივე წევრები.) მაგრამ ასეთი პროგრესი არ არის საინტერესო სასწავლო და პრაქტიკული გამოყენებისთვის. ისევე როგორც პროგრესიები მყარი ნულებით. ამიტომ, ჩვენ არ განვიხილავთ მათ.

როგორც ხედავთ, პროგრესიის მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი - მთელი რიცხვი, წილადი, დადებითი, უარყოფითი - ყველაფერი! ეს არ შეიძლება იყოს უბრალოდ ნული. ვერ მიხვდი რატომ?

კარგი, მოდით, გადავხედოთ კონკრეტულ მაგალითს, რა მოხდება, თუ მნიშვნელად ავიღოთ ქნულ.) მოდით, მაგალითად, გვქონდეს ბ 1 = 2 , ა ქ = 0 . რა იქნება მერე მეორე ვადა?

Ჩვენ გვჯერა:

ბ 2 = ბ 1 · ქ= 2 0 = 0

და მესამე წევრი?

ბ 3 = ბ 2 · ქ= 0 0 = 0

გეომეტრიული პროგრესიების სახეები და ქცევა.

ყველაფერთან ერთად მეტ-ნაკლებად ნათელი იყო: თუ განსხვავება პროგრესში დდადებითია, პროგრესი იზრდება. თუ განსხვავება უარყოფითია, მაშინ პროგრესი მცირდება. მხოლოდ ორი ვარიანტია. მესამე არ არსებობს.)

მაგრამ გეომეტრიული პროგრესიის ქცევით, ყველაფერი ბევრად უფრო საინტერესო და მრავალფეროვანი იქნება!)

როგორც კი აქ წევრები იქცევიან: მატულობენ და მცირდებიან და განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდებიან ნულს და ნიშნებსაც კი ცვლიან, მონაცვლეობით ჩქარობენ ან „პლუს“-ზე, ან „მინუსზე“! და მთელ ამ მრავალფეროვნებაში ადამიანმა კარგად უნდა გაიგოს, დიახ...

გავიგეთ?) დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით.

მნიშვნელი დადებითია ( ქ >0)

დადებითი მნიშვნელით, პირველ რიგში, გეომეტრიული პროგრესიის წევრები შეიძლება შევიდნენ პლუს უსასრულობა(ანუ გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით) და შეიძლება შევიდეს მინუს უსასრულობა(ანუ კლება განუსაზღვრელი ვადით). ჩვენ უკვე შევეჩვიეთ პროგრესირების ასეთ ქცევას.

Მაგალითად:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

აქ ყველაფერი მარტივია. პროგრესის თითოეული წევრი არის წინაზე მეტი. და თითოეული წევრი იღებს გამრავლებაწინა წევრი ჩართულია დადებითინომერი +2 (ე.ი. ქ = 2 ). ასეთი პროგრესიის ქცევა აშკარაა: პროგრესიის ყველა წევრი იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, მიდის კოსმოსში. პლუს უსასრულობა...

ახლა აქ არის პროგრესი:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

აქაც მიიღება პროგრესირების ყოველი ტერმინი გამრავლებაწინა წევრი ჩართულია დადებითინომერი +2. მაგრამ ასეთი პროგრესიის ქცევა უკვე პირდაპირ საპირისპიროა: პროგრესიის თითოეული წევრი მიიღება წინაზე ნაკლებიდა მისი ყველა პირობა მცირდება განუსაზღვრელი ვადით, მიდის მინუს უსასრულობამდე.

ახლა მოდით დავფიქრდეთ: რა საერთო აქვს ამ ორ პროგრესს? ასეა, მნიშვნელი! Აქ და იქ ქ = +2 . დადებითი ნომერი.დეუსი. მაგრამ მოქმედებაეს ორი პროგრესი ფუნდამენტურად განსხვავებულია! ვერ მიხვდი რატომ? დიახ! ეს ყველაფერი პირველი წევრი!სწორედ ის, როგორც იტყვიან, ბრძანებს მუსიკას.) ნახეთ თქვენთვის.

პირველ შემთხვევაში, პროგრესის პირველი ვადა დადებითი(+1) და, მაშასადამე, ყველა მომდევნო წევრი მიღებული გამრავლებით დადებითიმნიშვნელი ქ = +2 , ასევე დადებითი.

მაგრამ მეორე შემთხვევაში, პირველი ვადა უარყოფითი(-ერთი). ამრიგად, პროგრესიის ყველა მომდევნო წევრი მიღებულია გამრავლებით დადებითი ქ = +2 , ასევე მიიღება უარყოფითი."მინუს" "პლუს" ყოველთვის იძლევა "მინუსს", დიახ.)

როგორც ხედავთ, არითმეტიკული პროგრესიისგან განსხვავებით, გეომეტრიული პროგრესია შეიძლება მოიქცეს სრულიად განსხვავებულად, არა მხოლოდ დამოკიდებულია მნიშვნელიდანქ, არამედ დამოკიდებულია პირველი წევრიდან, დიახ.)

გახსოვდეთ: გეომეტრიული პროგრესიის ქცევას ცალსახად განსაზღვრავს მისი პირველი წევრი ბ 1 და მნიშვნელიქ .

ახლა კი ვიწყებთ ნაკლებად ნაცნობი, მაგრამ ბევრად უფრო საინტერესო შემთხვევების ანალიზს!

მიიღეთ, მაგალითად, შემდეგი თანმიმდევრობა:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

ეს თანმიმდევრობაც გეომეტრიული პროგრესიაა! ასევე მიღებულია ამ პროგრესის თითოეული წევრი გამრავლებაწინა ვადა, იგივე რაოდენობით. მხოლოდ ნომერია წილადი: ქ = +1/2 . ან +0,5 . და (მნიშვნელოვანი!) ნომერი, უფრო პატარა:ქ = 1/2<1.

რა არის საინტერესო ამ გეომეტრიულ პროგრესში? სად მიდიან მისი წევრები? Მოდი ვნახოთ:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

რა არის აქ საინტერესო? პირველ რიგში, პროგრესის წევრების შემცირება მაშინვე თვალშისაცემია: მისი თითოეული წევრი ნაკლებიწინა ზუსტად 2 ჯერ.ან, გეომეტრიული პროგრესიის განმარტების მიხედვით, თითოეული ტერმინი მეტიწინა 1/2 ჯერ, იმიტომ პროგრესიის მნიშვნელი ქ = 1/2 . და ერთზე ნაკლები დადებითი რიცხვით გამრავლებით, შედეგი ჩვეულებრივ მცირდება, დიახ ...

Რა ჯერ კიდევჩანს ამ პროგრესის ქცევაში? ქრება მისი წევრები? შეუზღუდავი, მიდიხარ მინუს უსასრულობამდე? არა! ისინი ქრება განსაკუთრებული გზით. თავდაპირველად ისინი საკმაოდ სწრაფად მცირდება, შემდეგ კი უფრო და უფრო ნელა. და მთელი ყოფნის დროს დადებითი. თუმცა ძალიან, ძალიან პატარა. და რისკენ ისწრაფვიან? ვერ გამოიცანით? დიახ! ისინი ნულისკენ მიდრეკილნი არიან!) და ყურადღება მიაქციეთ ჩვენი პროგრესის წევრებს არასოდეს მიაღწიო!მხოლოდ მასთან უსაზღვროდ ახლოს. Ეს ძალიან მნიშვნელოვანია.)

მსგავსი სიტუაცია იქნება ასეთ პროგრესში:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Აქ ბ 1 = -1 , ა ქ = 1/2 . ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ ახლა წევრები მიუახლოვდებიან ნულს მეორე მხრიდან, ქვემოდან. სულ დარჩენა უარყოფითი.)

ისეთი გეომეტრიული პროგრესია, რომლის წევრებიც უახლოვდება ნულს განუსაზღვრელი ვადით.(არ აქვს მნიშვნელობა, დადებითი ან უარყოფითი მხარე), მათემატიკაში მას განსაკუთრებული სახელი აქვს - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.ეს პროგრესი იმდენად საინტერესო და უჩვეულოა, რომ ასეც იქნება ცალკე გაკვეთილი .)

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ ყველაფერი შესაძლო დადებითიმნიშვნელები არის როგორც დიდი, ასევე პატარა. ჩვენ თვითონ არ მივიჩნევთ მნიშვნელად ზემოთ ჩამოთვლილი მიზეზების გამო (გაიხსენეთ მაგალითი სამეულების თანმიმდევრობით ...)

Შეჯამება:

დადებითიდა ერთზე მეტი (ქ>1), შემდეგ პროგრესიის წევრები:

ა) იზრდება განუსაზღვრელი ვადით (თუბ 1 >0);

ბ) მცირდება განუსაზღვრელი ვადით (თუბ 1 <0).

თუ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი დადებითი და ერთზე ნაკლები (0< ქ<1), то члены прогрессии:

ა) უსასრულოდ ახლოს ნულთან ზემოთ(თუბ 1 >0);

ბ) უსასრულოდ ახლოს ნულთან ქვემოდან(თუბ 1 <0).

ახლა რჩება საქმის განხილვა უარყოფითი მნიშვნელი.

მნიშვნელი უარყოფითია ( ქ <0)

მაგალითისთვის შორს არ წავალთ. რატომ, სინამდვილეში, შაგი ბებია?!) ​​მოდით, მაგალითად, პროგრესის პირველი წევრი იყოს ბ 1 = 1 და აიღეთ მნიშვნელი q = -2.

ჩვენ ვიღებთ შემდეგ თანმიმდევრობას:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

და ასე შემდეგ.) პროგრესირების ყოველი ტერმინი მიიღება გამრავლებაწინა წევრი ჩართულია უარყოფითი რიცხვი-2. ამ შემთხვევაში, ყველა წევრი კენტ ადგილებზე (პირველი, მესამე, მეხუთე და ა.შ.) იქნება დადებითიდა თანაბარ ადგილებში (მეორე, მეოთხე და ა.შ.) - უარყოფითი.ნიშნები მკაცრად არის გადაჯაჭვული. პლუს-მინუს-პლუს-მინუს ... ასეთ გეომეტრიულ პროგრესიას ეწოდება - მზარდი ნიშანი მონაცვლეობით.

სად მიდიან მისი წევრები? და არსად.) დიახ, აბსოლუტურ მნიშვნელობაში (ანუ მოდულო)ჩვენი პროგრესირების პირობები განუსაზღვრელი ვადით იზრდება (აქედან გამომდინარე, სახელწოდება "იზრდება"). მაგრამ ამავე დროს, პროგრესის თითოეული წევრი მონაცვლეობით აგდებს მას სიცხეში, შემდეგ სიცივეში. ან პლუსი ან მინუსი. ჩვენი პროგრესი მერყეობს... უფრო მეტიც, რყევების დიაპაზონი ყოველ ნაბიჯზე სწრაფად იზრდება, დიახ.) ამიტომ, პროგრესიის წევრების მისწრაფებები სადმე წასასვლელად. კონკრეტულადაქ არა.არც პლიუს უსასრულობამდე, არც მინუს უსასრულობამდე და არც ნულამდე - არსად.

ახლა განვიხილოთ რამდენიმე წილადი მნიშვნელი ნულსა და მინუს ერთს შორის.

მაგალითად, ასე იყოს ბ 1 = 1 , ა q = -1/2.

შემდეგ მივიღებთ პროგრესს:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

და ისევ გვაქვს ნიშნების მონაცვლეობა! მაგრამ, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, აქ უკვე აშკარაა ტერმინების ნულის მიახლოების ტენდენცია.) მხოლოდ ამჯერად ჩვენი ტერმინები ნულს უახლოვდება არა მკაცრად ზემოდან ან ქვემოდან, არამედ ისევ. ყოყმანობს. დადებითი ან უარყოფითი მნიშვნელობების მონაცვლეობით მიღება. მაგრამ ამავე დროს ისინი მოდულებისულ უფრო და უფრო უახლოვდებიან სანუკვარ ნულს.)

ამ გეომეტრიულ პროგრესიას ე.წ უსასრულოდ კლებადი მონაცვლეობის ნიშანი.

რატომ არის ეს ორი მაგალითი საინტერესო? და ის ფაქტი, რომ ორივე შემთხვევაში ხდება პერსონაჟების მონაცვლეობა!ასეთი ჩიპი დამახასიათებელია მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელის მქონე პროგრესებისთვის, დიახ.) ამიტომ, თუ რომელიმე ამოცანაში გეომეტრიულ პროგრესიას ხედავთ ალტერნატიული წევრებით, მაშინ უკვე მტკიცედ გეცოდინებათ, რომ მისი მნიშვნელი 100% უარყოფითია და არ შეცდებით. ნიშანში.)

სხვათა შორის, უარყოფითი მნიშვნელის შემთხვევაში, პირველი ტერმინის ნიშანი საერთოდ არ მოქმედებს თავად პროგრესიის ქცევაზე. როგორიც არ უნდა იყოს პროგრესირების პირველი წევრის ნიშანი, ნებისმიერ შემთხვევაში შეინიშნება წევრების მონაცვლეობის ნიშანი. მთელი კითხვა მხოლოდ რა ადგილებში(ლუწი ან კენტი) იქნება წევრები კონკრეტული ნიშნებით.

გახსოვდეთ:

თუ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი უარყოფითი , მაშინ პროგრესის პირობების ნიშნები ყოველთვის არის ალტერნატიული.

ამავე დროს, თავად წევრები:

ა) გაზრდის განუსაზღვრელი ვადითმოდული, თუქ<-1;

ბ) უსასრულოდ მივუდგეთ ნულს, თუ -1< ქ<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Სულ ეს არის. გაანალიზებულია ყველა ტიპიური შემთხვევა.)

გეომეტრიული პროგრესიის სხვადასხვა მაგალითების გაანალიზების პროცესში პერიოდულად ვიყენებდი სიტყვებს: "მიდრეკილია ნულისკენ", "მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ", მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ... არა უშავს.) ეს მეტყველების მონაცვლეობა (და კონკრეტული მაგალითები) მხოლოდ თავდაპირველი გაცნობაა. მოქმედებასხვადასხვა რიცხვების თანმიმდევრობა. გეომეტრიული პროგრესიის მაგალითი.

რატომ უნდა ვიცოდეთ პროგრესის ქცევა? რა მნიშვნელობა აქვს სად მიდის? ნულამდე, პლუს უსასრულობამდე, მინუს უსასრულობამდე... რა გვაინტერესებს ეს?

საქმე ის არის, რომ უკვე უნივერსიტეტში, უმაღლესი მათემატიკის კურსზე, დაგჭირდებათ სხვადასხვა რიცხვითი მიმდევრობით მუშაობის უნარი (ნებისმიერი, არა მხოლოდ პროგრესიით!) და ზუსტად წარმოიდგინოთ, როგორ იქცევა ესა თუ ის მიმდევრობა. - იზრდება თუ არა შეუზღუდავად, მცირდება თუ არა, მიდრეკილია თუ არა კონკრეტულ რიცხვზე (და არ არის აუცილებელი ნულისკენ), ან საერთოდ არ მიდრეკილია არაფერზე... მათემატიკური კურსის განმავლობაში ამ თემას ეთმობა მთელი განყოფილება. ანალიზი - ლიმიტის თეორია.ცოტა უფრო კონკრეტულად, კონცეფცია რიცხვთა თანმიმდევრობის ლიმიტი.ძალიან საინტერესო თემაა! აზრი აქვს კოლეჯში წასვლას და ამის გარკვევას.)

ზოგიერთი მაგალითი ამ განყოფილებიდან (მიმდევრობები, რომლებსაც აქვთ ლიმიტი) და კერძოდ, უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიადაიწყეთ სწავლა სკოლაში. შეჩვევა.)

უფრო მეტიც, მომავალში თანმიმდევრობების ქცევის კარგად შესწავლის უნარი დიდად გამოგადგებათ და ძალიან სასარგებლო იქნება ფუნქციის კვლევა.ყველაზე მრავალფეროვანი. მაგრამ ფუნქციებთან კომპეტენტურად მუშაობის უნარი (წარმოებულების გამოთვლა, მათი სრულად შესწავლა, მათი გრაფიკების აგება) უკვე მკვეთრად ზრდის თქვენს მათემატიკურ დონეს! ეჭვი? Არ არის საჭიროება. ასევე დაიმახსოვრე ჩემი სიტყვები.)

მოდით შევხედოთ გეომეტრიულ პროგრესს ცხოვრებაში?

ჩვენს ირგვლივ ცხოვრებაში ჩვენ ვხვდებით ექსპონენციალურ პროგრესს ძალიან, ძალიან ხშირად. ამის ცოდნის გარეშეც.)

მაგალითად, სხვადასხვა მიკროორგანიზმები, რომლებიც ყველგან გვახვევენ უზარმაზარი რაოდენობით და რომლებსაც მიკროსკოპის გარეშეც კი ვერ ვხედავთ, ზუსტად მრავლდებიან გეომეტრიული პროგრესიით.

ვთქვათ, ერთი ბაქტერია მრავლდება შუაზე გაყოფით და შთამომავლობას აძლევს 2 ბაქტერიას. თავის მხრივ, თითოეული მათგანი, გამრავლებით, ასევე იყოფა შუაზე, რაც იძლევა 4 ბაქტერიის საერთო შთამომავლობას. შემდეგი თაობა მისცემს 8 ბაქტერიას, შემდეგ 16 ბაქტერიას, 32, 64 და ასე შემდეგ. ყოველი მომდევნო თაობის დროს ბაქტერიების რაოდენობა ორმაგდება. გეომეტრიული პროგრესიის ტიპიური მაგალითი.)

ასევე, ზოგიერთი მწერი - ბუგრები, ბუზები - მრავლდება ექსპონენტურად. და კურდღელი ზოგჯერ, სხვათა შორის, ასევე.)

ყოველდღიურ ცხოვრებასთან უფრო ახლოს გეომეტრიული პროგრესიის კიდევ ერთი მაგალითია ე.წ საერთო ინტერესი.ასეთი საინტერესო ფენომენი ხშირად გვხვდება საბანკო დეპოზიტებში და ე.წ პროცენტის კაპიტალიზაცია.რა არის ეს?

შენ თვითონ ჯერ კიდევ ახალგაზრდა ხარ, რა თქმა უნდა. სკოლაში სწავლობ, ბანკებს არ მიმართავ. მაგრამ თქვენი მშობლები მოზრდილები და დამოუკიდებელი ადამიანები არიან. ისინი მიდიან სამსახურში, შოულობენ ფულს დღიური პურის სანაცვლოდ და ფულის ნაწილს ბანკში დებენ და ზოგავენ.)

დავუშვათ, რომ მამაშენს სურს დაზოგოს გარკვეული თანხა თურქეთში ოჯახური დასვენებისთვის და ბანკში ჩადოს 50 000 რუბლი წელიწადში 10%-ით სამი წლის განმავლობაში. წლიური საპროცენტო კაპიტალიზაციით.მეტიც, მთელი ამ პერიოდის განმავლობაში დეპოზიტით არაფრის გაკეთება არ შეიძლება. თქვენ არ შეგიძლიათ არც დეპოზიტის შევსება და არც ანგარიშიდან თანხის ამოღება. რა მოგება ექნება ამ სამ წელიწადში?

კარგად, პირველ რიგში, თქვენ უნდა გაარკვიოთ რა არის წლიური 10%. Ეს ნიშნავს, რომ წელიწადშისაწყის ანაბრის თანხას ბანკი დაემატება 10%. რისგან? რა თქმა უნდა, დან საწყისი დეპოზიტის თანხა.

გამოთვალეთ ანგარიშის თანხა წელიწადში. თუ დეპოზიტის საწყისი თანხა იყო 50,000 რუბლი (ანუ 100%), მაშინ რამდენი პროცენტი იქნება ანგარიშზე წელიწადში? მართალია, 110%! 50000 რუბლიდან.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილავთ 50,000 რუბლის 110% -ს:

50,000 1.1 \u003d 55,000 რუბლი.

იმედია გესმით, რომ მნიშვნელობის 110%-ის პოვნა ნიშნავს ამ მნიშვნელობის 1.1 რიცხვზე გამრავლებას? თუ არ გესმით, რატომ არის ასე, გაიხსენეთ მეხუთე და მეექვსე კლასები. სახელდობრ - პროცენტების ურთიერთობა წილადებთან და ნაწილებთან.)

ამრიგად, პირველი წლის ზრდა იქნება 5000 რუბლი.

რამდენი თანხა იქნება ანგარიშზე ორი წლის შემდეგ? 60000 რუბლი? სამწუხაროდ (უფრო სწორად, საბედნიეროდ), ეს არც ისე მარტივია. პროცენტის კაპიტალიზაციის მთელი ხრიკი იმაში მდგომარეობს, რომ ყოველი ახალი პროცენტის დარიცხვისას, იგივე პროცენტი უკვე განიხილება ახალი თანხიდან!იმისგან ვინც უკვეარის ანგარიშზე ამჟამად.ხოლო წინა ვადაზე დარიცხული პროცენტი ემატება დეპოზიტის საწყის თანხას და, ამრიგად, ისინი თავად იღებენ მონაწილეობას ახალი პროცენტის დაანგარიშებაში! ანუ ისინი ხდებიან მთლიანი ანგარიშის სრული ნაწილი. ან გენერალური კაპიტალი.აქედან მოდის სახელი - პროცენტის კაპიტალიზაცია.

ეკონომიკაშია. მათემატიკაში კი ასეთ პროცენტებს უწოდებენ საერთო ინტერესი.ან პროცენტის პროცენტი.) მათი ხრიკი ისაა, რომ თანმიმდევრული გაანგარიშებისას ყოველ ჯერზე პროცენტები გამოითვლება ახალი მნიშვნელობიდან.ორიგინალიდან არა...

მაშასადამე, იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ ჯამი მეშვეობით ორი წელი, უნდა გამოვთვალოთ იმ თანხის 110%, რომელიც იქნება ანგარიშზე წელიწადში.ანუ უკვე 55000 რუბლიდან.

ჩვენ განვიხილავთ 55,000 რუბლის 110% -ს:

55000 1.1 \u003d 60500 რუბლი.

ეს ნიშნავს, რომ პროცენტული ზრდა მეორე წლისთვის უკვე იქნება 5,500 რუბლი, ხოლო ორი წლის განმავლობაში - 10,500 რუბლი.

ახლა უკვე შეგიძლიათ გამოიცნოთ, რომ სამ წელიწადში ანგარიშზე თანხა იქნება 60,500 რუბლის 110%. ეს არის ისევ 110% წინადან (შარშან)თანხები.

აქ განვიხილავთ:

60500 1.1 \u003d 66550 რუბლი.

ახლა კი ჩვენ ვაგროვებთ ჩვენს ფულად თანხებს წლების მიხედვით თანმიმდევრობით:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

მაშ როგორ არის? რატომ არა გეომეტრიული პროგრესია? პირველი წევრი ბ 1 = 50000 , და მნიშვნელი ქ = 1,1 . თითოეული ტერმინი მკაცრად 1.1-ჯერ მეტია წინაზე. ყველაფერი მკაცრად შეესაბამება განმარტებას.)

და რამდენ პროცენტულ დამატებით ბონუსს "ჩააგდებს" მამაშენი, როცა მისი 50000 რუბლი სამი წლის განმავლობაში საბანკო ანგარიშზე იყო?

Ჩვენ გვჯერა:

66550 - 50000 = 16550 რუბლი

ცუდია, რა თქმა უნდა. მაგრამ ეს იმ შემთხვევაში, თუ შენატანის საწყისი თანხა მცირეა. რა მოხდება, თუ მეტია? ვთქვათ, არა 50, არამედ 200 ათასი რუბლი? მაშინ ზრდა სამი წლის განმავლობაში უკვე იქნება 66,200 რუბლი (თუ ითვლით). რაც უკვე ძალიან კარგია.) და თუ წვლილი კიდევ უფრო დიდია? სწორედ ეს არის...

დასკვნა: რაც უფრო მაღალია საწყისი შენატანი, მით უფრო მომგებიანი ხდება პროცენტის კაპიტალიზაცია. ამიტომ საპროცენტო კაპიტალიზაციით დეპოზიტებს ბანკები აწვდიან გრძელვადიან პერიოდს. ვთქვათ ხუთი წელი.

ასევე, ყველა სახის ცუდი დაავადება, როგორიცაა გრიპი, წითელა და კიდევ უფრო საშინელი დაავადებები (იგივე SARS 2000-იანი წლების დასაწყისში ან ჭირი შუა საუკუნეებში) მოსწონს ექსპონენტურად გავრცელება. აქედან გამომდინარეობს ეპიდემიების მასშტაბები, დიახ...) და ეს ყველაფერი იმის გამო, რომ გეომეტრიული პროგრესია მთელი დადებითი მნიშვნელი (ქ>1) - რამ, რომელიც ძალიან სწრაფად იზრდება! გაიხსენეთ ბაქტერიების გამრავლება: ერთი ბაქტერიიდან მიიღება ორი, ორიდან - ოთხი, ოთხიდან - რვა და ასე შემდეგ... ნებისმიერი ინფექციის გავრცელებისას ყველაფერი ერთნაირია.)

უმარტივესი პრობლემები გეომეტრიულ პროგრესიაში.

დავიწყოთ, როგორც ყოველთვის, მარტივი პრობლემით. წმინდა მნიშვნელობის გასაგებად.

1. ცნობილია, რომ გეომეტრიული პროგრესიის მეორე წევრი არის 6, ხოლო მნიშვნელი -0,5. იპოვეთ პირველი, მესამე და მეოთხე ტერმინები.

ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა გაუთავებელიგეომეტრიული პროგრესია, კარგად ცნობილი მეორე ვადაეს პროგრესი:

b2 = 6

გარდა ამისა, ჩვენ ასევე ვიცით პროგრესიის მნიშვნელი:

q = -0.5

და თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი, მესამედა მეოთხეამ პროგრესის წევრები.

აქ ჩვენ ვმოქმედებთ. თანმიმდევრობას ვწერთ პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით. პირდაპირ ზოგადი თვალსაზრისით, სადაც მეორე წევრი არის ექვსი:

b1,6,ბ 3 , ბ 4 , …

ახლა დავიწყოთ ძებნა. ჩვენ ვიწყებთ, როგორც ყოველთვის, უმარტივესით. შეგიძლიათ გამოთვალოთ, მაგალითად, მესამე ტერმინი ბ 3? შეიძლება! ჩვენ უკვე ვიცით (პირდაპირ გეომეტრიული პროგრესიის გაგებით), რომ მესამე წევრი (ბ 3)წამზე მეტი (ბ 2 ) in "q"ერთხელ!

ასე რომ, ჩვენ ვწერთ:

b 3 =ბ 2 · ქ

ამ გამოსახულებაში ექვსს ვცვლით ნაცვლად ბ 2და -0.5 ნაცვლად ქდა ჩვენ ვფიქრობთ. და მინუსი ასევე არ არის იგნორირებული, რა თქმა უნდა ...

b 3 \u003d 6 (-0.5) \u003d -3

Ამგვარად. მესამე ვადა უარყოფითი გამოდგა. გასაკვირი არ არის: ჩვენი მნიშვნელი ქ- უარყოფითი. და პლუს გამრავლებული მინუსზე, ეს, რა თქმა უნდა, იქნება მინუს.)

ჩვენ ახლა განვიხილავთ პროგრესის მომდევნო, მეოთხე ტერმინს:

b 4 =ბ 3 · ქ

b 4 \u003d -3 (-0.5) \u003d 1.5

მეოთხე ვადა ისევ პლიუსით. მეხუთე წევრი ისევ იქნება მინუსით, მეექვსე პლიუსით და ა.შ. ნიშნები - ალტერნატიული!

ასე რომ, მესამე და მეოთხე წევრები იპოვეს. შედეგი არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

b1; 6; -3; 1.5; …

ახლა რჩება პირველი ტერმინის პოვნა ბ 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ამისათვის ჩვენ გადავდივართ სხვა მიმართულებით, მარცხნივ. ეს ნიშნავს, რომ ამ შემთხვევაში, ჩვენ არ გვჭირდება პროგრესიის მეორე წევრის გამრავლება მნიშვნელზე, არამედ გაზიარება.

ვყოფთ და ვიღებთ:

სულ ესაა.) პრობლემაზე პასუხი ასეთი იქნება:

-12; 6; -3; 1,5; …

როგორც ხედავთ, გადაწყვეტის პრინციპი იგივეა, რაც . Ჩვენ ვიცით ნებისმიერიწევრი და მნიშვნელიგეომეტრიული პროგრესია - ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ნებისმიერი სხვა ტერმინი. რაც გვინდა, ერთს ვიპოვით.) ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ შეკრება/გამოკლება იცვლება გამრავლებით/გაყოფით.

გახსოვდეთ: თუ ვიცით გეომეტრიული პროგრესიის მინიმუმ ერთი წევრი და მნიშვნელი, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი სხვა წევრი.

შემდეგი დავალება, ტრადიციის მიხედვით, არის OGE-ს რეალური ვერსიიდან:

2.

…; 150; X; 6; 1.2; …

მაშ როგორ არის? ამჯერად არც პირველი ტერმინია, არც მნიშვნელი ქ, მხოლოდ რიცხვების თანმიმდევრობაა მოცემული ... რაღაც უკვე ნაცნობი, არა? დიახ! მსგავსი პრობლემა უკვე განხილულია არითმეტიკული პროგრესიის დროს!

აქ ჩვენ არ გვეშინია. Ერთი და იგივე. გადაატრიალეთ თავი და დაიმახსოვრე გეომეტრიული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა. ჩვენ ყურადღებით ვაკვირდებით ჩვენს თანმიმდევრობას და ვხვდებით სამი ძირითადის (პირველი წევრი, მნიშვნელი, წევრის ნომერი) გეომეტრიული პროგრესიის რომელი პარამეტრია დამალული მასში.

წევრების ნომრები? წევრების ნომრები არ არის, დიახ... მაგრამ არის ოთხი თანმიმდევრულინომრები. რას ნიშნავს ეს სიტყვა, ამ ეტაპზე ახსნის აზრს ვერ ვხედავ.) არის ორი მეზობელი ცნობილი ნომრები?Იქ არის! ეს არის 6 და 1.2. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესიის მნიშვნელი.ამიტომ ვიღებთ რიცხვს 1.2 და ვყოფთ წინა ნომერზე.ექვსისთვის.

ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვიღებთ:

x= 150 0.2 = 30

პასუხი: x = 30 .

როგორც ხედავთ, ყველაფერი საკმაოდ მარტივია. მთავარი სირთულე მხოლოდ გამოთვლებშია. განსაკუთრებით რთულია უარყოფითი და წილადი მნიშვნელების შემთხვევაში. ამიტომ ვისაც პრობლემები აქვს, გაიმეორეთ არითმეტიკა! როგორ ვიმუშაოთ წილადებთან, როგორ ვიმუშაოთ უარყოფით რიცხვებთან და ასე შემდეგ... თორემ აქ უმოწყალოდ შეანელებთ.

ახლა ცოტა შევცვალოთ პრობლემა. ახლა საინტერესო გახდება! ამოვიღოთ მასში ბოლო რიცხვი 1.2. მოდი ახლავე მოვაგვაროთ ეს პრობლემა:

3. იწერება გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი:

…; 150; X; 6; …

იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x.

ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ ორი მეზობელია ცნობილიპროგრესის წევრები აღარ გვყავს. ეს არის მთავარი პრობლემა. რადგან სიდიდე ქორი მეზობელი ტერმინის მეშვეობით უკვე მარტივად შეგვიძლია განვსაზღვროთ ჩვენ არ შეგვიძლია.გვაქვს თუ არა შანსი გამოწვევას? Რა თქმა უნდა!

მოდით დავწეროთ უცნობი ტერმინი" x„პირდაპირ გეომეტრიული პროგრესიის გაგებით! ზოგადად.

Დიახ დიახ! პირდაპირ უცნობი მნიშვნელით!

ერთის მხრივ, x-ისთვის შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი თანაფარდობა:

x= 150ქ

მეორეს მხრივ, ჩვენ გვაქვს სრული უფლება დავხატოთ იგივე X მეშვეობით შემდეგიწევრი, ექვსის მეშვეობით! ექვსი გაყავით მნიშვნელზე.

Ამგვარად:

x = 6/ ქ

ცხადია, ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაიგივოთ ორივე ეს თანაფარდობა. ვინაიდან ჩვენ გამოვხატავთ იგივემნიშვნელობა (x), მაგრამ ორი სხვადასხვა გზები.

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

ყველაფრის გამრავლება ქ, გამარტივებით, შემცირებით, ვიღებთ განტოლებას:

q 2 \u003d 1/25

ჩვენ ვხსნით და ვიღებთ:

q = ±1/5 = ±0.2

უი! მნიშვნელი ორმაგია! +0.2 და -0.2. და რომელი აირჩიოს? Ჩიხი?

დამშვიდდი! დიახ, პრობლემა ნამდვილად არის ორი გამოსავალი!ამაში ცუდი არაფერია. ხდება.) არ გიკვირს, როცა, მაგალითად, ჩვეულის ამოხსნით ორ ფესვს იღებ? აქაც იგივე ამბავია.)

ამისთვის q = +0.2ჩვენ მივიღებთ:

X \u003d 150 0.2 \u003d 30

და ამისთვის ქ = -0,2 იქნება:

X = 150 (-0.2) = -30

ორმაგ პასუხს ვიღებთ: x = 30; x = -30.

რას ნიშნავს ეს საინტერესო ფაქტი? და რაც არსებობს ორი პროგრესიით, დააკმაყოფილებს პრობლემის პირობას!

ამათ მსგავსად:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

ორივე შესაფერისია.) როგორ ფიქრობთ, რა არის პასუხის ბიფურკაციის მიზეზი? მხოლოდ პროგრესის კონკრეტული წევრის (1,2) აღმოფხვრის გამო, რომელიც მოდის ექვსის შემდეგ. და ვიცოდეთ გეომეტრიული პროგრესიის მხოლოდ წინა (n-1)-ე და მომდევნო (n+1)-ე წევრები, ცალსახად ვეღარაფერს ვიტყვით მათ შორის მდგარ n-ე წევრზე. არსებობს ორი ვარიანტი - პლუს და მინუსი.

მაგრამ ამას არ აქვს მნიშვნელობა. როგორც წესი, გეომეტრიული პროგრესიის ამოცანებში არის დამატებითი ინფორმაცია, რომელიც იძლევა ცალსახა პასუხს. მოდით ვთქვათ სიტყვები: "ნიშნის ალტერნატიული პროგრესია"ან "პროგრესია დადებითი მნიშვნელით"და ა.შ.. სწორედ ეს სიტყვები უნდა იყოს მინიშნება, რომელი ნიშანი, პლუს ან მინუს, უნდა ავირჩიოთ საბოლოო პასუხის გაკეთებისას. თუ ასეთი ინფორმაცია არ არის, მაშინ - დიახ, დავალება ექნება ორი გამოსავალი.)

ახლა კი ჩვენ თვითონ გადავწყვიტეთ.

4. დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 20 გეომეტრიული პროგრესიის წევრი:

4 ; 6; 9; …

5. მონაცვლეობითი გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია:

…; 5; x ; 45; …

იპოვეთ ასოში მითითებული პროგრესირების ვადა x .

6. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეოთხე დადებითი წევრი:

625; -250; 100; …

7. გეომეტრიული პროგრესიის მეორე წევრია -360, ხოლო მისი მეხუთე წევრია 23.04. იპოვეთ ამ პროგრესის პირველი წევრი.

პასუხები (არეულად): -15; 900; არა; 2.56.

გილოცავ, თუ ყველაფერი გამოვიდა!

რაღაც არ ჯდება? არის სადმე ორმაგი პასუხი? დავალების პირობებს ყურადღებით ვკითხულობთ!

ბოლო თავსატეხი არ მუშაობს? იქ არაფერია რთული.) ჩვენ პირდაპირ ვმუშაობთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელობის მიხედვით. კარგად, შეგიძლიათ დახატოთ სურათი. ეს ეხმარება.)

როგორც ხედავთ, ყველაფერი ელემენტარულია. თუ პროგრესი ხანმოკლეა. რა მოხდება, თუ გრძელია? თუ სასურველი წევრის რაოდენობა ძალიან დიდია? მსურს, არითმეტიკული პროგრესიის ანალოგიით, როგორმე მივიღო მოსახერხებელი ფორმულა, რომელიც გაადვილებს პოვნას ნებისმიერინებისმიერი გეომეტრიული პროგრესიის წევრი მისი ნომრით.ბევრჯერ, ბევრჯერ გამრავლების გარეშე ქ. და არის ასეთი ფორმულა!) დეტალები - შემდეგ გაკვეთილზე.

გეომეტრიული პროგრესიაარანაკლებ მნიშვნელოვანია მათემატიკაში, ვიდრე არითმეტიკაში. გეომეტრიული პროგრესია არის b1, b2,..., b[n] რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლის ყოველი შემდეგი წევრი მიიღება წინას მუდმივ რიცხვზე გამრავლებით. ამ რიცხვს, რომელიც ასევე ახასიათებს პროგრესის ზრდის ან შემცირების ტემპს, ე.წ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიდა აღვნიშნავთ

გეომეტრიული პროგრესიის სრული მინიჭებისთვის, გარდა მნიშვნელისა, აუცილებელია მისი პირველი წევრის ცოდნა ან განსაზღვრა. მნიშვნელის დადებითი მნიშვნელობისთვის პროგრესია არის მონოტონური მიმდევრობა და თუ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა მონოტონურად მცირდება და მონოტონურად იზრდება როცა. შემთხვევა, როდესაც მნიშვნელი ერთის ტოლია, პრაქტიკაში არ განიხილება, რადგან გვაქვს იდენტური რიცხვების თანმიმდევრობა და მათი ჯამი პრაქტიკული ინტერესი არ არის.

გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინიგამოითვლება ფორმულის მიხედვით

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამიგანისაზღვრება ფორმულით

განვიხილოთ კლასიკური გეომეტრიული პროგრესიის ამოცანების გადაწყვეტილებები. დავიწყოთ უმარტივესი გაგებით.

მაგალითი 1. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრია 27, ხოლო მნიშვნელი არის 1/3. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი.

ამოხსნა: ფორმაში ვწერთ პრობლემის პირობას

გამოთვლებისთვის ვიყენებთ გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულას

მასზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის უცნობ წევრებს

როგორც ხედავთ, გეომეტრიული პროგრესიის პირობების გამოთვლა არ არის რთული. თავად პროგრესი ასე გამოიყურება

მაგალითი 2. მოცემულია გეომეტრიული პროგრესიის პირველი სამი წევრი: 6; -12; 24. იპოვე მნიშვნელი და მეშვიდე წევრი.

ამოხსნა: ჩვენ ვიანგარიშებთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელს მისი განმარტების საფუძველზე

მივიღეთ ალტერნატიული გეომეტრიული პროგრესია, რომლის მნიშვნელი არის -2. მეშვიდე წევრი გამოითვლება ფორმულით

ამ ამოცანაზე მოგვარებულია.

მაგალითი 3. გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია მისი ორი წევრის მიერ . იპოვეთ პროგრესიის მეათე წევრი.

გამოსავალი:

მოდით დავწეროთ მოცემული მნიშვნელობები ფორმულების საშუალებით

წესების მიხედვით, საჭირო იქნებოდა მნიშვნელის პოვნა და შემდეგ სასურველი მნიშვნელობის ძიება, მაგრამ მეათე წევრისთვის გვაქვს

იგივე ფორმულის მიღება შესაძლებელია შეყვანის მონაცემებით მარტივი მანიპულაციების საფუძველზე. სერიის მეექვსე წევრს ვყოფთ მეორეზე, შედეგად ვიღებთ

თუ მიღებული მნიშვნელობა გამრავლებულია მეექვსე წევრზე, მივიღებთ მეათეს

ამრიგად, ასეთი პრობლემებისთვის, მარტივი ტრანსფორმაციების დახმარებით, სწრაფი გზით, შეგიძლიათ იპოვოთ სწორი გამოსავალი.

მაგალითი 4. გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია განმეორებადი ფორმულებით

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი და პირველი ექვსი წევრის ჯამი.

გამოსავალი:

მოცემულ მონაცემებს განტოლებათა სისტემის სახით ვწერთ

გამოთქვით მნიშვნელი მეორე განტოლების პირველზე გაყოფით

იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი პირველი განტოლებიდან

გამოთვალეთ შემდეგი ხუთი წევრი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად

მათემატიკა არის რაადამიანები აკონტროლებენ ბუნებას და საკუთარ თავს.

საბჭოთა მათემატიკოსი, აკადემიკოსი ა.ნ. კოლმოგოროვი

გეომეტრიული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანებთან ერთად, მათემატიკაში შესასვლელ ტესტებში ასევე ხშირია დავალებები, რომლებიც დაკავშირებულია გეომეტრიული პროგრესიის კონცეფციასთან. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების კარგი უნარები.

ეს სტატია ეძღვნება გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებების პრეზენტაციას. ასევე მოცემულია ტიპიური პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, ნასესხები მათემატიკაში შესასვლელი ტესტების ამოცანებიდან.

მოდით წინასწარ აღვნიშნოთ გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და გავიხსენოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები და განცხადებები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება.ციფრულ მიმდევრობას გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება, თუ მისი ყოველი რიცხვი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინა, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესიისთვისფორმულები მოქმედებს

, (1)

სად . ფორმულა (1) ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) არის გეომეტრიული პროგრესიის მთავარი თვისება: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი წევრების გეომეტრიულ საშუალოს და .

Შენიშვნა, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განსახილველ პროგრესიას ეწოდება „გეომეტრიული“.

ზემოთ (1) და (2) ფორმულები შეჯამებულია შემდეგნაირად:

, (3)

ჯამის გამოსათვლელადპირველი გეომეტრიული პროგრესიის წევრებიფორმულა გამოიყენება

თუ დავნიშნავთ

სად . ვინაიდან ფორმულა (6) არის (5) ფორმულის განზოგადება.

იმ შემთხვევაში, როცა და გეომეტრიული პროგრესიაუსასრულოდ მცირდება. ჯამის გამოსათვლელადუსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრის ფორმულა გამოიყენება

. (7)

Მაგალითად , ფორმულის გამოყენებით (7), შეიძლება აჩვენოთ, რა

სად . ეს ტოლობები მიიღება ფორმულიდან (7) იმ პირობით, რომ , (პირველი თანასწორობა) და , (მეორე ტოლობა).

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება. თუ, მაშინ,

თეორემა დადასტურდა.

გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითების განხილვაზე თემაზე „გეომეტრიული პროგრესია“.

მაგალითი 1მოცემული: , და . იპოვე .

გამოსავალი.თუ ფორმულა (5) გამოიყენება, მაშინ

პასუხი:.

მაგალითი 2დაე და . იპოვე .

გამოსავალი.ვინაიდან და , ვიყენებთ ფორმულებს (5), (6) და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის მეორე განტოლება (9) იყოფა პირველზე, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს . განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. თუ, მაშინ (9) სისტემის პირველი განტოლებიდან გვაქვს.

2. თუ , მაშინ .

მაგალითი 3დაე , და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულიდან (2) გამომდინარეობს, რომ ან. მას შემდეგ ან .

პირობით. თუმცა , ამიტომ . რადგან და, მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუ სისტემის მეორე განტოლება იყოფა პირველზე, მაშინ ან .

ვინაიდან განტოლებას აქვს ერთი შესაფერისი ფესვი. ამ შემთხვევაში, სისტემის პირველი განტოლება გულისხმობს.

ფორმულის (7) გათვალისწინებით, ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 4მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.Მას შემდეგ .

იმიტომ რომ, მაშინ ან

ფორმულის მიხედვით (2) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, თანასწორობიდან (10) ვიღებთ ან .

თუმცა, პირობით, ამიტომ.

მაგალითი 5ცნობილია რომ . იპოვე .

გამოსავალი. თეორემის მიხედვით გვაქვს ორი ტოლობა

მას შემდეგ ან . იმიტომ რომ, მაშინ.

პასუხი:.

მაგალითი 6მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ

Მას შემდეგ . მას შემდეგ რაც და მერე .

მაგალითი 7დაე და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის მიხედვით (1) შეგვიძლია დავწეროთ

ამიტომ გვაქვს ან . ცნობილია რომ და , ამიტომ და .

პასუხი:.

მაგალითი 8იპოვეთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ

და .

გამოსავალი. ფორმულიდან (7) გამომდინარეობსდა . აქედან და პრობლემის მდგომარეობიდან ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის პირველი განტოლება კვადრატია, და შემდეგ გაყავით მიღებული განტოლება მეორე განტოლებაზე, შემდეგ მივიღებთ

ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც თანმიმდევრობა, , არის გეომეტრიული პროგრესია.

გამოსავალი.დაე , და . ფორმულის მიხედვით (2), რომელიც განსაზღვრავს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას, შეგვიძლია დავწეროთ ან .

აქედან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომლის ფესვებიადა .

შევამოწმოთ: თუ, შემდეგ და ; თუ , მაშინ და .

პირველ შემთხვევაში გვაქვსდა , და მეორეში - და .

პასუხი: ,.

მაგალითი 10განტოლების ამოხსნა

, (11)

სად და.

გამოსავალი. განტოლების (11) მარცხენა მხარე არის უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომელშიც და , იმ პირობით: და .

ფორმულიდან (7) გამომდინარეობს, რა . ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (11) იღებს ფორმასან . შესაფერისი ფესვი კვადრატული განტოლება არის

პასუხი:.

მაგალითი 11.პ დადებითი რიცხვების თანმიმდევრობააყალიბებს არითმეტიკულ პროგრესიას, ა - გეომეტრიული პროგრესია, რა შუაშია . იპოვე .

გამოსავალი.იმიტომ რომ არითმეტიკული თანმიმდევრობა, მაშინ (არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება). Იმიტომ რომ, მაშინ ან . ეს გულისხმობს, რომ გეომეტრიული პროგრესია არის. ფორმულის მიხედვით (2), მაშინ ჩვენ ვწერთ ამას.

მას შემდეგ და მერე . იმ შემთხვევაში გამოთქმაიღებს ფორმას ან. პირობით, ასე რომ განტოლებიდანჩვენ ვიღებთ განსახილველი პრობლემის უნიკალურ გადაწყვეტას, ე.ი. .

პასუხი:.

მაგალითი 12.ჯამის გამოთვლა

. (12)

გამოსავალი. გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე (12) 5-ზე და მიიღეთ

თუ გამოვაკლებთ (12) გამოსახულებას, მაშინ

ან .

გამოსათვლელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ფორმულაში (7) და ვიღებთ. Მას შემდეგ .

პასუხი:.

აქ მოცემული პრობლემის გადაჭრის მაგალითები გამოსადეგი იქნება აპლიკანტებისთვის მისაღები გამოცდებისთვის მომზადებისას. პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, ასოცირდება გეომეტრიულ პროგრესირებასთან, შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაკვეთილები რეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სასკოლო სასწავლო გეგმის დამატებითი განყოფილებები. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216გვ.

3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. - 208გვ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "რიცხვთა მიმდევრობები.გეომეტრიული პროგრესია"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-9 კლასისთვის
Powers and Roots ფუნქციები და გრაფიკები

ბიჭებო, დღეს ჩვენ გავეცნობით სხვა ტიპის პროგრესს.
დღევანდელი გაკვეთილის თემაა გეომეტრიული პროგრესია.

გეომეტრიული პროგრესია

მაგალითი. 1,2,4,8,16... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის ერთს და $q=2$.

მაგალითი. 8,8,8,8… გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრია რვა,
და $q=1$.

მაგალითი. 3,-3,3,-3,3... გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი არის სამი,
და $q=-1$.

გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს მონოტონურობის თვისებები.
თუ $b_(1)>0$, $q>1$,
მაშინ თანმიმდევრობა იზრდება.
თუ $b_(1)>0$, $0 თანმიმდევრობა ჩვეულებრივ აღინიშნება: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

ისევე როგორც არითმეტიკულ პროგრესიაში, თუ გეომეტრიულ პროგრესიაში ელემენტების რაოდენობა სასრულია, მაშინ პროგრესიას ეწოდება სასრული გეომეტრიული პროგრესია.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ მიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, მაშინ კვადრატული ტერმინების თანმიმდევრობა ასევე გეომეტრიული პროგრესიაა. მეორე თანმიმდევრობას აქვს პირველი წევრი $b_(1)^2$ და მნიშვნელი $q^2$.

გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითებს.

მაგალითი. 1,2,4,8,16… გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის ერთს,
და $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

მაგალითი. 16,8,4,2,1,1/2... გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრია თექვსმეტი და $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

მაგალითი. 8,8,8,8… გეომეტრიული პროგრესია, სადაც პირველი წევრი არის რვა და $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

მაგალითი. 3,-3,3,-3,3… გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი არის სამი და $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

მაგალითი. მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
ა) ცნობილია, რომ $b_(1)=6, q=3$. იპოვეთ $b_(5)$.
ბ) ცნობილია, რომ $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. იპოვე ნ.
გ) ცნობილია, რომ $q=-2, b_(6)=96$. იპოვეთ $b_(1)$.
დ) ცნობილია, რომ $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. იპოვეთ q.

გამოსავალი.
ა) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ბ) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ ვინაიდან $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
გ) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
დ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

მაგალითი. სხვაობა გეომეტრიული პროგრესიის მეშვიდე და მეხუთე წევრებს შორის არის 192, პროგრესიის მეხუთე და მეექვსე წევრების ჯამი არის 192. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეათე წევრი.

გამოსავალი.
ჩვენ ვიცით, რომ: $b_(7)-b_(5)=192$ და $b_(5)+b_(6)=192$.
ჩვენ ასევე ვიცით: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
შემდეგ:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ჩვენ მივიღეთ განტოლების სისტემა:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
გათანაბრებისას ჩვენი განტოლებები მიიღება:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
მივიღეთ ორი ამონახსნი q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
თანმიმდევრულად ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ გადაწყვეტილებების გარეშე.
მივიღეთ ეს: $b_(1)=4, q=2$.
ვიპოვოთ მეათე წევრი: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი

მიეცით სასრული გეომეტრიული პროგრესია: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
შემოვიღოთ მისი წევრების ჯამის აღნიშვნა: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
იმ შემთხვევაში, როდესაც $q=1$. გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრი პირველი წევრის ტოლია, მაშინ აშკარაა, რომ $S_(n)=n*b_(1)$.
ახლა განვიხილოთ შემთხვევა $q≠1$.
გაამრავლეთ ზემოაღნიშნული თანხა q-ზე.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Შენიშვნა:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

ჩვენ მივიღეთ სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულა.

გამოსავალი.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

მაგალითი.
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი, რომელიც ცნობილია: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

გამოსავალი.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

გეომეტრიული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება

რიცხვითი თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი თითოეული წევრის კვადრატი უდრის პროგრესიის მისი ორი მეზობელი წევრის ნამრავლს. არ დაგავიწყდეთ, რომ სასრული პროგრესირებისთვის ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული პირველი და ბოლო ტერმინისთვის.

გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის მოდული უდრის მის მიმდებარე ორი წევრის გეომეტრიულ საშუალოს.

გამოსავალი.
გამოვიყენოთ დამახასიათებელი თვისება:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ და $x_(2)=-1$.
თანმიმდევრულად ჩაანაცვლეთ ორიგინალურ გამონათქვამში ჩვენი გადაწყვეტილებები:
$x=2$-ით მივიღეთ თანმიმდევრობა: 4;6;9 არის გეომეტრიული პროგრესია $q=1,5$-ით.
$x=-1$-ით მივიღეთ თანმიმდევრობა: 1;0;0.
პასუხი: $x=2.$

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მოდით დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვითი თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია მხოლოდ ერთი რიგითი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც -ე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.

რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რიცხვის ტოლი ინდექსით: .

ჩვენს შემთხვევაში:

პროგრესირების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის არითმეტიკული და გეომეტრიული. ამ თემაში ვისაუბრებთ მეორე სახეობაზე - გეომეტრიული პროგრესია.

რატომ გვჭირდება გეომეტრიული პროგრესია და მისი ისტორია?

ჯერ კიდევ ძველ დროში იტალიელი მათემატიკოსი, ბერი ლეონარდო პიზაელი (უფრო ცნობილი როგორც ფიბონაჩი) ეხებოდა ვაჭრობის პრაქტიკულ საჭიროებებს. ბერს დადგა დავალება, დაედგინა, რა არის ყველაზე მცირე რაოდენობის საწონები, რომლითაც შეიძლება საქონელი აწონო? თავის ნაწერებში ფიბონაჩი ამტკიცებს, რომ წონების ასეთი სისტემა ოპტიმალურია: ეს არის ერთ-ერთი პირველი სიტუაცია, როდესაც ადამიანებს მოუწიათ გამკლავება გეომეტრიულ პროგრესიასთან, რომლის შესახებაც ალბათ გსმენიათ და გაქვთ მაინც. ზოგადი კონცეფცია. მას შემდეგ რაც სრულად გაიგებთ თემას, დაფიქრდით, რატომ არის ასეთი სისტემა ოპტიმალური?

დღეისათვის ცხოვრების პრაქტიკაში გეომეტრიული პროგრესია ვლინდება ბანკში სახსრების ინვესტირებისას, როდესაც პროცენტის ოდენობა ირიცხება წინა პერიოდის ანგარიშზე დაგროვილ თანხაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თქვენ დადებთ ფულს შემნახველ ბანკში ვადიან დეპოზიტზე, მაშინ ერთ წელიწადში ანაბარი გაიზრდება საწყისი თანხიდან, ე.ი. ახალი თანხა ტოლი იქნება შენატანის გამრავლებული. კიდევ ერთ წელიწადში ეს თანხა გაიზრდება, ე.ი. იმ დროს მიღებული თანხა ისევ მრავლდება და ა.შ. მსგავსი სიტუაციაა აღწერილი გამოთვლის პრობლემებში ე.წ საერთო ინტერესი- პროცენტი აღებულია ყოველ ჯერზე ანგარიშზე არსებული თანხიდან, წინა პროცენტის გათვალისწინებით. ამ ამოცანების შესახებ ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

არსებობს კიდევ ბევრი მარტივი შემთხვევა, როდესაც გამოიყენება გეომეტრიული პროგრესია. მაგალითად, გრიპის გავრცელება: ერთმა ადამიანმა დააინფიცირა ადამიანი, მათ, თავის მხრივ, დააინფიცირეს მეორე ადამიანი და ამით ინფექციის მეორე ტალღა - ადამიანი და მათ, თავის მხრივ, დაინფიცირეს მეორე... და ასე შემდეგ.. .

სხვათა შორის, ფინანსური პირამიდა, იგივე MMM, არის მარტივი და მშრალი გამოთვლა გეომეტრიული პროგრესიის თვისებების მიხედვით. საინტერესოა? მოდი გავარკვიოთ.

გეომეტრიული პროგრესია.

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა:

მაშინვე გიპასუხებთ, რომ ეს მარტივია და ასეთი თანმიმდევრობის სახელი მისი წევრების სხვაობითაა. რაც შეეხება ასეთ რამეს:

თუ წინა რიცხვს გამოაკლებთ შემდეგ რიცხვს, მაშინ ნახავთ, რომ ყოველ ჯერზე მიიღებთ ახალ განსხვავებას (ა.შ.), მაგრამ თანმიმდევრობა ნამდვილად არსებობს და ადვილად შესამჩნევია - ყოველი შემდეგი რიცხვი წინაზე ჯერ მეტია!

ამ ტიპის თანმიმდევრობას ე.წ გეომეტრიული პროგრესიადა აღინიშნება.

გეომეტრიული პროგრესია ( ) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ რიცხვს გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.

შეზღუდვები, რომ პირველი წევრი ( ) არ არის ტოლი და არ არის შემთხვევითი. ვთქვათ, რომ არ არსებობს და პირველი წევრი მაინც ტოლია, და q არის, ჰმ.. მოდით, შემდეგ გამოდის:

დამეთანხმებით, რომ ეს არ არის პროგრესი.

როგორც გესმით, იგივე შედეგებს მივიღებთ, თუ ეს არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა, მაგრამ. ამ შემთხვევებში, უბრალოდ არ იქნება პროგრესი, რადგან მთელი რიცხვების სერია იქნება ან ყველა ნული, ან ერთი რიცხვი და ყველა დანარჩენი ნული.

ახლა უფრო დეტალურად ვისაუბროთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელზე, ანუ დაახლოებით.

გავიმეოროთ: - ეს არის რიცხვი, რამდენჯერ იცვლება ყოველი მომდევნო ტერმინიგეომეტრიული პროგრესია.

როგორ ფიქრობთ, რა შეიძლება იყოს? ასეა, დადებითი და უარყოფითი, მაგრამ არა ნული (ამაზე ცოტა მაღლა ვისაუბრეთ).

ვთქვათ, გვაქვს დადებითი. მოდით ჩვენს შემთხვევაში, ა. რა არის მეორე ვადა და? ამაზე მარტივად შეგიძლიათ უპასუხოთ:

Კარგი. შესაბამისად, თუ, მაშინ პროგრესიის ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითი.

რა მოხდება, თუ ის უარყოფითია? მაგალითად, ა. რა არის მეორე ვადა და?

სულ სხვა ამბავია

შეეცადეთ დათვალოთ ამ პროგრესირების ვადა. რამდენი მიიღეთ? Მე მაქვს. ამრიგად, თუ, მაშინ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება. ანუ თუ მის წევრებში ხედავთ პროგრესიას ალტერნატიული ნიშნებით, მაშინ მისი მნიშვნელი უარყოფითია. ეს ცოდნა დაგეხმარებათ გამოცადოთ საკუთარი თავი ამ თემაზე პრობლემების გადაჭრისას.

ახლა ცოტა ვივარჯიშოთ: შეეცადეთ დაადგინოთ რომელი რიცხვითი მიმდევრობაა გეომეტრიული პროგრესია და რომელი არითმეტიკული:

Გავიგე? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

• გეომეტრიული პროგრესია - 3, 6.
• არითმეტიკული პროგრესია - 2, 4.
• ეს არ არის არც არითმეტიკული და არც გეომეტრიული პროგრესია - 1, 5, 7.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ბოლო პროგრესიას და შევეცადოთ ვიპოვოთ მისი ტერმინი ისევე, როგორც არითმეტიკაში. როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, მისი პოვნის ორი გზა არსებობს.

თითოეულ წევრს თანმიმდევრულად ვამრავლებთ.

ასე რომ, აღწერილი გეომეტრიული პროგრესიის მე-მე წევრი უდრის.

როგორც უკვე მიხვდით, ახლა თქვენ თვითონ გამოიმუშავებთ ფორმულას, რომელიც დაგეხმარებათ გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის პოვნაში. ან თქვენ უკვე გამოიტანეთ ეს თქვენთვის და აღწერეთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მე-ე წევრი ეტაპობრივად? თუ ასეა, მაშინ შეამოწმეთ თქვენი მსჯელობის სისწორე.

მოდით ავხსნათ ეს ამ პროგრესიის მე-მე წევრის პოვნის მაგალითით:

Სხვა სიტყვებით:

იპოვნეთ მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

მოხდა? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ზუსტად იგივე რიცხვი მიიღეთ, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად ვამრავლებთ გეომეტრიული პროგრესიის თითოეულ წინა წევრზე.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაციას“ - მივიღებთ მას ზოგად ფორმაში და მივიღებთ:

მიღებული ფორმულა მართალია ყველა მნიშვნელობისთვის - როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. თავად შეამოწმეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირობების გამოთვლით შემდეგი პირობებით: , ა.

დაითვალეთ? შევადაროთ შედეგები:

დამეთანხმებით, რომ პროგრესის წევრის პოვნა შესაძლებელი იქნებოდა წევრის მსგავსად, თუმცა არსებობს არასწორი გაანგარიშების შესაძლებლობა. და თუ ჩვენ უკვე ვიპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მე-ა ტერმინი, მაშინ რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი, ვიდრე ფორმულის „შეკვეცილი“ ნაწილის გამოყენება.

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.

ახლახან ჩვენ ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა შეიძლება იყოს ნულზე მეტი ან ნაკლები, თუმცა არსებობს სპეციალური მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გეომეტრიული პროგრესია ე.წ. უსასრულოდ მცირდება.

როგორ ფიქრობთ, რატომ აქვს მას ასეთი სახელი?
დასაწყისისთვის, მოდით ჩამოვწეროთ წევრებისგან შემდგარი გეომეტრიული პროგრესია.
მაშინ ვთქვათ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ყოველი მომდევნო ტერმინი წინაზე ნაკლებია ჯერ, მაგრამ იქნება თუ არა რაიმე რიცხვი? თქვენ მაშინვე პასუხობთ - "არა". ამიტომ უსასრულოდ კლებადი - მცირდება, მცირდება, მაგრამ არასოდეს არ ხდება ნული.

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყურება ეს ვიზუალურად, შევეცადოთ დავხატოთ ჩვენი პროგრესირების გრაფიკი. ასე რომ, ჩვენს შემთხვევაში, ფორმულა იღებს შემდეგ ფორმას:

სქემებზე ჩვენ მიჩვეული ვართ დამოკიდებულების შექმნას, ამიტომ:

გამოთქმის არსი არ შეცვლილა: პირველ ჩანაწერში ჩვენ ვაჩვენეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიგით რიცხვზე, ხოლო მეორე ჩანაწერში უბრალოდ ავიღეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა და რიგითი ნომერი დასახელდა არა როგორც, არამედ როგორც. დარჩენილია მხოლოდ გრაფიკის დახაზვა.
ვნახოთ რა გაქვთ. აი ეს სქემა მივიღე:

ნახე? ფუნქცია მცირდება, მიდრეკილია ნულისკენ, მაგრამ არასოდეს კვეთს მას, ამიტომ ის უსასრულოდ მცირდება. მოდით აღვნიშნოთ ჩვენი პუნქტები გრაფიკზე და ამავდროულად რას ნიშნავს კოორდინატი და:

სცადეთ სქემატურად გამოსახოთ გეომეტრიული პროგრესიის გრაფიკი, თუ მისი პირველი წევრიც ტოლია. გაანალიზეთ, რა განსხვავებაა ჩვენს წინა სქემასთან?

მოახერხე? აი ეს სქემა მივიღე:

ახლა, როდესაც თქვენ სრულად გაიგეთ გეომეტრიული პროგრესიის თემის საფუძვლები: თქვენ იცით, რა არის ის, იცით, როგორ იპოვოთ მისი ტერმინი და ასევე იცით, რა არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, გადავიდეთ მის მთავარ თვისებაზე.

გეომეტრიული პროგრესიის თვისება.

გახსოვთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება? დიახ, დიახ, როგორ ვიპოვოთ პროგრესიის გარკვეული რაოდენობის მნიშვნელობა, როდესაც არსებობს ამ პროგრესიის წევრების წინა და შემდგომი მნიშვნელობები. Გაიხსენა? ეს:

ახლა ჩვენ ზუსტად იგივე კითხვის წინაშე ვდგავართ გეომეტრიული პროგრესიის თვალსაზრისით. ასეთი ფორმულის გამოსატანად დავიწყოთ ხატვა და მსჯელობა. ნახავ, ძალიან ადვილია და თუ დაგავიწყდა, თავადაც გამოიტანე.

ავიღოთ კიდევ ერთი მარტივი გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც ვიცით და. როგორ მოვძებნოთ? არითმეტიკული პროგრესიით, ეს მარტივი და მარტივია, მაგრამ როგორ არის აქ? სინამდვილეში, გეომეტრიაშიც არაფერია რთული - თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ თითოეული ჩვენთვის მოცემული მნიშვნელობა ფორმულის მიხედვით.

თქვენ ჰკითხავთ და ახლა რა ვუყოთ მას? დიახ, ძალიან მარტივი. დასაწყისისთვის, მოდით გამოვსახოთ ეს ფორმულები ფიგურაში და შევეცადოთ გავაკეთოთ სხვადასხვა მანიპულაციები მათთან, რათა მივიღოთ მნიშვნელობა.

ჩვენ აბსტრაქტულნი ვართ იმ რიცხვებიდან, რომლებიც მოცემულია, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ მხოლოდ მათ გამოხატვაზე ფორმულის საშუალებით. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ნარინჯისფერში მონიშნული მნიშვნელობა, ვიცოდეთ მის მიმდებარე ტერმინები. შევეცადოთ მათთან ერთად სხვადასხვა მოქმედებების შესრულება, რის შედეგადაც მივიღებთ.

დამატება.
შევეცადოთ დავამატოთ ორი გამონათქვამი და მივიღებთ:

ამ გამოთქმიდან, როგორც ხედავთ, ვერანაირად ვერ გამოვხატავთ, შესაბამისად, შევეცდებით სხვა ვარიანტს - გამოკლებას.

გამოკლება.

როგორც ხედავთ, აქედანაც ვერ გამოვხატავთ, შესაბამისად, შევეცდებით ეს გამონათქვამები ერთმანეთზე გავამრავლოთ.

გამრავლება.

ახლა კარგად დააკვირდით რა გვაქვს, გავამრავლოთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინები, რაც უნდა ვიპოვოთ:

გამოიცანით რაზე ვსაუბრობ? სწორად, რომ ვიპოვოთ, უნდა ავიღოთ გეომეტრიული პროგრესიის რიცხვების კვადრატული ფესვი სასურველი რიცხვის მიმდებარედ გამრავლებული ერთმანეთზე:

აი შენ წადი. თქვენ თვითონ გამოიტანეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისება. შეეცადეთ დაწეროთ ეს ფორმულა ზოგადი ფორმით. მოხდა?

დაგავიწყდა პირობა როდის? იფიქრეთ იმაზე, თუ რატომ არის ეს მნიშვნელოვანი, მაგალითად, შეეცადეთ გამოთვალოთ იგი საკუთარ თავს. რა ხდება ამ შემთხვევაში? მართალია, სრული სისულელეა, რადგან ფორმულა ასე გამოიყურება:

შესაბამისად, არ დაივიწყოთ ეს შეზღუდვა.

ახლა გამოვთვალოთ რა არის

Სწორი პასუხი - ! თუ არ დაგავიწყდა მეორე შესაძლო მნიშვნელობა, მაშინ თქვენ შესანიშნავი თანამოაზრე ხართ და შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გააგრძელოთ ვარჯიში, ხოლო თუ დაგავიწყდათ, წაიკითხეთ რა არის გაანალიზებული ქვემოთ და ყურადღება მიაქციეთ, რატომ არის საჭირო პასუხში ორივე ძირის ჩაწერა.

მოდით დავხატოთ ჩვენი ორივე გეომეტრიული პროგრესია - ერთი მნიშვნელობით, მეორე კი მნიშვნელობით და შევამოწმოთ, აქვს თუ არა ორივეს არსებობის უფლება:

იმისათვის, რომ შევამოწმოთ, არსებობს თუ არა ასეთი გეომეტრიული პროგრესია, საჭიროა დავინახოთ, არის თუ არა იგი ერთნაირი მის ყველა მოცემულ წევრს შორის? გამოთვალეთ q პირველი და მეორე შემთხვევისთვის.

ნახეთ, რატომ უნდა დავწეროთ ორი პასუხი? რადგან საჭირო ტერმინის ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე, დადებითია თუ უარყოფითი! და რადგან არ ვიცით რა არის, ორივე პასუხი უნდა დავწეროთ პლუსით და მინუსებით.

ახლა, როცა აითვისეთ ძირითადი პუნქტები და გამოიტანეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისების ფორმულა, იპოვეთ, იცოდეთ და

შეადარეთ თქვენი პასუხები სწორ პასუხებს:

როგორ ფიქრობთ, რა მოხდება, თუ მოგვცეს არა გეომეტრიული პროგრესიის წევრების მნიშვნელობები სასურველი რიცხვის მიმდებარედ, არამედ მისგან თანაბარი მანძილით. მაგალითად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ და მივცეთ და. შეგვიძლია ამ შემთხვევაში გამოვიყენოთ ჩვენ მიერ მიღებული ფორმულა? შეეცადეთ დაადასტუროთ ან უარყოთ ეს შესაძლებლობა იმავე გზით, აღწეროთ რისგან შედგება თითოეული მნიშვნელობა, როგორც ეს გააკეთეთ ფორმულის თავდაპირველად გამოყვანისას.
Რა მიიღე?

ახლა კიდევ ერთხელ დააკვირდით.
და შესაბამისად:

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფორმულა მუშაობს არა მარტო მეზობელთანგეომეტრიული პროგრესიის სასურველი პირობებით, არამედ თანაბარი მანძილირასაც წევრები ეძებენ.

ამრიგად, ჩვენი ორიგინალური ფორმულა ხდება:

ანუ, თუ პირველ შემთხვევაში ეს ვთქვით, ახლა ვამბობთ, რომ ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის ტოლი, რომელიც ნაკლებია. მთავარია ორივე მოცემული რიცხვისთვის ერთნაირი იყოს.

ივარჯიშეთ კონკრეტულ მაგალითებზე, უბრალოდ იყავით ძალიან ფრთხილად!

1. , . იპოვე.
2. , . იპოვე.
3. , . იპოვე.

Გადავწყვიტე? ვიმედოვნებ, რომ იყავით ძალიან ყურადღებიანი და შენიშნეთ პატარა დაჭერა.

ჩვენ ვადარებთ შედეგებს.

პირველ ორ შემთხვევაში ჩვენ მშვიდად ვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულას და ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობებს:

მესამე შემთხვევაში, ჩვენთვის მოწოდებული ნომრების სერიული ნომრების გულდასმით გათვალისწინებით, ჩვენ გვესმის, რომ ისინი არ არიან თანაბარი მანძილისგან ჩვენ ვეძებთ: ეს არის წინა ნომერი, მაგრამ ამოღებულია პოზიციაზე, ასე რომ შეუძლებელია. ფორმულის გამოსაყენებლად.

როგორ მოვაგვაროთ? სინამდვილეში ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს! მოდით, თქვენთან ერთად ჩამოვწეროთ, რისგან შედგება თითოეული ჩვენთვის მოცემული და სასურველი რიცხვი.

ასე რომ გვაქვს და. ვნახოთ, რა შეგვიძლია გავაკეთოთ მათთან. მე გთავაზობთ გაყოფას. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვცვლით ჩვენს მონაცემებს ფორმულაში:

შემდეგი ნაბიჯი ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ - ამისათვის ჩვენ უნდა ავიღოთ მიღებული რიცხვის კუბური ფესვი.

ახლა კიდევ ერთხელ გადავხედოთ რა გვაქვს. გვაქვს, მაგრამ უნდა ვიპოვოთ და ის, თავის მხრივ, უდრის:

ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო მონაცემი გაანგარიშებისთვის. ჩანაცვლება ფორმულაში:

ჩვენი პასუხი: .

შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ სხვა იგივე პრობლემა:
მოცემული:,
იპოვე:

რამდენი მიიღეთ? Მე მაქვს - .

როგორც ხედავთ, სინამდვილეში გჭირდებათ დაიმახსოვრე მხოლოდ ერთი ფორმულა- . დანარჩენი თქვენ შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს გაიყვანოთ უპრობლემოდ. ამისათვის უბრალოდ დაწერეთ უმარტივესი გეომეტრიული პროგრესია ფურცელზე და ჩაწერეთ, რის ტოლია ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით მისი თითოეული რიცხვი.

გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი.

ახლა განვიხილოთ ფორმულები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს სწრაფად გამოვთვალოთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამი მოცემულ ინტერვალში:

სასრული გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოსატანად, ჩვენ გავამრავლებთ ზემოთ მოყვანილი განტოლების ყველა ნაწილს. ჩვენ ვიღებთ:

დააკვირდით: რა საერთო აქვს ბოლო ორ ფორმულას? ასეა, საერთო წევრები, მაგალითად და ასე შემდეგ, გარდა პირველი და ბოლო წევრისა. შევეცადოთ გამოვაკლოთ 1-ლი განტოლება მე-2 განტოლებას. Რა მიიღე?

ახლა გამოხატეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის ფორმულით და ჩაანაცვლეთ მიღებული გამოხატულება ჩვენს ბოლო ფორმულაში:

გამოთქმის დაჯგუფება. თქვენ უნდა მიიღოთ:

რჩება მხოლოდ გამოხატვა:

შესაბამისად, ამ შემთხვევაში.

Რა იქნება თუ? რა ფორმულა მუშაობს მაშინ? წარმოიდგინეთ გეომეტრიული პროგრესია. Როგორ გამოიყურება? სწორად იდენტური რიცხვების სერია, შესაბამისად, ფორმულა ასე გამოიყურება:

როგორც არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიით, ბევრი ლეგენდაა. ერთ-ერთი მათგანია ჭადრაკის შემქმნელი სეტის ლეგენდა.

ბევრმა იცის, რომ ჭადრაკის თამაში ინდოეთში გამოიგონეს. როდესაც ინდუის მეფე მას შეხვდა, აღფრთოვანებული იყო მისი ჭკუით და მასში შესაძლო პოზიციების მრავალფეროვნებით. როდესაც შეიტყო, რომ ის გამოიგონა ერთ-ერთმა ქვეშევრდომმა, მეფემ გადაწყვიტა პირადად დაეჯილდოებინა იგი. დაუძახა გამომგონებელს და უბრძანა, ეთხოვა რაც სურდა, დაპირდა, რომ შეასრულებდა თუნდაც ყველაზე ოსტატურ სურვილს.

სეტამ ფიქრისთვის დრო ითხოვა და როცა მეორე დღეს სეტა მეფის წინაშე წარდგა, მან მეფე გააკვირვა მისი თხოვნის უბადლო მოკრძალებით. ჭადრაკის დაფის პირველი კვადრატისთვის ხორბლის მარცვალი სთხოვა, მეორესთვის, მესამესთვის, მეოთხესთვის და ა.შ.

მეფე განრისხდა და განდევნა სეტი და თქვა, რომ მსახურის თხოვნა არ იყო სამეფო კეთილშობილების ღირსი, მაგრამ დაჰპირდა, რომ მსახური მიიღებდა თავის მარცვლებს გამგეობის ყველა საკნისთვის.

ახლა კი ისმის კითხვა: გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოყენებით გამოთვალეთ რამდენი მარცვალი უნდა მიიღოს სეტმა?

დავიწყოთ მსჯელობა. ვინაიდან, პირობის მიხედვით, სეთმა მოითხოვა ხორბლის მარცვალი ჭადრაკის დაფის პირველი უჯრედისთვის, მეორესთვის, მესამესთვის, მეოთხესთვის და ა.შ., ჩვენ ვხედავთ, რომ პრობლემა გეომეტრიულ პროგრესიას ეხება. რა არის ამ შემთხვევაში თანაბარი?
სწორად.

ჭადრაკის დაფის სულ უჯრედები. შესაბამისად,. ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი, რჩება მხოლოდ ფორმულაში ჩანაცვლება და გამოთვლა.

მოცემული რიცხვის მინიმუმ დაახლოებით "მასშტაბების" წარმოსადგენად, ჩვენ გარდაქმნით ხარისხის თვისებების გამოყენებით:

რა თქმა უნდა, თუ გინდათ, შეგიძლიათ აიღოთ კალკულატორი და გამოთვალოთ რა რიცხვი დამთავრდება, ხოლო თუ არა, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ჩემი სიტყვა: გამოხატვის საბოლოო მნიშვნელობა იქნება.
ანუ:

კვინტილიონი კვადრილონი ტრილიონი მილიარდი მილიონი ათასი.

ფუჰ) თუ გსურთ წარმოიდგინოთ ამ რიცხვის უზარმაზარი რაოდენობა, მაშინ შეაფასეთ რა ზომის ბეღელი იქნება საჭირო მარცვლეულის მთელი ოდენობის დასატევად.
მ ბეღლის სიმაღლე და m სიგანე, მისი სიგრძე კმ-მდე უნდა გაგრძელდეს, ე.ი. ორჯერ უფრო შორს, ვიდრე დედამიწიდან მზემდე.

მეფე რომ ძლიერი იყო მათემატიკაში, მას შეეძლო მეცნიერს თავად შესთავაზოს მარცვლების დათვლა, რადგან მილიონი მარცვლების დასათვლელად მას ერთი დღე მაინც დასჭირდებოდა დაუღალავი დათვლა და იმის გათვალისწინებით, რომ აუცილებელია კვინტილიონების დათვლა. მარცვლები მთელი ცხოვრება უნდა დათვალოს.

ახლა კი ჩვენ მოვაგვარებთ მარტივ ამოცანას გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამზე.
ვასია, მე-5 კლასის მოსწავლე, გრიპით დაავადდა, მაგრამ აგრძელებს სკოლაში სიარული. ყოველდღე ვასია აინფიცირებს ორ ადამიანს, რომლებიც, თავის მხრივ, კიდევ ორ ადამიანს აინფიცირებენ და ა.შ. კლასში მხოლოდ ერთი ადამიანი. რამდენ დღეში დაავადდება მთელი კლასი გრიპით?

ასე რომ, გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი არის ვასია, ანუ ადამიანი. გეომეტრიული პროგრესიის წევრი, ეს არის ის ორი ადამიანი, რომლებიც მან დაინფიცირდა ჩამოსვლის პირველ დღეს. პროგრესის წევრთა ჯამი უდრის მოსწავლეთა რაოდენობას 5A. შესაბამისად, ჩვენ ვსაუბრობთ პროგრესზე, რომელშიც:

მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულაში:

მთელი კლასი რამდენიმე დღეში დაავადდება. არ გჯერათ ფორმულების და რიცხვების? შეეცადეთ თავად წარმოაჩინოთ სტუდენტების „ინფექცია“. მოხდა? ნახეთ, როგორ გამოიყურება ჩემთვის:

თავად გამოთვალეთ რამდენი დღის განმავლობაში დაავადდებოდნენ მოსწავლეები გრიპით, თუ ყველა ადამიანს დააინფიცირებდა და კლასში იყო ადამიანი.

რა ღირებულება მიიღეთ? აღმოჩნდა, რომ ყველამ ავად გახდა ერთი დღის შემდეგ.

როგორც ხედავთ, ასეთი დავალება და მისთვის ნახატი წააგავს პირამიდას, რომელშიც ყოველი მომდევნო „მოჰყავს“ ახალ ადამიანებს. თუმცა, ადრე თუ გვიან დგება მომენტი, როცა ეს უკანასკნელი ვერავის იზიდავს. ჩვენს შემთხვევაში, თუ წარმოვიდგენთ, რომ კლასი იზოლირებულია, ადამიანი ხურავს ჯაჭვს (). ამგვარად, თუ ადამიანი ჩართული იყო ფინანსურ პირამიდაში, რომელშიც ფული იყო გაცემული, თუ თქვენ მიიყვანთ ორ სხვა მონაწილეს, მაშინ პირი (ან ზოგადი შემთხვევა) არავის მოუტანს, შესაბამისად, დაკარგავს ყველაფერს, რაც მათ ამ ფინანსურ თაღლითობაში ჩადეს.

ყველაფერი, რაც ზემოთ ითქვა, ეხება კლებად ან მზარდ გეომეტრიულ პროგრესიას, მაგრამ, როგორც გახსოვთ, ჩვენ გვაქვს განსაკუთრებული სახეობა - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. როგორ გამოვთვალოთ მისი წევრების ჯამი? და რატომ აქვს ამ ტიპის პროგრესირებას გარკვეული მახასიათებლები? ერთად გავარკვიოთ.

ასე რომ, დამწყებთათვის, მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ამ სურათს უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ ჩვენი მაგალითიდან:

ახლა კი მოდით შევხედოთ გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულას, რომელიც მიღებულია ცოტა ადრე:
ან

რისკენ ვისწრაფვით? მართალია, გრაფიკი აჩვენებს, რომ ის ნულისკენ არის მიდრეკილი. ანუ როდის იქნება თითქმის თანაბარი, შესაბამისად გამოთვლების გამოთვლას მივიღებთ თითქმის. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ გვჯერა, რომ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის გამოთვლისას, ეს ფრჩხილი შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი, რადგან ის ტოლი იქნება.

- ფორმულა არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა ცალსახად ამბობს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჯამი. გაუთავებელიწევრთა რაოდენობა.

თუ მითითებულია კონკრეტული რიცხვი n, მაშინ ვიყენებთ ფორმულას n ტერმინების ჯამისთვის, თუნდაც ან.

ახლა კი ვივარჯიშოთ.

1. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამი და.
2. იპოვეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი და.

იმედია ძალიან ფრთხილად იყავი. შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

ახლა თქვენ იცით ყველაფერი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ და დროა გადავიდეთ თეორიიდან პრაქტიკაში. გამოცდაზე ნაპოვნი ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური პრობლემები არის რთული პროცენტის პრობლემები. სწორედ მათზე იქნება საუბარი.

რთული პროცენტის გამოანგარიშების პრობლემები.

თქვენ ალბათ გსმენიათ ეგრეთ წოდებული რთული პროცენტის ფორმულის შესახებ. გესმით, რას გულისხმობს იგი? თუ არა, მოდით გავარკვიოთ, რადგან თავად პროცესის გაცნობიერების შემდეგ, თქვენ მაშინვე მიხვდებით, თუ რა შუაშია გეომეტრიული პროგრესია მასთან.

ჩვენ ყველა მივდივართ ბანკში და ვიცით, რომ დეპოზიტების სხვადასხვა პირობებია: ეს არის ვადა, და დამატებითი მოვლა და პროცენტი ორით. სხვადასხვა გზებიმისი გაანგარიშება - მარტივი და რთული.

FROM მარტივი ინტერესიყველაფერი მეტ-ნაკლებად გასაგებია: ანაბრის ვადის ბოლოს პროცენტი ირიცხება ერთხელ. ანუ, თუ ვსაუბრობთ წელიწადში 100 რუბლის დადებაზე, მაშინ ისინი მხოლოდ წლის ბოლოს ჩაირიცხება. შესაბამისად, ანაბრის ბოლოს, ჩვენ მივიღებთ რუბლებს.

Საერთო ინტერესიარის ვარიანტი, რომელშიც პროცენტის კაპიტალიზაცია, ე.ი. მათი დამატება ანაბრის ოდენობაზე და შემდგომში შემოსავლის გამოთვლა არა დეპოზიტის საწყისი, არამედ დაგროვილი თანხიდან. კაპიტალიზაცია არ ხდება მუდმივად, მაგრამ გარკვეული პერიოდულობით. როგორც წესი, ასეთი პერიოდები თანაბარია და ყველაზე ხშირად ბანკები იყენებენ თვეს, მეოთხედს ან წელიწადში.

ვთქვათ, რომ ჩვენ ვდებთ ყველა ერთსა და იმავე რუბლს წელიწადში, მაგრამ დეპოზიტის ყოველთვიური კაპიტალიზაციით. რას ვიღებთ?

გესმის აქ ყველაფერი? თუ არა, მოდით მივიღოთ ეს ეტაპობრივად.

ბანკში რუბლი მივიტანეთ. თვის ბოლომდე, ჩვენს ანგარიშზე უნდა გვქონდეს თანხა, რომელიც შედგება ჩვენი რუბლისგან პლუს მათზე პროცენტი, ანუ:

Ვეთანხმები?

შეგვიძლია ამოვიღოთ იგი ფრჩხილიდან და შემდეგ მივიღოთ:

დამეთანხმებით, ეს ფორმულა უკვე უფრო ჰგავს იმას, რაც დასაწყისში დავწერეთ. რჩება პროცენტებთან გამკლავება

პრობლემის პირობებში გვეუბნებიან წლიური. მოგეხსენებათ, ჩვენ არ ვამრავლებთ - ვაქცევთ პროცენტებს ათწილადები, ანუ:

მართალია? ახლა თქვენ იკითხავთ, საიდან გაჩნდა ნომერი? Ძალიან მარტივი!
ვიმეორებ: პრობლემის მდგომარეობა ამბობს წლიურიდარიცხული პროცენტი ყოველთვიური. მოგეხსენებათ, თვეში, შესაბამისად, ბანკი დაგვირიცხავს ყოველთვიურად წლიური პროცენტის ნაწილს:

მიხვდა? ახლა შეეცადეთ დაწეროთ, როგორი იქნება ფორმულის ეს ნაწილი, თუ ვამბობ, რომ პროცენტი გამოითვლება ყოველდღიურად.
მოახერხე? შევადაროთ შედეგები:

კარგად გააკეთე! დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: ჩაწერეთ, რა თანხა დაირიცხება ჩვენს ანგარიშზე მეორე თვის განმავლობაში, იმის გათვალისწინებით, რომ პროცენტი ირიცხება დაგროვილი ანაბრის თანხაზე.
აი რა დამემართა:

ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

მე ვფიქრობ, რომ თქვენ უკვე შენიშნეთ ნიმუში და გეომეტრიული პროგრესია დაინახეთ ამ ყველაფერში. დაწერეთ რისი ტოლი იქნება მისი წევრი ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენ ფულს მივიღებთ თვის ბოლოს.
გააკეთა? შემოწმება!

როგორც ხედავთ, თუ ბანკში ერთი წლის განმავლობაში ჩადებთ ფულს უბრალო პროცენტით, მაშინ მიიღებთ რუბლებს, ხოლო თუ მას განათავსებთ ნაერთით, თქვენ მიიღებთ რუბლებს. სარგებელი მცირეა, მაგრამ ეს ხდება მხოლოდ წლის განმავლობაში, მაგრამ უფრო გრძელი პერიოდის განმავლობაში, კაპიტალიზაცია ბევრად უფრო მომგებიანია:

განვიხილოთ სხვა ტიპის რთული პროცენტის პრობლემა. მას შემდეგ რაც გაარკვიე, ეს შენთვის ელემენტარული იქნება. ასე რომ, ამოცანაა:

ზვეზდამ ინდუსტრიაში ინვესტიციები 2000 წელს დაიწყო დოლარის კაპიტალით. 2001 წლიდან მოყოლებული ყოველწლიურად იღებს მოგებას, რომელიც უტოლდება წინა წლის კაპიტალს. რამდენ მოგებას მიიღებს კომპანია ზვეზდა 2003 წლის ბოლოს, თუ მოგება არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან?

ზვეზდას კომპანიის კაპიტალი 2000 წ.
- ზვეზდას კაპიტალი 2001 წელს.
- ზვეზდას კაპიტალი 2002 წელს.
- ზვეზდას კაპიტალი 2003 წელს.

ან შეგვიძლია მოკლედ დავწეროთ:

ჩვენი შემთხვევისთვის:

2000, 2001, 2002 და 2003 წწ.

შესაბამისად:
რუბლები
გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემაში არ გვაქვს გაყოფა არც და არც მიერ, რადგან პროცენტი მოცემულია ყოველწლიურად და ის გამოითვლება ყოველწლიურად. ანუ რთული პროცენტის ამოცანის წაკითხვისას მიაქციეთ ყურადღება, რა პროცენტია მოცემული და რა პერიოდშია დარიცხული და მხოლოდ ამის შემდეგ გადადით გამოთვლებზე.
ახლა თქვენ იცით ყველაფერი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ.

Ვარჯიში.

1. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია, რომ და
2. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამი, თუ ცნობილია, რომ და
3. MDM Capital-მა ინდუსტრიაში ინვესტიცია 2003 წელს დაიწყო დოლარის კაპიტალით. 2004 წლიდან მოყოლებული ყოველწლიურად იღებს მოგებას, რომელიც უტოლდება წინა წლის კაპიტალს. კომპანია „MSK Cash Flows“-მა ინდუსტრიაში ინვესტირება დაიწყო 2005 წელს $10000 ოდენობით, დაიწყო მოგების მიღება 2006 წელს ოდენობით. რამდენი დოლარით აღემატება ერთი კომპანიის კაპიტალი მეორის კაპიტალს 2007 წლის ბოლოს, თუ მოგება არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან?

პასუხები:

1. ვინაიდან პრობლემის პირობა არ ამბობს, რომ პროგრესია უსასრულოა და საჭიროა მისი წევრების კონკრეტული რაოდენობის ჯამის პოვნა, გამოთვლა ხორციელდება ფორმულის მიხედვით:
2. 
   კომპანია "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 წწ.
   - იზრდება 100%-ით, ანუ 2-ჯერ.
   შესაბამისად:
   რუბლები
   MSK ფულადი ნაკადები:

   2005, 2006, 2007 წწ.
   - იზრდება, ანუ ჯერ.
   შესაბამისად:
   რუბლები
   რუბლები

შევაჯამოთ.

1) გეომეტრიული პროგრესია ( ) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ რიცხვს გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.

2) გეომეტრიული პროგრესიის წევრების განტოლება -.

3) შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, გარდა და.

• თუ, მაშინ პროგრესიის ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითი;
• თუ, მაშინ პროგრესის ყველა მომდევნო წევრი ალტერნატიული ნიშნები;
• როდესაც - პროგრესიას ეწოდება უსასრულოდ კლებადი.

4) , at - გეომეტრიული პროგრესიის თვისება (მეზობელი ტერმინები)

ან
, ზე (თანაბარი მანძილით)

როდესაც იპოვით, არ დაგავიწყდეთ ორი პასუხი უნდა იყოს..

Მაგალითად,

5) გეომეტრიული პროგრესიის წევრების ჯამი გამოითვლება ფორმულით:
ან

ან

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა ცალსახად ამბობს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამი.

6) რთული პროცენტის ამოცანები ასევე გამოითვლება გეომეტრიული პროგრესიის მე-1 წევრის ფორმულის მიხედვით, იმ პირობით, რომ სახსრები არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან:

გეომეტრიული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

გეომეტრიული პროგრესია( ) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ ნომერს ეძახიან გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, გარდა და.

• თუ, მაშინ პროგრესირების ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითია;
• თუ, მაშინ პროგრესირების ყველა მომდევნო წევრი ალტერნატიული ნიშნებით;
• როდესაც - პროგრესიას ეწოდება უსასრულოდ კლებადი.

გეომეტრიული პროგრესიის წევრების განტოლება - .

გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამიგამოითვლება ფორმულით:
ან

თუ პროგრესი უსასრულოდ მცირდება, მაშინ:

ისე, თემა დამთავრდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

Რისთვის?

წარმატებისთვის გამოცდის ჩაბარება, ინსტიტუტში ბიუჯეტზე დასაშვებად და, რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, გაცილებით მეტს გამოიმუშავებთ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიიღო. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარი ის არის, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ მათ წინაშე ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?

შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.

გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების დროულად გადაჭრა.

და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.

ეს ისეა, როგორც სპორტში - აუცილებლად უნდა გაიმეორო, რომ აუცილებლად გაიმარჯვო.

იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებელი არ არის) და ჩვენ ნამდვილად გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.

„გასაგებია“ და „მე ვიცი როგორ გადაჭრა“ სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!