ათობითი წილადების გამოჩენა ბაბილონში. წილადები: წილადების ისტორია. საერთო წილადების ისტორია. წილადები: წილადების ისტორია ბაბილონში

სლაიდი 1

ფრაქციები ბაბილონში, ეგვიპტეში, რომში. ათობითი წილადების აღმოჩენა პრეზენტაცია ვიზუალური დახმარების სახით ექსტრაკურსულ აქტივობებში გამოსაყენებლად
მარკელოვა გ.ვ., მათემატიკის მასწავლებელი, MBOU საშუალო სკოლის გრემიაჩინსკის ფილიალის გვ. Გასაღებები

სლაიდი 2

სლაიდი 3

წილადების წარმოშობის შესახებ
წილადი რიცხვების საჭიროება წარმოიშვა ადამიანის პრაქტიკული საქმიანობის შედეგად. ერთეულის წილების პოვნის აუცილებლობა ჩვენს წინაპრებს შორის გაჩნდა ნადირობის შემდეგ ნადირის გაყოფისას. წილადი რიცხვების გამოჩენის მეორე მნიშვნელოვანი მიზეზი უნდა ჩაითვალოს რაოდენობების გაზომვა არჩეული საზომი ერთეულის გამოყენებით. ასე დაიბადა წილადები.

სლაიდი 4

უფრო ზუსტი გაზომვების აუცილებლობამ განაპირობა ის, რომ საზომი საწყისი ერთეულები დაიწყო 2, 3 ან მეტ ნაწილად დაყოფა. უფრო მცირე ზომის ერთეულს, რომელიც მიღებულ იქნა ფრაგმენტაციის შედეგად, მიენიჭა ინდივიდუალური სახელი და მნიშვნელობები უკვე გაზომილი იყო ამ პატარა ერთეულით. ამ აუცილებელ სამუშაოსთან დაკავშირებით ადამიანებმა დაიწყეს გამოთქმების გამოყენება: ნახევარი, მესამე, ორნახევარი ნაბიჯი. საიდანაც შეიძლება დავასკვნათ, რომ წილადი რიცხვები წარმოიქმნა სიდიდეების გაზომვის შედეგად. ხალხებმა გაიარეს წილადების ჩაწერის მრავალი გზა, სანამ არ მივიდნენ თანამედროვე აღნიშვნებამდე.

სლაიდი 5

წილადი რიცხვის განვითარების ისტორიაში ვხვდებით სამი ტიპის წილადებს:
1) წილადები ან ერთეული წილადები, რომლებშიც მრიცხველი ერთია, მაგრამ მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი; 2) სისტემატური წილადები, რომლებშიც მრიცხველები შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელები შეიძლება იყოს მხოლოდ გარკვეული კონკრეტული ტიპის რიცხვები, მაგალითად, ხარისხები ათი ან სამოცი;
3) ზოგადი ფორმის წილადები, რომლებშიც მრიცხველები და მნიშვნელები შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი. ამ სამი განსხვავებული ტიპის წილადის გამოგონებამ კაცობრიობისთვის სხვადასხვა სირთულის ხარისხი წარმოადგინა, ამიტომ სხვადასხვა ეპოქაში ჩნდება სხვადასხვა ტიპის წილადები.

სლაიდი 6

ფრაქციები ბაბილონში
ბაბილონელები მხოლოდ ორ რიცხვს იყენებდნენ. ვერტიკალური ტირე აღნიშნავს ერთ ერთეულს, ხოლო ორი დაწოლილი ტირის კუთხე აღნიშნავს ათს. ეს სტრიქონები სოლის სახით იყო მიღებული, რადგან ბაბილონელები ბასრი ჯოხით წერდნენ ნესტიან თიხის ფირფიტებზე, რომლებსაც შემდეგ აშრობდნენ და აცხობდნენ.

სლაიდი 7

ფრაქციები ძველ ეგვიპტეში
ძველ ეგვიპტეში არქიტექტურამ მიაღწია განვითარების მაღალ დონეს. გრანდიოზული პირამიდებისა და ტაძრების ასაგებად, ფიგურების სიგრძის, ფართობისა და მოცულობის გამოსათვლელად საჭირო იყო არითმეტიკის ცოდნა. პაპირუსზე გაშიფრული ინფორმაციის საფუძველზე მეცნიერებმა შეიტყვეს, რომ ეგვიპტელებს 4000 წლის წინ ჰქონდათ ათობითი (მაგრამ არა პოზიციური) რიცხვითი სისტემა, შეძლეს მრავალი პრობლემის გადაჭრა, რომლებიც დაკავშირებულია სამშენებლო, ვაჭრობა და სამხედრო საქმეებთან.

სლაიდი 8

თექვსმეტობითი წილადები
ძველ ბაბილონში უპირატესობას ანიჭებდნენ 60-ის მუდმივ მნიშვნელს. ბაბილონიდან მემკვიდრეობით მიღებული სექსუალური ფრაქციები იყენებდნენ ბერძენი და არაბი მათემატიკოსები და ასტრონომები. მკვლევარები ბაბილონელებში სქესობრივი რიცხვების სისტემის გამოჩენას სხვადასხვა გზით ხსნიან. სავარაუდოდ, აქ გათვალისწინებული იყო 60-ის ბაზა, რომელიც არის 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 და 60-ის ჯერადი, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს ყველა სახის გამოთვლას. ამ მხრივ სქესობრივი წილადები შეიძლება შევადაროთ ჩვენს ათობითი წილადებს. სიტყვების „სამოცი მეათედი“, „სამი ათასი ექვსასიანი“ ნაცვლად, მოკლედ თქვეს: „პირველი მცირე ნაწილები“, „მეორე მცირე ნაწილები“. აქედან წარმოიშვა ჩვენი სიტყვები „წუთი“ (ლათინურად „მცირე“) და „მეორე“ (ლათინურად „მეორე“). ასე რომ, წილადების აღნიშვნის ბაბილონის ხერხმა თავისი მნიშვნელობა დღემდე შეინარჩუნა.

სლაიდი 9

"ეგვიპტური ფრაქციები"
ძველ ეგვიპტეში ზოგიერთ წილადს ჰქონდა საკუთარი განსაკუთრებული სახელები - კერძოდ, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 და 1/8, რომლებიც ხშირად ჩნდება პრაქტიკაში. გარდა ამისა, ეგვიპტელებმა იცოდნენ, თუ როგორ უნდა ემოქმედათ ეგრეთ წოდებული ალიკვოტური ფრაქციებით (ლათინური aliquot - რამდენიმე) 1 / n ტიპის - ამიტომ მათ ზოგჯერ "ეგვიპტურსაც" უწოდებენ; ამ წილადებს ჰქონდათ საკუთარი მართლწერა: წაგრძელებული ჰორიზონტალური ოვალური და მის ქვეშ მნიშვნელის აღნიშვნა. დანარჩენ წილადებს წილების ჯამად წერდნენ. წილადი 7/8 დაიწერა წილების სახით: ½+1/4+1/8.

სლაიდი 10

ფრაქციები ძველ რომში
წილადების საინტერესო სისტემა იყო ძველ რომში. მას ეფუძნებოდა წონის ერთეულის 12 ნაწილად დაყოფა, რომელსაც ეძახდნენ. ტუზის მეთორმეტეს უნცია ერქვა. და გზა, დრო და სხვა რაოდენობები შეადარეს ვიზუალურ ნივთს - წონას. მაგალითად, რომაელს შეუძლია თქვას, რომ მან შვიდი უნცია გზა გაიარა ან წიგნი წაიკითხა. ამავდროულად, რა თქმა უნდა, საქმე არ იყო გზის ან წიგნის აწონვაზე. ეს იმას ნიშნავდა, რომ გზის 7/12 იყო დაფარული ან წიგნის 5/12 წაკითხული. ხოლო წილადებისთვის, რომლებიც მიღებულ იქნა 12-იანი მნიშვნელის მქონე წილადების შემცირებით ან მეთორმეტეების უფრო მცირედ გაყოფით, იყო სპეციალური სახელები.
1 ტროას უნცია ოქრო არის ძვირფასი ლითონების წონის საზომი

სლაიდი 11

ათწილადების აღმოჩენა
რამდენიმე ათასწლეულის მანძილზე კაცობრიობა იყენებდა წილად რიცხვებს, მაგრამ უფრო გვიან იფიქრა მათი დაწერა მოსახერხებელ ათობითი ადგილებში. დღეს ჩვენ ვიყენებთ ათწილადებს ბუნებრივად და თავისუფლად. დასავლეთ ევროპა XVI საუკუნეში მთელ რიცხვების წარმოდგენის გავრცელებულ ათობითი სისტემასთან ერთად, გამოთვლებში ყველგან გამოიყენებოდა სქესობრივი წილადები, რომლებიც დათარიღებულია ბაბილონელთა უძველესი ტრადიციით.

სლაიდი 12

ჰოლანდიელი მათემატიკოსის სიმონ სტევინის ნათელ გონებას დასჭირდა, რომ როგორც მთელი, ისე წილადი რიცხვების ჩანაწერი ერთ სისტემაში შეეტანა.

სლაიდი 13

ათწილადების გამოყენება
მე-17 საუკუნის დასაწყისიდან იწყება ათობითი წილადების ინტენსიური შეღწევა მეცნიერებაში და პრაქტიკაში. ინგლისში წერტილი შემოიღეს, როგორც ნიშანი, რომელიც აშორებს მთელ ნაწილს წილადი ნაწილისგან. მძიმით, წერტილის მსგავსად, 1617 წელს მათემატიკოსმა ნაპიერმა შესთავაზა გამყოფად. ბევრად უფრო ხშირად ვიდრე ჩვეულებრივი წილადები.
მრეწველობისა და ვაჭრობის, მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების განვითარება მოითხოვდა უფრო და უფრო რთულ გამოთვლებს, რომელთა შესრულება უფრო ადვილი იყო ათობითი წილადების დახმარებით. ათწილადი წილადები ფართოდ გამოიყენებოდა მე-19 საუკუნეში ზომებისა და წონების მეტრული სისტემის შემოღების შემდეგ, მათთან მჭიდროდ დაკავშირებული. მაგალითად, ჩვენს ქვეყანაში, სოფლის მეურნეობაში და მრეწველობაში, ათობითი წილადები და მათი კონკრეტული ფორმა - პროცენტები - ბევრად უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე ჩვეულებრივი წილადები.

სლაიდი 14

ათწილადების გამოყენება
მე-17 საუკუნის დასაწყისიდან იწყება ათობითი წილადების ინტენსიური შეღწევა მეცნიერებაში და პრაქტიკაში. ინგლისში წერტილი შემოიღეს, როგორც ნიშანი, რომელიც აშორებს მთელ ნაწილს წილადი ნაწილისგან. მძიმით, წერტილის მსგავსად, 1617 წელს მათემატიკოსმა ნაპიერმა შესთავაზა გამყოფად. მრეწველობისა და ვაჭრობის, მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების განვითარება მოითხოვდა უფრო და უფრო რთულ გამოთვლებს, რომელთა შესრულება უფრო ადვილი იყო ათობითი წილადების დახმარებით. ათწილადი წილადები ფართოდ გამოიყენებოდა მე-19 საუკუნეში ზომებისა და წონების მეტრული სისტემის შემოღების შემდეგ, მათთან მჭიდროდ დაკავშირებული. მაგალითად, ჩვენს ქვეყანაში, სოფლის მეურნეობაში და მრეწველობაში, ათობითი წილადები და მათი კონკრეტული ფორმა - პროცენტები - ბევრად უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე ჩვეულებრივი წილადები.

სლაიდი 15

წყაროების სია
M.Ya.Vygodsky "არითმეტიკა და ალგებრა ძველ სამყაროში". G.I.Gleizer "მათემატიკის ისტორია სკოლაში". I.Ya.Depman "არითმეტიკის ისტორია". ვილენკინი ნ.ია. "წილადების ისტორიიდან" ფრიდმენ ლ.მ. "მათემატიკის სწავლა" ფრაქციები ბაბილონში, ეგვიპტეში, რომში. ათწილადების აღმოჩენა... prezentacii.com›ისტორია›ათწილადების აღმოჩენა...მათემატიკა "წილადები ბაბილონში, ეგვიპტეში, რომში. ათწილადების აღმოჩენა... ppt4web.ru›…drobi...rime...desjatichnykh-drobejj.html წილადები ბაბილონი, ეგვიპტე, რომი. ათობითი წილადების აღმოჩენა"...powerpt.ru›…drobi-v...rime…desyatichnyh-drobey.html ეგვიპტე, ძველი რომი, ბაბილონი. ათობითი წილადების აღმოჩენა."... uchportal.ru›მეთოდური განვითარება ›ათწილადის წილადების აღმოჩენა. მათემატიკის ისტორია: ...რომი, ბაბილონი. ათობითი წილადების აღმოჩენა... rusedu.ru›detail_23107.html 9პრეზენტაცია: .. .ძველი რომი, ბაბილონი ათწილადების აღმოჩენა... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ წილადები ბაბილონში, ეგვიპტე, რომში ათწილადების აღმოჩენა... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej…

ესეიგი

დისციპლინა: "მათემატიკა"

ამ თემაზე: "არაჩვეულებრივი ჩვეულებრივი წილადები"

Შესრულებული:

მე-5 კლასის მოსწავლე

ფროლოვა ნატალია

ხელმძღვანელი:

დრუშჩენკო ე.ა.

მათემატიკის მასწავლებელი

სტრეჟევი, ტომსკის რეგიონი

შესავალი

წელს დავიწყეთ ჩვეულებრივი წილადების შესწავლა. ძალიან უჩვეულო რიცხვები, დაწყებული მათი უჩვეულო აღნიშვნებით და დამთავრებული მათთან მუშაობის რთული წესებით. მიუხედავად იმისა, რომ მათთან პირველი გაცნობიდან ცხადი იყო, რომ მათ გარეშე არ შეიძლება, ჩვეულებრივ ცხოვრებაშიც კი, რადგან ყოველდღე გვიწევს მთელის ნაწილებად დაყოფის პრობლემა და თუნდაც გარკვეულ მომენტში მეჩვენებოდა, რომ ჩვენ ვიყავით აღარ არის გარშემორტყმული მთელი რიცხვებით, არამედ წილადი რიცხვებით. მათთან ერთად სამყარო უფრო რთული, მაგრამ ამავე დროს უფრო საინტერესო აღმოჩნდა. Მა მაქვს რამდენიმე კითხვა. აუცილებელია წილადები? ისინი მნიშვნელოვანია? მაინტერესებდა საიდან გაჩნდა წილადები, ვინ მოიფიქრა მათთან მუშაობის წესები. მიუხედავად იმისა, რომ სიტყვა გამოგონილი ალბათ არც თუ ისე შესაფერისია, რადგან მათემატიკაში ყველაფერი უნდა შემოწმდეს, რადგან ჩვენს ცხოვრებაში ყველა მეცნიერება და ინდუსტრია ემყარება მკაფიო მათემატიკურ კანონებს, რომლებიც ვრცელდება მთელ მსოფლიოში. არ შეიძლება, რომ ჩვენში წილადების შეკრება ერთი წესით ხდებოდეს და სადღაც ინგლისში სხვანაირად.

აბსტრაქტზე მუშაობისას გარკვეული სირთულეები მომიწია: ახალი ტერმინებითა და ცნებებით თავის გატეხვა, პრობლემების გადაჭრა და ძველი მეცნიერების მიერ შემოთავაზებული გადაწყვეტის გაანალიზება მომიწია. ასევე, აკრეფისას, პირველად დამხვდა წილადების და წილადი გამონათქვამების დაბეჭდვის აუცილებლობა.

ჩემი ესეს მიზანი: ჩვეულებრივი წილადის კონცეფციის განვითარების ისტორიის მიკვლევა, პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრისას ჩვეულებრივი წილადების გამოყენების აუცილებლობისა და მნიშვნელობის ჩვენება. ამოცანები, რომლებიც ჩემს თავს დავსახე: ესეს თემაზე მასალის შეგროვება და მისი სისტემატიზაცია, უძველესი პრობლემების შესწავლა, დამუშავებული მასალის შეჯამება, განზოგადებული მასალის დიზაინი, პრეზენტაციის მომზადება, რეფერატის წარდგენა.

ჩემი ნამუშევარი სამი თავისგან შედგება. შევისწავლე და დავამუშავე მასალები 7 წყაროდან, მათ შორის სასწავლო, სამეცნიერო და ენციკლოპედიური ლიტერატურიდან, ინტერნეტ საიტიდან. მე შევქმენი აპლიკაცია, რომელიც შეიცავს პრობლემების არჩევანს უძველესი წყაროებიდან, რამდენიმე გასართობ პრობლემას ჩვეულებრივ წილადებთან და პრეზენტაციას Power Point რედაქტორში.

I. ჩვეულებრივი წილადების ისტორიიდან

წილადების გაჩენა

მრავალი ისტორიული და მათემატიკური გამოკვლევა აჩვენებს, რომ წილადი რიცხვები სხვადასხვა ხალხში გაჩნდა ძველ დროში ბუნებრივი რიცხვების შემდეგ მალევე. წილადების გამოჩენა დაკავშირებულია პრაქტიკულ საჭიროებებთან: დავალებები, სადაც აუცილებელია ნაწილებად დაყოფა, ძალიან გავრცელებული იყო. გარდა ამისა, ცხოვრებაში ადამიანს არა მხოლოდ საგნების დათვლა, არამედ რაოდენობების გაზომვაც უწევდა. ადამიანები შეხვდნენ სიგრძის, მიწის ფართობის, მოცულობისა და სხეულების მასების გაზომვას. ამ შემთხვევაში მოხდა ისე, რომ საზომი ერთეული არ ჯდებოდა გაზომილ მნიშვნელობაში მთელი რიცხვი. მაგალითად, მონაკვეთის სიგრძის ნაბიჯებით გაზომვისას ადამიანს წააწყდა შემდეგი ფენომენი: ათი ნაბიჯი ერგებოდა სიგრძეს, ხოლო დარჩენილი იყო ერთ საფეხურზე ნაკლები. ამიტომ, წილადი რიცხვების გამოჩენის მეორე მნიშვნელოვანი მიზეზი უნდა ჩაითვალოს რაოდენობების გაზომვა არჩეული საზომი ერთეულის გამოყენებით.

ამრიგად, ყველა ცივილიზაციაში წილადის ცნება წარმოიშვა მთლიანის თანაბარ ნაწილებად განადგურების პროცესიდან. რუსული ტერმინი "ფრაქცია", ისევე როგორც მისი ანალოგი სხვა ენებში, მოდის ლათ. fractura, რომელიც, თავის მხრივ, არის არაბული ტერმინის თარგმანი იმავე მნიშვნელობით: გატეხვა, ჩახშობა. ამიტომ, ალბათ, პირველი წილადები ყველგან იყო 1/n ფორმის წილადები. შემდგომი განვითარება ბუნებრივად მიდის ამ წილადების ერთეულებად განხილვის მიმართულებით, საიდანაც შეიძლება შედგეს წილადები m/n - რაციონალური რიცხვები. თუმცა, ეს გზა ყველა ცივილიზაციას არ გაუვლია: მაგალითად, ის არასოდეს ყოფილა რეალიზებული ძველ ეგვიპტურ მათემატიკაში.

პირველი ფრაქცია, რომელიც ხალხს შეხვდა, ნახევარი იყო. მიუხედავად იმისა, რომ ყველა შემდეგი წილადის სახელები ასოცირდება მათი მნიშვნელების სახელებთან (სამი - "მესამე", ოთხი - "მეოთხედი" და ა.შ.), ეს ასე არ არის ნახევარზე - მის სახელს ყველა ენაზე არაფერი აქვს. რაც შეეხება სიტყვას „ორი“.

წილადების ჩაწერის სისტემა, მათთან მუშაობის წესები მკვეთრად განსხვავდებოდა როგორც სხვადასხვა ხალხში, ასევე სხვადასხვა დროს ერთსა და იმავე ხალხში. ასევე მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა სხვადასხვა ცივილიზაციებს შორის კულტურული კონტაქტების დროს იდეების მრავალრიცხოვანმა სესხებამ.

ფრაქციები ძველ ეგვიპტეში

ძველ ეგვიპტეში იყენებდნენ მხოლოდ უმარტივეს წილადებს, რომლებშიც მრიცხველი ერთის ტოლია (მათ, რომლებსაც „წილებს“ ვუწოდებთ). მათემატიკოსები ასეთ წილადებს ალიქვატებს უწოდებენ (ლათინურიდან aliquot - რამდენიმე). ასევე გამოიყენება სახელწოდება ძირითადი წილადები ან ერთეული წილადები.

გარდა ამისა, ეგვიპტელები იყენებდნენ იეროგლიფის საფუძველზე დამწერლობის ფორმებს ჰორუსის თვალი (ვაჯეტი). ძველებს ახასიათებთ მზისა და თვალის გამოსახულების შერწყმა. ეგვიპტურ მითოლოგიაში ხშირად მოიხსენიება ღმერთი ჰორუსი, რომელიც განასახიერებს ფრთოსან მზეს და არის ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული წმინდა სიმბოლო. მზის მტრებთან ბრძოლაში, რომელიც განსახიერებულია სეტის სახით, ჰორუსი პირველად დამარცხებულია. სეთმა ამოხეთქა თვალი - სასწაულმოქმედი თვალი - და ანაწევრებს მას. თოთმა - სწავლის, გონიერებისა და სამართლიანობის ღმერთმა - კვლავ დაკეცა თვალის ნაწილები ერთში და შექმნა "ჰორუსის ჯანსაღი თვალი". გაყოფილი თვალის ნაწილების გამოსახულებები წერილობით გამოიყენებოდა ძველ ეგვიპტეში წილადების აღსანიშნავად 1/2-დან 1/64-მდე.

ექვსი სიმბოლოს ჯამი, რომელიც შედის ვაჯეტში და შემცირებულია საერთო მნიშვნელამდე: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

ეს წილადები გამოიყენებოდა ეგვიპტური წილადების სხვა ფორმებთან ერთად გასაყოფად heckat, მოცულობის მთავარი საზომი ძველ ეგვიპტეში. ეს კომბინირებული აღნიშვნა ასევე გამოიყენება მარცვლეულის, პურის და ლუდის მოცულობის გასაზომად. თუ ჰორუსის თვალის წილადის სახით რაოდენობის ჩაწერის შემდეგ დარჩენილი იყო ნარჩენი, იგი ჩაწერილი იყო ჩვეულებრივი სახით, როგორც რო-ს ჯერადი, საზომი ერთეული, რომელიც უდრის ჰეკატის 1/320-ს.

ამავდროულად, "პირი" ყველა იეროგლიფის წინ იყო განთავსებული.

ჰეკატქერი: 1/2 + 1/4 + 1/32 (ანუ ქერის 25/32 ჭურჭელი).

ჰეკატიყო დაახლოებით 4785 ლიტრი.

ეგვიპტელები ყოველ მეორე წილადს წარმოადგენდნენ ალიქვოტური წილადების ჯამის სახით, მაგალითად 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 და ასე შემდეგ.

ასე ეწერა: /2 /16; /2 /4 /8.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ეს საკმაოდ მარტივი ჩანს. მაგალითად, 2/7 = 1/7 + 1/7. მაგრამ ეგვიპტელების კიდევ ერთი წესი იყო წილადების სერიაში რიცხვების გამეორების არარსებობა. ანუ 2/7 მათი აზრით იყო 1/4 + 1/28.

ახლა რამდენიმე ალიკვოტური წილადის ჯამს ეგვიპტურ წილადს უწოდებენ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჯამის თითოეულ წილადს აქვს ერთის ტოლი მრიცხველი და მნიშვნელი, რომელიც ნატურალური რიცხვია.

სხვადასხვა გამოთვლების განხორციელება, ყველა წილადის ერთეულებით გამოხატვა, რა თქმა უნდა, ძალიან რთული და შრომატევადი იყო. ამიტომ ეგვიპტელი მეცნიერები ზრუნავდნენ მწიგნობრის მუშაობის ხელშეწყობაზე. მათ შეადგინეს წილადების გაფართოების სპეციალური ცხრილები მარტივებად. ძველი ეგვიპტის მათემატიკური დოკუმენტები არ არის მათემატიკის სამეცნიერო ტრაქტატები, არამედ პრაქტიკული სახელმძღვანელოები ცხოვრებიდან აღებული მაგალითებით. იმ ამოცანებს შორის, რომლებიც მწიგნობართა სკოლის მოსწავლეს უნდა გადაეჭრა, იყო ბეღლების სიმძლავრის, კალათის მოცულობის და მინდვრის ფართობის გამოთვლა და მემკვიდრეებს შორის ქონების გაყოფა და სხვები. მწიგნობარს უნდა დაემახსოვრებინა ეს ნიმუშები და შეეძლო სწრაფად გამოეყენებინა ისინი გამოთვლებისთვის.

ეგვიპტური წილადების ერთ-ერთი ყველაზე ადრე ცნობილი ცნობა არის Rhind მათემატიკური პაპირუსი. სამი ძველი ტექსტი, სადაც მოხსენიებულია ეგვიპტური წილადები, არის ეგვიპტური მათემატიკური ტყავის გრაგნილი, მოსკოვის მათემატიკური პაპირუსი და ხის ტაბლეტი ახმიმი.

ეგვიპტური მათემატიკის უძველესი ძეგლი, ეგრეთ წოდებული "მოსკოვის პაპირუსი", არის ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-19 საუკუნის დოკუმენტი. იგი 1893 წელს შეიძინა უძველესი საგანძურის შემგროვებელმა გოლენიშჩევმა და 1912 წელს მოსკოვის სახვითი ხელოვნების მუზეუმის საკუთრება გახდა. იგი შეიცავდა 25 სხვადასხვა დავალებას.

მაგალითად, იგი განიხილავს 37-ის გაყოფის ამოცანას მოცემულ რიცხვზე, როგორც (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). ამ წილადი რიცხვის თანმიმდევრული გაორმაგებით და 37-სა და მომხდარს შორის სხვაობის გამოხატვით, ასევე საერთო მნიშვნელის პოვნის არსებითად ანალოგიური პროცედურის გამოყენებით, მიიღება პასუხი: კოეფიციენტი არის 16 + 1/56 + 1/679 + 1/. 776.

ყველაზე დიდი მათემატიკური დოკუმენტი - პაპირუსის გზამკვლევი აჰმესის გამოთვლების შესახებ - იპოვა 1858 წელს ინგლისელმა კოლექციონერმა რინდმა. პაპირუსი შედგენილია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-17 საუკუნეში. მისი სიგრძე 20 მეტრია და სიგანე 30 სანტიმეტრი. ის შეიცავს 84 მათემატიკურ ამოცანას, მათ ამონახსნებს და პასუხებს ეგვიპტური წილადების სახით.

აჰმესის პაპირუსი იწყება ცხრილით, რომელშიც 2\n ფორმის ყველა წილადი 2/5-დან 2/99-მდე იწერება ალიქვოტური წილადების ჯამებად. ეგვიპტელებმა ასევე იცოდნენ წილადების გამრავლება და გაყოფა. მაგრამ გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადები წილადებზე და შემდეგ, შესაძლოა, კვლავ გამოიყენოთ ცხრილი. გაყოფა კიდევ უფრო რთული იყო. მაგალითად, როგორ იყოფა 5 21-ზე:

საერთო პრობლემა აჰმესის პაპირუსიდან: „დაე გითხრეს: 10 ღერი ქერი გაყავით 10 კაცს; განსხვავება თითოეულ ადამიანსა და მის მეზობელს შორის არის საზომის 1/8. საშუალო წილი ერთი საზომია. გამოვაკლოთ ერთი 10-ს; დარჩენილი 9. შეადგინე სხვაობის ნახევარი; ეს არის 1/16. მიიღეთ 9 ჯერ. წაისვით შუა დარტყმაზე; თითოეულ სახეს გამოაკელი საზომის 1/8, სანამ ბოლომდე არ მიაღწევ“.

კიდევ ერთი პრობლემა აჰმესის პაპირუსიდან, რომელიც ასახავს ალიქვოტური ფრაქციების გამოყენებას: "შვიდი პური გავყოთ 8 ადამიანზე."
თუ თითოეულ პურს 8 ნაწილად დაჭრით, მოგიწევთ 49 ნაჭრის გაკეთება.
ეგვიპტურში კი ეს პრობლემა ასე მოგვარდა. წილებად დაიწერა წილადი 7/8: 1/2 + 1/4 + 1/8. ეს ნიშნავს, რომ თითოეულ ადამიანს უნდა მიეცეს ნახევარი პური, მეოთხედი პური და მერვე პური; ამიტომ ოთხ პურს ვჭრით შუაზე, ორ პურს - 4 ნაწილად და ერთ პურს - 8 წილს, რის შემდეგაც ვაძლევთ თითოეულ ნაწილს.

წილადების ეგვიპტური ცხრილები და სხვადასხვა ბაბილონური ცხრილები ჩვენთვის ცნობილი გამოთვლების გასაადვილებლად უძველესი საშუალებაა.

ეგვიპტური ფრაქციები გრძელდებოდა ძველ საბერძნეთში და შემდგომ მათემატიკოსთა მიერ მთელ მსოფლიოში შუა საუკუნეებამდე, მიუხედავად მათზე ძველი მათემატიკოსების შენიშვნებისა. მაგალითად, კლავდიუს პტოლემემ ისაუბრა ეგვიპტური წილადების გამოყენების უხერხულობაზე ბაბილონის სისტემასთან შედარებით (პოზიციური რიცხვითი სისტემა). ეგვიპტური წილადების შესწავლაზე მნიშვნელოვანი სამუშაო ჩაატარა მე-13 საუკუნის მათემატიკოსმა ფიბონაჩის ნაშრომში "Liber Abaci" - ეს არის გამოთვლები ათობითი და ჩვეულებრივი წილადების გამოყენებით, რომლებმაც საბოლოოდ ჩაანაცვლეს ეგვიპტური წილადები. ფიბონაჩი იყენებდა წილადების კომპლექსურ აღნიშვნას, მათ შორის რიცხვების აღნიშვნას შერეული ფუძით და აღნიშვნით, როგორც წილადების ჯამები და ხშირად იყენებდნენ ეგვიპტურ წილადებს. ასევე წიგნში მოცემულია ალგორითმები ჩვეულებრივი წილადებიდან ეგვიპტურზე გადასაყვანად.

ფრაქციები ძველ ბაბილონში.

ცნობილია, რომ ძველ ბაბილონში ისინი იყენებდნენ სქესობრივი რიცხვების სისტემას. მეცნიერები ამ ფაქტს მიაწერენ იმას, რომ ბაბილონის ფულადი და წონის ერთეულები ისტორიული პირობების გამო დაიყო 60 თანაბარ ნაწილად: 1 ტალანტი = 60 წთ; 1 მინა = 60 შეკელი. ბაბილონელების ცხოვრებაში 60-იანი წლები ჩვეულებრივი მოვლენა იყო. ამიტომაც გამოიყენეს სქესობრივი წილადები, რომლებსაც ყოველთვის აქვთ რიცხვი 60 ან მისი მნიშვნელობები: 60 2 \u003d 3600, 60 3 \u003d 216000 და ა.შ. ეს არის მსოფლიოში პირველი სისტემატური წილადები, ე.ი. წილადები, რომელთა მნიშვნელები ერთი და იგივე რიცხვის ხარისხებია. ასეთი წილადების გამოყენებით ბაბილონელებს მოუწიათ მრავალი წილადის დაახლოებით გამოსახვა. ეს არის ამ ფრაქციების მინუსი და ამავე დროს უპირატესობა. ეს წილადები მე-15 საუკუნემდე ბერძენი, შემდეგ კი არაბულენოვანი და შუა საუკუნეების ევროპელი მეცნიერების მიერ მეცნიერული გამოთვლების მუდმივ ინსტრუმენტად იქცა, სანამ მათ ადგილი არ დაუთმეს ათობითი წილადებს. მაგრამ სექსუალური ფრაქციები ასტრონომიაში გამოიყენებოდა ყველა ხალხის მეცნიერების მიერ XVII საუკუნემდე და მათ ასტრონომიულ წილადებს უწოდებდნენ.

სექსუალური რიცხვების სისტემამ წინასწარ განსაზღვრა დიდი როლი ბაბილონის სხვადასხვა ცხრილების მათემატიკაში. სრული ბაბილონის გამრავლების ცხრილი უნდა შეიცავდეს პროდუქტებს 1x1-დან 59x59-მდე, ანუ 1770 რიცხვამდე, და არა 45-ს, როგორც ჩვენი გამრავლების ცხრილი. ასეთი ცხრილის დამახსოვრება თითქმის შეუძლებელია. წერილობითი ფორმითაც კი, ეს ძალიან რთული იქნება. ამიტომ, როგორც გამრავლებისთვის, ასევე გაყოფისთვის, არსებობდა სხვადასხვა ცხრილების ვრცელი ნაკრები. ბაბილონის მათემატიკაში გაყოფის ოპერაციას შეიძლება ეწოდოს „პრობლემა ნომერი პირველი“. m რიცხვის გაყოფა n რიცხვზე ბაბილონელებმა შეამცირეს m რიცხვის გამრავლება 1 \\ n წილადზე და მათ არც კი ჰქონდათ ტერმინი "გაყოფა". მაგალითად, გამოთვლისას რას დავწერდით x = m: n, ისინი ყოველთვის ასე მსჯელობდნენ: აიღეთ n-ის საპასუხო, თქვენ იპოვით 1 \ n, გაამრავლეთ m 1\ n-ზე და დაინახავთ x-ს. რა თქმა უნდა, ჩვენი ასოების ნაცვლად, ბაბილონის მაცხოვრებლები კონკრეტულ ნომრებს უწოდებდნენ. ამრიგად, ბაბილონის მათემატიკაში უმნიშვნელოვანესი როლი ითამაშა უამრავმა საპასუხო ცხრილმა.

გარდა ამისა, წილადებით გამოთვლებისთვის, ბაბილონელებმა შეადგინეს ყველაზე ვრცელი ცხრილები, რომლებიც გამოხატავდნენ ძირითად წილადებს სქესობრივ წილადებში. Მაგალითად:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

ბაბილონელების მიერ წილადების შეკრება და გამოკლება განხორციელდა ჩვენს პოზიციური რიცხვების სისტემაში მთელ რიცხვებზე და ათობითი წილადებზე შესაბამისი მოქმედებების ანალოგიურად. მაგრამ როგორ მრავლდებოდა წილადი წილადზე? საზომი გეომეტრიის საკმაოდ მაღალი განვითარება (გამოკვლევა, არეების გაზომვა) ვარაუდობს, რომ ბაბილონელებმა ეს სირთულეები გეომეტრიის დახმარებით გადალახეს: ხაზოვანი მასშტაბის ცვლილება 60-ჯერ იძლევა ფართობის მასშტაბის ცვლილებას 60 × 60-ჯერ. უნდა აღინიშნოს, რომ ბაბილონში ნატურალური რიცხვების სფეროს გაფართოება დადებითი რაციონალური რიცხვების სფერომდე საბოლოოდ არ მომხდარა, რადგან ბაბილონელები განიხილავდნენ მხოლოდ სასრულ სქესობრივ წილადებს, რომელთა არეალში დაყოფა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. გარდა ამისა, ბაბილონელები იყენებდნენ წილადებს 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, რისთვისაც იყო ინდივიდუალური ნიშნები.

ბაბილონის სქესობრივი რიცხვების სისტემის კვალი შემორჩენილია თანამედროვე მეცნიერებაში დროისა და კუთხეების გაზომვისას. საათის დაყოფა 60 წუთზე, წუთი 60 წამში, წრე 360 გრადუსზე, გრადუსი 60 წუთზე, წუთი 60 წამში დღემდე შემორჩენილია.

(პატარა ნაწილი).

ფრაქციები ძველ რომში.

რომაელები ძირითადად იყენებდნენ მხოლოდ კონკრეტულ ფრაქციებს, რომლებმაც შეცვალეს აბსტრაქტული ნაწილები გამოყენებული ზომების ქვედანაყოფებით. წილადების ეს სისტემა ეფუძნებოდა წონის ერთეულის 12 ნაწილად დაყოფას, რომელსაც ეძახდნენ. ასე წარმოიშვა რომაული თორმეტგოჯა წილადი, ე.ი. წილადები, რომელთა მნიშვნელი ყოველთვის არის 12. ტუზის მეთორმეტეს უნცია ერქვა. 1/12-ის ნაცვლად რომაელებმა თქვეს "ერთი უნცია", 5/12 - "ხუთი უნცია" და ა.შ. სამ უნციას ერქვა მეოთხედი, ოთხ უნციას მესამეს, ექვს უნციას ნახევარს.

და გზა, დრო და სხვა რაოდენობები შეადარეს ვიზუალურ ნივთს - წონას. მაგალითად, რომაელს შეუძლია თქვას, რომ მან შვიდი უნცია გზა გაიარა ან წიგნი წაიკითხა. ამავდროულად, რა თქმა უნდა, საქმე არ იყო გზის ან წიგნის აწონვაზე. ეს იმას ნიშნავდა, რომ გზის 7/12 იყო დაფარული ან წიგნის 5/12 წაკითხული. ხოლო წილადებისთვის, რომლებიც მიღებულ იქნა 12-იანი მნიშვნელის მქონე წილადების შემცირებით ან მეთორმეტეების უფრო მცირედ გაყოფით, იყო სპეციალური სახელები. საერთო ჯამში გამოყენებულია წილადების 18 სხვადასხვა სახელწოდება. მაგალითად, გამოყენებული იყო შემდეგი სახელები:

"სკრუპულუსი" - 1/288 assa,

"ნახევრად" - ნახევარი უკანალი,

"სექსტანები" - მისი მეექვსე წილი,

"შვიდი უნცია" - ნახევარი უნცია, ე.ი. 1/24 ტრაკი და ა.შ.

ასეთ წილადებთან მუშაობისთვის საჭირო იყო ამ წილადების შეკრების ცხრილისა და გამრავლების ცხრილის დამახსოვრება. მაშასადამე, რომაელმა ვაჭრებმა მტკიცედ იცოდნენ, რომ ტრიენის (1/3 ასო) და სექსტანების დამატებისას მიიღება ნახევარი, ხოლო როდესაც დემონი (2/3 ტრაკი) მრავლდება სესკუტით (2/3 უნცია, ანუ 1/8). ტრაკი), მიიღება უნცია. სამუშაოს გასაადვილებლად შედგენილია სპეციალური ცხრილები, რომელთაგან ზოგიერთი ჩვენამდე მოვიდა.

უნცია აღინიშნა ტირეთი - ნახევარი ასას (6 უნცია) - ასო S (ლათინურ სიტყვაში პირველი Semis არის ნახევარი). ეს ორი ნიშანი ემსახურებოდა ნებისმიერი თორმეტგოჯა წილადის დაწერას, რომელთაგან თითოეულს თავისი სახელი ჰქონდა. მაგალითად, 7 \ 12 დაიწერა ასე: S-.

ჯერ კიდევ ძვ.

დამახასიათებელია შემდეგი ნაწყვეტი ჩვენს წელთაღრიცხვამდე I საუკუნის ცნობილი რომაელი პოეტის ჰორაციუსის ნაწარმოებიდან, იმ ეპოქის ერთ-ერთ რომაულ სკოლაში მასწავლებლისა და მოსწავლის საუბრის შესახებ:

მასწავლებელი: ალბინის ძემ თქვას, რამდენი დარჩება, თუ ხუთ უნციას ერთი უნცია ჩამოართმევენ!

სტუდენტი: მესამედი.

მასწავლებელი: ასეა, თქვენ კარგად იცნობთ წილადებს და შეძლებთ თქვენი ქონების დაზოგვას.

ფრაქციები ძველ საბერძნეთში.

ძველ საბერძნეთში არითმეტიკა - რიცხვების ზოგადი თვისებების შესწავლა - გამოეყო ლოჯისტიკას - გამოთვლების ხელოვნებას. ბერძნებს სჯეროდათ, რომ ფრაქციების გამოყენება მხოლოდ ლოჯისტიკაში შეიძლებოდა. ბერძნები თავისუფლად მოქმედებდნენ წილადებთან ყველა არითმეტიკული მოქმედებით, მაგრამ ისინი არ აღიარებდნენ მათ რიცხვებად. მათემატიკაზე ბერძნულ ნაწერებში არ იყო წილადები. ბერძენი მეცნიერები თვლიდნენ, რომ მათემატიკა მხოლოდ მთელ რიცხვებს უნდა ეხებოდეს. ისინი ვაჭრებს, ხელოსნებს, ასევე ასტრონომებს, ამზომველებს, მექანიკოსებს და სხვა „შავკანიან ადამიანებს“ ფრაქციებს აძლევდნენ. „ერთეულის გაყოფა თუ გინდა, მათემატიკოსები დაგცინიან და ამის საშუალებას არ მოგცემენ“, - წერდა ათენის აკადემიის დამფუძნებელი პლატონი.

მაგრამ ყველა ძველი ბერძენი მათემატიკოსი არ ეთანხმებოდა პლატონს. ასე რომ, ტრაქტატში "წრის გაზომვის შესახებ" არქიმედე იყენებს წილადებს. ალექსანდრიელი ჰერონიც თავისუფალი იყო ფრაქციებში. ის ეგვიპტელების მსგავსად წილადს ყოფს ძირითადი წილადების ჯამად. 12\13-ის ნაცვლად წერს 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, 5\12-ის ნაცვლად წერს 1\3 + 1\12 და ა.შ. პითაგორაც კი, რომელიც ბუნებრივ რიცხვებს წმინდა მოწიწებით ეპყრობოდა, მუსიკალური მასშტაბის თეორიის შექმნისას მთავარ მუსიკალურ ინტერვალებს წილადებს უკავშირებდა. მართალია, პითაგორა და მისი სტუდენტები არ იყენებდნენ წილადის ცნებას. მათ საკუთარ თავს უფლებას აძლევდნენ ისაუბრონ მხოლოდ მთელი რიცხვების მიმართებაზე.

ვინაიდან ბერძნები წილადებს მხოლოდ სპორადულად ეხებოდნენ, ისინი იყენებდნენ სხვადასხვა აღნიშვნებს. ჰერონმა და დიოფანტემ წილადებს ანბანის მიხედვით წერდნენ, მრიცხველი მნიშვნელის ქვეშ იყო. ცალკეული აღნიშვნები გამოიყენებოდა ზოგიერთი წილადისთვის, მაგალითად, 1 \ 2 - L ′′, მაგრამ ზოგადად, მათი ანბანური ნუმერაცია ძნელად იძლეოდა წილადების დანიშვნას.

ერთეული წილადებისთვის გამოიყენებოდა სპეციალური აღნიშვნა: წილადის მნიშვნელს ახლდა შტრიხი მარჯვნივ, მრიცხველი არ ეწერა. მაგალითად, ანბანურ სისტემაში ნიშნავდა 32-ს, ხოლო " - წილადი 1 \ 32. არის ჩვეულებრივი წილადების ისეთი ჩანაწერები, რომლებშიც მრიცხველი შტრიხით და ორჯერ აღებული მნიშვნელი ერთ სტრიქონში იწერება გვერდიგვერდ. აი, მაგალითად, ჰერონ ალექსანდრიელმა დაწერა წილადი 3 \4: .

წილადი რიცხვების ბერძნული აღნიშვნის ნაკლოვანებები განპირობებულია იმით, რომ ბერძნებმა გაიგეს სიტყვა "რიცხვი", როგორც ერთეულების ერთობლიობა, ამიტომ, რასაც ჩვენ ახლა ერთ რაციონალურ რიცხვად მივიჩნევთ - წილადად - ბერძნებმა გაიგეს, როგორც თანაფარდობა. ორი მთელი რიცხვიდან. ეს განმარტავს, თუ რატომ იყო ჩვეულებრივი წილადები იშვიათი ბერძნულ არითმეტიკაში. უპირატესობა მიენიჭა ან ერთი მრიცხველის მქონე წილადებს ან სქესობრივ წილადებს. სფერო, სადაც პრაქტიკულ გამოთვლებს ყველაზე დიდი მოთხოვნილება ჰქონდა ზუსტი წილადებისთვის, იყო ასტრონომია და აქ ბაბილონის ტრადიცია იმდენად ძლიერი იყო, რომ მას ყველა ხალხი იყენებდა, საბერძნეთის ჩათვლით.

ფრაქციები რუსეთში

პირველი რუსი მათემატიკოსი, ჩვენთვის ცნობილი სახელით, ნოვგოროდის მონასტრის ბერი კირიკი ეხებოდა ქრონოლოგიისა და კალენდრის საკითხებს. თავის ხელნაწერ წიგნში „სწავლება მის მიერ იცოდეს კაცთა რიცხვთა ყოველთა წელთა“ (1136 წ.), ე.ი. „ინსტრუქცია იმის შესახებ, თუ როგორ შეუძლია ადამიანმა იცოდეს წლების რაოდენობა“ იყენებს საათის დაყოფას მეხუთედებად, ოცდამეხუთედ და ა.შ. წილადები, რომლებსაც მან უწოდა „ფრაქციული საათი“ ან „საათები“. ის მოდის მეშვიდე წილად საათამდე, საიდანაც დღე-ღამეში 937 500-ია და ამბობს, რომ მეშვიდე წილადი საათებიდან არაფერი მიიღება.

მათემატიკის პირველ სახელმძღვანელოებში (VII ს.) წილადებს ეწოდებოდა წილადები, მოგვიანებით კი „გატეხილი რიცხვები“. რუსულად სიტყვა ფრაქცია მე-8 საუკუნეში გაჩნდა, ის მოდის ზმნიდან „დამსხვრევა“ - გატეხვა, ნაწილებად გატეხვა. რიცხვის დაწერისას გამოიყენებოდა ჰორიზონტალური ხაზი.

ძველ სახელმძღვანელოებში არის რუსეთში ფრაქციების შემდეგი სახელები:

1/2 - ნახევარი, ნახევარი

1/3 - მესამე

1/4 - ოთხი

1/6 - ნახევარი მესამედი

1/8 - ნახევარი საათი

1/12 - ნახევარი მესამედი

1/16 - ნახევარი

1/24 - ნახევარი ნახევარი მესამედი (პატარა მესამედი)

1/32 - ნახევარი და ნახევარი და ნახევარი (პატარა მეოთხედი)

1/5 - ხუთი

1/7 - კვირა

1/10 - მეათედი.

მეოთხედი და უფრო მცირე მიწის ზომა გამოიყენებოდა რუსეთში -

ნახევარი მეოთხედი, რომელსაც რვაფეხას ეძახდნენ. ეს იყო კონკრეტული ფრაქციები, დედამიწის ფართობის საზომი ერთეულები, მაგრამ რვაფეხა ვერ გაზომავდა დროს ან სიჩქარეს და ა.შ. მოგვიანებით, რვაფეხა დაიწყო აბსტრაქტულ წილადს 1/8, რომელიც გამოხატავს ნებისმიერს. ღირებულება.

მე-17 საუკუნეში რუსეთში წილადების გამოყენების შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ ვ. ბელუსტინის წიგნში „როგორ თანდათანობით მივიდნენ ადამიანები რეალურ არითმეტიკამდე“ შემდეგი: „მე-17 საუკუნის ხელნაწერში. „ციფრული მუხლი ყველა აქციაზე, დადგენილება“ იწყება უშუალოდ წილადების წერილობითი აღნიშვნით და მრიცხველისა და მნიშვნელის მითითებით. წილადების გამოთქმისას საინტერესოა შემდეგი მახასიათებლები: მეოთხე ნაწილს ერქვა მეოთხედი, ხოლო 5-დან 11-მდე მნიშვნელის მქონე წილები გამოიხატებოდა სიტყვებით დაბოლოებით „ინა“, ასე რომ, 1/7 არის კვირა, 1/5. არის ხუთი, 1/10 არის მეათედი; 10-ზე მეტი მნიშვნელის მქონე აქციები გამოითქმოდა სიტყვებით "ფულები", მაგალითად 5/13 - ხუთი მეცამეტე ლოტი. წილადების ნუმერაცია პირდაპირ იყო ნასესხები დასავლური წყაროებიდან... მრიცხველს ეძახდნენ ზედა რიცხვს, მნიშვნელს ქვედას“.

მე-16 საუკუნიდან მოყოლებული, პლანკის ანგარიში ძალიან პოპულარულია რუსეთში - გამოთვლები ინსტრუმენტის გამოყენებით, რომელიც იყო რუსული ანგარიშების პროტოტიპი. ამან შესაძლებელი გახადა რთული არითმეტიკული მოქმედებების სწრაფად და მარტივად შესრულება. ფიცარი ფართოდ იყო გავრცელებული ვაჭრებში, მოსკოვის ორდენების თანამშრომლებში, "მზომელებში" - მიწის ამზომველებში, სამონასტრო დიასახლისებში და ა.შ.

თავდაპირველი ფორმით, დაფის რაოდენობა სპეციალურად იყო ადაპტირებული მოწინავე არითმეტიკის საჭიროებებზე. ეს არის მე-15-მე-17 საუკუნეების რუსეთში დაბეგვრის სისტემა, რომელშიც მთელი რიცხვების შეკრებასთან, გამოკლებასთან, გამრავლებასთან და გაყოფასთან ერთად, საჭირო იყო იგივე ოპერაციების შესრულება წილადებით, ვინაიდან დაბეგვრის პირობითი ერთეული - გუთანი. ნაწილებად იყო დაყოფილი.

ფიცრის ანგარიში შედგებოდა ორი დასაკეცი ყუთისაგან. თითოეული ყუთი იყოფა ორად (მოგვიანებით მხოლოდ ბოლოში); მეორე ყუთი საჭირო იყო ფულის ანგარიშის თავისებურებიდან გამომდინარე. ყუთში ძვლებს აკრავდნენ დაჭიმულ თოკებზე ან მავთულზე. ათობითი რიცხვების სისტემის შესაბამისად, მთელი რიცხვების რიგებს ჰქონდა 9 ან 10 ძვალი; ფრაქციებით ოპერაციები ჩატარდა არასრულ მწკრივებზე: სამი ძვლის მწკრივი შედგებოდა სამი მესამედით, რიგი ოთხი ძვლისგან - ოთხი მეოთხედი (ჩეტი). ქვემოთ იყო რიგები, რომლებშიც ერთი ძვალი იყო: თითოეული ძვალი წარმოადგენდა იმ ფრაქციის ნახევარს, რომლის ქვეშაც ის მდებარეობდა (მაგალითად, სამი ძვლის მწკრივის ქვეშ მდებარე ძვალი იყო მესამედის ნახევარი, მის ქვემოთ ძვალი იყო ნახევრის ნახევარი. ერთი მესამედი და ა.შ.). ორი იდენტური „მსგავსი“ წილადის მიმატება იძლევა უახლოესი უმაღლესი კატეგორიის წილადს, მაგალითად, 1/12+1/12=1/6 და ა.შ. ანგარიშებზე ორი ასეთი ფრაქციების დამატება შეესაბამება უახლოეს უფრო მაღალ მუხლზე გადასვლას.

წილადების შეჯამება მოხდა საერთო მნიშვნელის შემცირების გარეშე, მაგალითად, „კვარტალნახევარი და ნახევარი“ (1/4 + 1/6 + 1/16). ზოგჯერ წილადებთან მოქმედებები ხდებოდა ისევე, როგორც მთელი რიცხვებით მთელი (გუთანი) გარკვეულ თანხასთან გათანაბრების გზით. მაგალითად, თუ სოხა = 48 ფულადი ერთეული, ზემოთ მოყვანილი ფრაქცია იქნება 12 + 8 + 3 = 23 ფულადი ერთეული.

სოშის არითმეტიკაში საქმე უფრო მცირე წილადებთან იყო. ზოგიერთი ხელნაწერი შეიცავს ნახატებს და აღწერილობებს „საანგარიშო ყუთების“ მსგავსი, როგორც ახლახან განხილული, მაგრამ დიდი რაოდენობით სტრიქონები ერთი ძვლით, ასე რომ მათზე შეიძლება განთავსდეს წილადები 1/128-მდე და 1/96-მდე. უდავოდ დამზადდა შესაბამისი მოწყობილობებიც. კალკულატორების მოხერხებულობისთვის მიეცა "წვრილი ძვლების კოდექსის" მრავალი წესი, ე.ი. სოშის ანგარიშში გამოყენებული წილადების დამატება, როგორიცაა: გუთნის სამი მეოთხედი და გუთნის ნახევარი და ნახევარი გუთანი და ა.შ. ნახევარ-ნახევარ-ნახევარ-ნახევრამდე გუთანი არის გუთანი ნახევარ-ნახევარ-ნახევარ-ნახევარ-ნახევარი მეოთხედის გარეშე, ე.ი. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 და ა.შ.

მაგრამ წილადებიდან განიხილებოდა მხოლოდ 1/2 და 1/3, ისევე როგორც მათგან მიღებული 2-ზე თანმიმდევრული გაყოფით. სხვა სერიების წილადებთან ოპერაციებისთვის „დაფის დათვლა“ არ იყო ადაპტირებული. მათთან მუშაობისას საჭირო იყო სპეციალური ცხრილების მითითება, რომლებშიც მოცემულია წილადების სხვადასხვა კომბინაციების შედეგები.

1703 წელს გამოიცა მათემატიკის პირველი რუსული ბეჭდური სახელმძღვანელო „არითმეტიკა“. ავტორი მაგნიტსკი ლეონტი ფილიპოვიჩი. ამ წიგნის მე-2 ნაწილში, „გატეხილი ხაზების ან ნაწილების რიცხვის შესახებ“, წილადების დოქტრინა დეტალურად არის აღწერილი.

მაგნიტსკიში მას თითქმის თანამედროვე ხასიათი აქვს. მაგნიტსკი უფრო დეტალურად საუბრობს წილების გაანგარიშებაზე, ვიდრე თანამედროვე სახელმძღვანელოები. მაგნიტსკი წილადებს თვლის დასახელებულ რიცხვებად (არა მხოლოდ 1/2, არამედ 1/2 რუბლი, პუდი და ა. რომ არის გატეხილი რიცხვი, მაგნიტსკი პასუხობს: „გატეხილი რიცხვი სხვა არაფერია, მხოლოდ ნომრით გამოცხადებული ნივთის ნაწილი, ანუ ნახევარი რუბლი იწერება, მაგრამ იწერება რუბლით, ან რუბლით, ან. რუბლი, ან ორი მეხუთედი და ყველანაირი ნივთი გამოცხადებულია რიცხვად, ანუ გატეხილი რიცხვით. მაგნიტსკი ასახელებს ყველა კუთვნილ წილადს მნიშვნელებით 2-დან 10-მდე. მაგალითად, წილადები 6-ის მნიშვნელით: ერთი თექვსმეტი, ორი თექვსმეტი, სამი თექვსმეტი, ოთხი თექვსმეტი, ხუთი თექვსმეტი.

მაგნიტსკი იყენებს სახელს მრიცხველს, მნიშვნელს, განიხილავს არასწორ წილადებს, შერეულ რიცხვებს, გარდა ყველა მოქმედებისა, ის გამოყოფს მთელ ნაწილს არასწორი წილადიდან.

წილადების მოძღვრება ყოველთვის რჩებოდა არითმეტიკის ყველაზე რთულ მონაკვეთად, მაგრამ ამავდროულად, ნებისმიერ წინა ეპოქაში, ხალხმა გააცნობიერა წილადების შესწავლის მნიშვნელობა და მასწავლებლები ლექსებსა და პროზაში ცდილობდნენ თავიანთი სტუდენტების გახარებას. ლ. მაგნიტსკი წერდა:

მაგრამ არითმეტიკა არ არის

იჯო მთლიანად მოპასუხე,

და ამ აქციებში არაფერია,

შეგიძლია უპასუხო.

ჭამე შენზე გაიხარე,

შეძლოს ნაწილებად.

ფრაქციები ძველ ჩინეთში

ჩინეთში თითქმის ყველა არითმეტიკული მოქმედებები ჩვეულებრივი წილადებით უკვე დადგენილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II საუკუნეში. ძვ.წ ე. ისინი აღწერილია ძველი ჩინეთის მათემატიკური ცოდნის ფუნდამენტურ კორპუსში - „მათემატიკა ცხრა წიგნში“, რომლის საბოლოო გამოცემა ეკუთვნის ჟანგ კანგს. ევკლიდეს ალგორითმის მსგავსი წესის საფუძველზე გამოთვლა (მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი), ჩინელმა მათემატიკოსებმა შეამცირეს წილადები. წილადების გამრავლება წარმოდგენილი იყო მართკუთხა მიწის ნაკვეთის ფართობის პოვნის სახით, რომლის სიგრძე და სიგანე გამოიხატება წილადი რიცხვებით. დაყოფა განიხილებოდა გაყოფის იდეის გამოყენებით, ხოლო ჩინელ მათემატიკოსებს არ რცხვენოდათ, რომ განყოფილებაში მონაწილეთა რაოდენობა შეიძლება იყოს წილადი, მაგალითად, 3⅓ ადამიანი.

თავდაპირველად, ჩინელები იყენებდნენ უმარტივეს წილადებს, რომლებსაც დაარქვეს ბანი იეროგლიფის გამოყენებით:

აბანოები ("ნახევარი") -1 \ 2;

შაო ბან ("პატარა ნახევარი") -1\3;

ტაი ბან ("დიდი ნახევარი") -2 \ 3.

შემდეგი ნაბიჯი იყო ფრაქციების ზოგადი იდეის შემუშავება და მათთან მუშაობის წესების ფორმირება. თუ ძველ ეგვიპტეში იყენებდნენ მხოლოდ ალიქვოტურ ფრაქციებს, მაშინ ჩინეთში ისინი, როგორც ფრაქციებ-ფენად ითვლებოდნენ, ითვლებოდნენ წილადების ერთ-ერთ სახეობად და არა ერთადერთ შესაძლოებად. ჩინური მათემატიკა შერეულ რიცხვებს უძველესი დროიდან ეხებოდა. მათემატიკური ტექსტებიდან ყველაზე ადრეული, ჟოუ ბი სუან ჯინგი (ჯოუ გნომონის გამოთვლის კანონი/გნომონის მათემატიკური ტრაქტატი), შეიცავს გამოთვლებს, რომლებშიც რიცხვები, როგორიცაა 247933/1460, ამაღლებულია ხარისხზე.

"Ju zhang suan shu"-ში ("ცხრა მონაკვეთში დათვლის წესები") წილადი განიხილება, როგორც მთლიანის ნაწილი, რომელიც გამოიხატება მისი წილადების n-ე რიცხვში - ფენ - m (n).< m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Например, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь 2\5.

"Ju Zhang Suan Shu"-ს პირველ განყოფილებაში, რომელიც ზოგადად ველების გაზომვას ეძღვნება, ცალკე მოცემულია წილადების შემცირების, შეკრების, გამოკლების, გაყოფისა და გამრავლების წესები, ასევე მათი შედარება და "გათანაბრება", ე.ი. სამი წილადის ასეთი შედარება, რომელშიც აუცილებელია მათი საშუალო არითმეტიკის პოვნა (წიგნში არ არის მოცემული ორი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის უფრო მარტივი წესი).

მაგალითად, ამ ნარკვევში წილადების ჯამის მისაღებად გთავაზობთ შემდეგი ინსტრუქციას: „მონაცვლეობით გაამრავლეთ (hu cheng) მრიცხველები მნიშვნელებზე. დაამატეთ - ეს არის დივიდენდი (shi). გაამრავლეთ მნიშვნელები - ეს არის გამყოფი (fa). გააერთიანეთ დივიდენდი გამყოფთან ერთში (და). თუ ნაშთია, მაშინ დააკავშირეთ იგი გამყოფთან. ეს ინსტრუქცია ნიშნავს, რომ თუ რამდენიმე წილადი დაემატება, მაშინ თითოეული წილადის მრიცხველი უნდა გამრავლდეს ყველა სხვა წილადის მნიშვნელებზე. დივიდენდის (როგორც ასეთი გამრავლების შედეგების ჯამის) გამყოფთან (ყველა მნიშვნელის ნამრავლი) „შეერთებისას“ მიიღება წილადი, რომელიც საჭიროების შემთხვევაში უნდა შემცირდეს და საიდანაც მთელი ნაწილი უნდა გამოიყოს გაყოფით. , მაშინ "ნარჩენი" არის მრიცხველი, ხოლო შემცირებული გამყოფი არის მნიშვნელი. წილადთა სიმრავლის ჯამი არის ასეთი გაყოფის შედეგი, რომელიც შედგება მთელი რიცხვი პლუს წილადისაგან. ინსტრუქცია „გაამრავლე მნიშვნელები“ ​​ფაქტობრივად ნიშნავს წილადების უმაღლეს საერთო მნიშვნელამდე მიყვანას.

წილადის შემცირების წესი Jiu Zhang Xuan Shu-ში შეიცავს ალგორითმს მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად, რომელიც იგივეა, რაც ე.წ. ევკლიდის ალგორითმი ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად. მაგრამ თუ ეს უკანასკნელი, როგორც ცნობილია, მოცემულია "პრინციპებში" გეომეტრიული ფორმულირებით, მაშინ ჩინური ალგორითმი წარმოდგენილია წმინდა არითმეტიკურად. ჩინური ალგორითმი უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად

სლაიდი 1

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 2

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 3

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 4

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 5

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 6

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 7

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 8

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 9

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 10

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 11

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 12

სლაიდის აღწერა:

ახლაც ამბობენ ხოლმე: „ამ საკითხს სკრუპულოზურად შეისწავლა“. ეს ნიშნავს, რომ საკითხი ბოლომდე შესწავლილია, ოდნავი გაურკვევლობაც კი არ დარჩენილა. ხოლო უცნაური სიტყვა „სკრუპულოზურად“ მოდის რომაული სახელიდან 1/288 assa - „scrupulus“. ხმარებაში იყო ასეთი სახელებიც: "ნახევრად" - ასოს ნახევარი, "სექსტანები" - მისი მეექვსე წილი, "შვიდი უნცია" - ნახევარი უნცია, ე.ი. 1/24 ტრაკი და ა.შ. საერთო ჯამში გამოყენებულია წილადების 18 სხვადასხვა სახელწოდება. წილადებთან მუშაობისთვის საჭირო იყო ამ წილადების შეკრების ცხრილისა და გამრავლების ცხრილის დამახსოვრება. მაშასადამე, რომაელმა ვაჭრებმა მტკიცედ იცოდნენ, რომ ტრიენის (1/3 ასო) და სექსტანების დამატებისას მიიღება ნახევარი, ხოლო როდესაც დემონი (2/3 ტრაკი) მრავლდება სესკუტით (2/3 უნცია, ანუ 1/8). ტრაკი), მიიღება უნცია. სამუშაოს გასაადვილებლად შედგენილია სპეციალური ცხრილები, რომელთაგან ზოგიერთი ჩვენამდე მოვიდა. ახლაც ამბობენ ხოლმე: „ამ საკითხს სკრუპულოზურად შეისწავლა“. ეს ნიშნავს, რომ საკითხი ბოლომდე შესწავლილია, ოდნავი გაურკვევლობაც კი არ დარჩენილა. ხოლო უცნაური სიტყვა „სკრუპულოზურად“ მოდის რომაული სახელიდან 1/288 assa - „scrupulus“. ხმარებაში იყო ასეთი სახელებიც: "ნახევრად" - ასოს ნახევარი, "სექსტანები" - მისი მეექვსე წილი, "შვიდი უნცია" - ნახევარი უნცია, ე.ი. 1/24 ტრაკი და ა.შ. საერთო ჯამში გამოყენებულია წილადების 18 სხვადასხვა სახელწოდება. წილადებთან მუშაობისთვის საჭირო იყო ამ წილადების შეკრების ცხრილისა და გამრავლების ცხრილის დამახსოვრება. მაშასადამე, რომაელმა ვაჭრებმა მტკიცედ იცოდნენ, რომ ტრიენის (1/3 ასო) და სექსტანების დამატებისას მიიღება ნახევარი, ხოლო როდესაც დემონი (2/3 ტრაკი) მრავლდება სესკუტით (2/3 უნცია, ანუ 1/8). ტრაკი), მიიღება უნცია. სამუშაოს გასაადვილებლად შედგენილია სპეციალური ცხრილები, რომელთაგან ზოგიერთი ჩვენამდე მოვიდა.

სლაიდი 13

სლაიდის აღწერა:

იმის გამო, რომ თორმეტგოჯა ნაწლავის სისტემაში არ არსებობს წილადები 10 ან 100 მნიშვნელით, რომაელებს გაუჭირდათ გაყოფა 10-ზე, 100-ზე და ა.შ. 1001 ვირის 100-ზე გაყოფისას ერთმა რომაელმა მათემატიკოსმა ჯერ მიიღო 10 ვირი, შემდეგ გაიყო. ასოები უნციაში და ა.შ.. მაგრამ მან არ მოიშორა დარჩენილი. იმისათვის, რომ არ გაუმკლავდეთ ასეთ გამოთვლებს, რომაელებმა დაიწყეს პროცენტების გამოყენება. იმის გამო, რომ თორმეტგოჯა ნაწლავის სისტემაში არ არსებობს წილადები 10 ან 100 მნიშვნელით, რომაელებს გაუჭირდათ გაყოფა 10-ზე, 100-ზე და ა.შ. 1001 ვირის 100-ზე გაყოფისას ერთმა რომაელმა მათემატიკოსმა ჯერ მიიღო 10 ვირი, შემდეგ გაიყო. ასოები უნციაში და ა.შ.. მაგრამ მან არ მოიშორა დარჩენილი. იმისათვის, რომ არ გაუმკლავდეთ ასეთ გამოთვლებს, რომაელებმა დაიწყეს პროცენტების გამოყენება. ვინაიდან სიტყვები "ასი" ლათინურად ჟღერდა "დაახლოებით centum", მაშინ მეასედ ნაწილს ეწოდა პროცენტი.

სლაიდი 14

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 15

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 16

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი 17

სლაიდის აღწერა:

3.1.1. წილადების წარმოშობის შესახებ.

წილადი რიცხვების საჭიროება წარმოიშვა ადამიანის პრაქტიკული საქმიანობის შედეგად. ერთეულის წილების პოვნის აუცილებლობა ჩვენს წინაპრებს შორის გაჩნდა ნადირობის შემდეგ ნადირის გაყოფისას. წილადი რიცხვების გამოჩენის მეორე მნიშვნელოვანი მიზეზი უნდა ჩაითვალოს რაოდენობების გაზომვა არჩეული საზომი ერთეულის გამოყენებით.

ასე დაიბადა წილადები.

წილადი რიცხვის განვითარების ისტორიაში ვხვდებით სამი ტიპის წილადებს:

1) წილადები ან ერთეული წილადები, რომლებშიც მრიცხველი ერთია, მაგრამ მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი;

2) სისტემატური წილადები, რომლებშიც მრიცხველები შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელები შეიძლება იყოს მხოლოდ გარკვეული კონკრეტული ტიპის რიცხვები, მაგალითად, ხარისხები ათი ან სამოცი;

3) ზოგადი ფორმის წილადები, რომლებშიც მრიცხველები და მნიშვნელები შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი.

ამ სამი განსხვავებული ტიპის წილადის გამოგონებამ კაცობრიობისთვის სხვადასხვა სირთულის ხარისხი წარმოადგინა, ამიტომ სხვადასხვა ეპოქაში ჩნდება სხვადასხვა ტიპის წილადები.

წილადი რიცხვების ადამიანის გაცნობა დაიწყო მცირე მნიშვნელის მქონე ერთეული წილადებით.

"ნახევარი", "მესამე", "მეოთხედი", "რვა" ცნებებს ხშირად იყენებენ ადამიანები, რომლებსაც არასოდეს უსწავლიათ წილადი რიცხვების არითმეტიკა. ეს მარტივი წილადები ყოველმა ერმა დამოუკიდებლად გამოიგონა თავისი განვითარების პროცესში.

პირველი ფრაქცია, რომელიც ხალხს შეხვდა, ნახევარი იყო. მიუხედავად იმისა, რომ ყველა შემდეგი წილადის სახელები ასოცირდება მათი მნიშვნელების სახელებთან (სამი - "მესამე", ოთხი - "მეოთხედი" და ა.შ.), ეს ასე არ არის ნახევარზე - მის სახელს ყველა ენაზე არაფერი აქვს. რაც შეეხება სიტყვას „ორი“. შემდეგი ფრაქცია იყო მესამე.

ამგვარად, პირველი წილადები, რომლებსაც ისტორია გვაცნობს, არის ფორმის - - ეგრეთ წოდებული ერთეული წილადები ან ალიკვოტები (ლათინური aliquot - "რამდენიმე").

ერთეული წილადები გვხვდება ჩვენამდე მოღწეულ უძველეს მათემატიკურ ტექსტებში, რომლებიც შედგენილია 5000 წელზე მეტი ხნის წინ - ძველი ეგვიპტური პაპირუსები და ბაბილონის ლურსმული დაფები.

ძველ დროში ჩვეულებრივმა ფრაქციებმა მიაღწიეს უდიდეს განვითარებას ინდოეთში. ჩვენს წელთაღრიცხვამდე IV საუკუნით დათარიღებულ ხელნაწერებში გვხვდება არა მხოლოდ ცალკეული წილადები, არამედ თვითნებური მრიცხველების მქონე წილადებიც. VII საუკუნის დასაწყისში ინდიელებმა იცოდნენ და ჩამოაყალიბეს ჩვეულებრივი წილადებით მოქმედებების წესები. დასავლეთ ევროპაში, ჩვეულებრივი წილადების საბოლოოდ ჩამოყალიბებული და მკაფიო თეორია 1585 წელს მისცა ფლამანდიელმა ინჟინერმა სიმონ სტევინმა.

3.1.2. ფრაქციები ძველ ეგვიპტეში.

ძველ ეგვიპტეში არქიტექტურამ მიაღწია განვითარების მაღალ დონეს. გრანდიოზული პირამიდებისა და ტაძრების ასაგებად, ფიგურების სიგრძის, ფართობისა და მოცულობის გამოსათვლელად საჭირო იყო არითმეტიკის ცოდნა. პაპირუსზე გაშიფრული ინფორმაციის საფუძველზე მეცნიერებმა შეიტყვეს, რომ ეგვიპტელებს 4000 წლის წინ ჰქონდათ ათობითი (მაგრამ არა პოზიციური) რიცხვითი სისტემა, შეძლეს მრავალი პრობლემის გადაჭრა, რომლებიც დაკავშირებულია სამშენებლო, ვაჭრობა და სამხედრო საქმეებთან. მრავალი საუკუნის განმავლობაში ეგვიპტელები წილადებს „გატეხილ რიცხვებს“ უწოდებდნენ და პირველი წილადი, რომელიც მათ შეხვდნენ, იყო 1/2. მას მოჰყვა 1/4, 1/8, 1/16, ..., შემდეგ 1/3, 1/6, ..., ე.ი. უმარტივეს წილადებს ერთეულ წილადებს უწოდებენ. მათი მრიცხველი ყოველთვის ერთია.

ეგვიპტელები ცდილობდნენ დაეწერათ ყველა წილადი ერთეული წილადების (წილების) ჯამებად. მაგალითად, წერის ნაცვლად. ფრაქცია დაიწერა აქციების სახით: . ძალიან მოუხერხებელია რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება, ყოველ ჯერზე მათი დაშლა ერთის წილადების ჯამად. აქვს თუ არა ეგვიპტელების სიყვარულს ალიქვოტური წილადებისადმი რაიმე ახსნა?

ავხსნათ ეს მაგალითით. განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა: „გაყავით 7 პური 8 ადამიანზე“.

აი, როგორ წყდება ეს პრობლემა Rhind Papyrus-ზე, რომელიც ძველი ეგვიპტური მათემატიკური ტექსტია, რომელიც გადაწერილია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 1650 წელს. მწიგნობარი აჰმესი.

Იმდენად, რამდენადაც . ამიტომ თითოეულ ადამიანს უნდა მიეცეს პურის ნახევარი, მეოთხედი და მერვე. ახლა გასაგებია, რომ თქვენ უნდა გაჭრათ 4 პური შუაზე, 2 პური 4 ნაწილად და მხოლოდ ერთი პური 8 ნაწილად.

არაერთეული წილადების ცალ წილადებად გასაფართოებლად იყო მზა ცხრილები, რომლებსაც იყენებდნენ ეგვიპტელი მწიგნობრები საჭირო გამოთვლებისთვის.

შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა დადებითი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ეგვიპტური წილადის სახით. ამ ტიპის ჯამს მათემატიკოსები იყენებდნენ, როგორც წილადების განმარტებას ძველი ეგვიპტის დროიდან შუა საუკუნეებამდე. თანამედროვე მათემატიკაში ეგვიპტური წილადების ნაცვლად გამოიყენება მარტივი და ათობითი წილადები, თუმცა ეგვიპტური წილადების შესწავლა გრძელდება რიცხვების თეორიასა და უძველესი მათემატიკის ისტორიაში.

3.1.3. ფრაქციები ძველ რომში.

წილადების საინტერესო სისტემა იყო ძველ რომში. რომაელები ძირითადად იყენებდნენ მხოლოდ კონკრეტულ ფრაქციებს, რომლებმაც შეცვალეს აბსტრაქტული ნაწილები გამოყენებული ზომების ქვედანაყოფებით. წილადების ეს სისტემა ეფუძნებოდა წონის ერთეულის 12 ნაწილად დაყოფას, რომელსაც ეძახდნენ. ასე წარმოიშვა რომაული თორმეტგოჯა წილადი, ე.ი. წილადები, რომელთა მნიშვნელი ყოველთვის არის 12. ტუზის მეთორმეტეს უნცია ერქვა. და გზა, დრო და სხვა რაოდენობები შეადარეს ვიზუალურ ნივთს - წონას. მაგალითად, რომაელს შეუძლია თქვას, რომ მან შვიდი უნცია გზა გაიარა ან წიგნი წაიკითხა. ამავდროულად, რა თქმა უნდა, საქმე არ იყო გზის ან წიგნის აწონვაზე. ეს იმას ნიშნავდა, რომ გზის 7/12 იყო დაფარული ან წიგნის 5/12 წაკითხული. ხოლო წილადებისთვის, რომლებიც მიღებულ იქნა 12-იანი მნიშვნელის მქონე წილადების შემცირებით ან მეთორმეტეების უფრო მცირედ გაყოფით, იყო სპეციალური სახელები.

ახლაც კი ამბობენ ხოლმე: „მან სკრუპულოზურად შეისწავლა ეს საკითხი“. ეს ნიშნავს, რომ საკითხი ბოლომდე შესწავლილია, ოდნავი გაურკვევლობაც კი არ დარჩენილა. და უცნაური სიტყვა "სკრუპულოზურად" მოდის რომაული სახელიდან 1/288 assa - "scrupulus". ხმარებაში იყო ასეთი სახელებიც: „ნახევრად“ - ვირის ნახევარი, „სექსტანები“ - მისი მეექვსე წილი, „შვიდი უნცია“ - ნახევარი უნცია, ე.ი. 1/24 ტრაკი და ა.შ. საერთო ჯამში გამოყენებულია წილადების 18 სხვადასხვა სახელწოდება. წილადებთან მუშაობისთვის საჭირო იყო ამ წილადების შეკრების ცხრილისა და გამრავლების ცხრილის დამახსოვრება. მაშასადამე, რომაელმა ვაჭრებმა მტკიცედ იცოდნენ, რომ ტრიენის (1/3 ასო) და სექსტანების დამატებისას მიიღება ნახევარი, ხოლო როდესაც დემონი (2/3 ტრაკი) მრავლდება სესკუტით (2/3 უნცია, ანუ 1/8). ტრაკი), მიიღება უნცია. სამუშაოს გასაადვილებლად შედგენილია სპეციალური ცხრილები, რომელთაგან ზოგიერთი ჩვენამდე მოვიდა.

ჯერ კიდევ ძვ.

დამახასიათებელია შემდეგი ფრაგმენტი ძვ.

მასწავლებელი: ალბინის ძემ თქვას, რამდენი დარჩება, თუ ხუთ უნციას ერთი უნცია ჩამოართმევენ!

სტუდენტი: მესამედი.

მასწავლებელი: ასეა, თქვენ კარგად იცნობთ წილადებს და შეძლებთ თქვენი ქონების დაზოგვას.

ახლა "ტრაკი" სააფთიაქო ფუნტია.

3.1.4. ბაბილონის სქესობრივი ფრაქციები.

სექსუალური სისტემის წარმოშობა გაურკვეველია. შესაძლოა, ეს დაკავშირებულია თორმეტგოჯა რიცხვების სისტემასთან (60 = 5 × 12, სადაც 5 არის ხელზე თითების რაოდენობა). ასევე არსებობს ო.ნოიგებაუერის ჰიპოთეზა, რომ აქადელთა მიერ შუმერების სახელმწიფოს დაპყრობის შემდეგ, დიდი ხნის განმავლობაში ერთდროულად არსებობდა ორი ფულადი ერთეული: შეკელი (ნამგალი) და მინა, და მათი თანაფარდობა დადგინდა 1 მინა = 60 შეკელი. მოგვიანებით ეს დაყოფა გახდა ცნობილი და წარმოშვა შესაბამისი სისტემა ნებისმიერი რიცხვის დასაწერად.

მე-20 საუკუნეში ჩატარებულმა გათხრებმა მესოპოტამიის სამხრეთ ნაწილში მდებარე უძველესი ქალაქების ნანგრევებს შორის გამოავლინა დიდი რაოდენობით ლურსმული მათემატიკური დაფები. მეცნიერებმა მათი შესწავლით დაადგინეს, რომ 2000 წ. ე. მათემატიკამ ბაბილონელებში განვითარების მაღალ დონეს მიაღწია.

ბაბილონელთა წერილობითი სქესობრივი ნუმერაცია გაერთიანდა ორი ნიშნისგან: ვერტიკალური სოლი ▼, რომელიც აღნიშნავს ერთს, და ჩვეულებრივი ნიშანი ◄, რომელიც აღნიშნავს ათს.

ბაბილონურ ლურსმულ ტექსტებში პირველად გვხვდება პოზიციური რიცხვების სისტემა. ვერტიკალური სოლი გულისხმობდა არა მხოლოდ 1, არამედ 60, 602, 603 და ა.შ. თავდაპირველად ბაბილონელებს არ ჰქონდათ ნულის ნიშანი პოზიციურ ექვსასიმალურ სისტემაში. მოგვიანებით დაინერგა èè ნიშანი, რომელმაც შეცვალა თანამედროვე ნული, რათა გამოეყო ციფრები ერთმანეთისგან.

ბაბილონელებში სქესობრივი რიცხვების სისტემის წარმოშობა, მეცნიერთა აზრით, დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ ბაბილონის ფულადი და წონის საზომი ერთეულები ისტორიული პირობების გამო დაიყო 60 თანაბარ ნაწილად: 1 ტალანტი = 60 წთ; 1 მინა = 60 შეკელი. ბაბილონელების ცხოვრებაში 60-იანი წლები ჩვეულებრივი მოვლენა იყო. ამიტომ იყენებდნენ სქესობრივ წილადებს, რომლებსაც ყოველთვის აქვთ მნიშვნელი 60 ან მისი სიმძლავრე: 602 = 3600, 603 = 216000 და ა.შ. ამ მხრივ სქესობრივი წილადები შეიძლება შევადაროთ ჩვენს ათობითი წილადებს. ბაბილონურმა მათემატიკამ გავლენა მოახდინა ბერძნულ მათემატიკაზე. ბაბილონის სქესობრივი რიცხვების სისტემის კვალი შემორჩენილია თანამედროვე მეცნიერებაში დროისა და კუთხეების გაზომვისას. დღემდე შენარჩუნებულია საათის დაყოფა 60 წუთზე, წუთი 60 წამზე, წრე 360 გრადუსზე, გრადუსი 60 წუთზე, წუთი 60 წამში. ბაბილონელებმა მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ასტრონომიის განვითარებაში. სექსუალური ფრაქციები ასტრონომიაში გამოიყენებოდა ყველა ერის მეცნიერების მიერ მე-17 საუკუნემდე და მათ ასტრონომიულ წილადებს უწოდებდნენ. ამის საპირისპიროდ, ზოგად წილადებს, რომლებსაც ჩვენ ვიყენებთ, ჩვეულებრივ წილადებს ეძახდნენ.

3.1.5. ნუმერაცია და წილადები ძველ საბერძნეთში.

VI საუკუნემდე ძვ.წ. ე. ბერძნული მათემატიკა არ იყო ცნობილი არაფრით გამორჩეული. ჩვეულებისამებრ, დათვლა და გაზომვა აითვისეს. ბერძნული ნუმერაცია (რიცხვების ჩაწერა), როგორც მოგვიანებით რომაული, იყო დანამატი, ანუ ახლდა რიცხვების რიცხვითი მნიშვნელობები. მისი პირველი ვერსია (ატიკი, ან ჰეროდიული) შეიცავდა ასო ნიშანს 1, 5, 10, 50, 100 და 1000. შესაბამისად, მოეწყო სათვლელი დაფა (აბაკუსი) კენჭებით. სხვათა შორის, ტერმინი კალკულაცია (გათვლა) მოდის კალკულუსიდან - კენჭი. სპეციალური ხვრელი კენჭი აღნიშნავს ნულს.

მოგვიანებით, ატიკური ნუმერაციის ნაცვლად, ანბანური ნუმერაცია მიიღეს - ბერძნული ანბანის პირველი 9 ასო აღნიშნავდა რიცხვებს 1-დან 9-მდე, შემდეგი 9 ასო იყო ათეული, დანარჩენი ასობით. იმისათვის, რომ რიცხვები და ასოები არ აგვერიოს, ციფრებს ზემოთ ტირე დახატეს. 1000-ზე მეტი რიცხვები დაიწერა პოზიციურად, დამატებითი ციფრების აღნიშვნა სპეციალური შტრიხით (ქვედა მარცხნივ). სპეციალური ნიშნებით შესაძლებელი გახდა 10000-ზე მეტი რიცხვების გამოსახვა.

VI საუკუნეში ძვ.წ. ე. იწყება "ბერძნული სასწაული": ჩნდება ერთდროულად ორი სამეცნიერო სკოლა - იონიელები (თალესი მილეტელი, ანაქსიმენესი, ანაქსიმანდრი) და პითაგორეელები. ჩვენ ვიცით ადრეული ბერძენი მათემატიკოსების მიღწევების შესახებ, ძირითადად, გვიანდელი ავტორების, ძირითადად ევკლიდეს, პლატონისა და არისტოტელეს კომენტარებიდან.

თალესმა, მდიდარმა ვაჭარმა, როგორც ჩანს, კარგად ისწავლა ბაბილონის მათემატიკა და ასტრონომია სავაჭრო მოგზაურობის დროს. იონიელებმა წარმოადგინეს გეომეტრიული თეორემების პირველი მტკიცებულებები.

თუმცა, უძველესი მათემატიკის შექმნაში მთავარი როლი პითაგორაელებს ეკუთვნის.

ძველ საბერძნეთში არითმეტიკა - რიცხვების ზოგადი თვისებების შესწავლა - გამოეყო ლოჯისტიკას - გამოთვლების ხელოვნებას. ბერძნებს სჯეროდათ, რომ ფრაქციების გამოყენება მხოლოდ ლოჯისტიკაში შეიძლებოდა. აქ პირველად ვხვდებით m/n ფორმის წილადის ზოგად კონცეფციას. ამრიგად, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ პირველად ბუნებრივი რიცხვების ფართობი გაფართოვდა დამატებითი რაციონალური რიცხვების არეალში ძველ საბერძნეთში არაუგვიანეს მე-5 საუკუნისა. ე. ბერძნები თავისუფლად მოქმედებდნენ წილადებთან ყველა არითმეტიკული მოქმედებით, მაგრამ ისინი არ აღიარებდნენ მათ რიცხვებად.

ბერძნები ერთ, "ეგვიპტურ" წილადებთან ერთად იყენებდნენ ჩვეულებრივ ჩვეულებრივ წილადებს. სხვადასხვა ჩანაწერებს შორის გამოიყენებოდა შემდეგი: მნიშვნელი ზევით, მის ქვემოთ არის წილადის მრიცხველი.

1 სლაიდი

2 სლაიდი

* * http://aida.ucoz.ru ჰორაციუსი "პოეზიის მეცნიერებიდან" "ალბინის ძე! მითხარი, თუ ავიღებთ ხუთ უნციას და გამოვაკლებთ ერთს, რა რჩება? - "ტუზის მესამე ნაწილი". „მშვენიერია! აბა, შენს ქონებას არ გაფლანგავ! და თუ ერთს დავუმატებთ წინა ხუთს, რამდენი იქნება ჯამი? - "ნახევარი". (თარგმნა მ. დმიტრიევმა.) http://aida.ucoz.ru

3 სლაიდი

* http://aida.ucoz.ru * ახალგაზრდა რომა მართალი იყო! ამ ამოცანის გადაწყვეტისას მივიღეთ ასევე: 5/12-1/12=1/3; 5/12+1/12=1/2. http://aida.ucoz.ru

4 სლაიდი

* http://aida.ucoz.ru "ზედმიწევნით" სინონიმები: ზუსტი, დახვეწილი, ფრთხილი, ზუსტი, კეთილსინდისიერი, სამკაულები, პუნქტუალური, პედანტი, ფილიგრანი, გამოტოვებული. და ეს უცნაური სიტყვა "სკრუპულოზურად" მოდის რომაული სახელიდან 1/288 assa - "scrupulus". http://aida.ucoz.ru

5 სლაიდი

* http://aida.ucoz.ru * ხმარებაში იყო ასეთი სახელებიც: "ნახევრად" - ასოს ნახევარი, "სექსტანები" - მეექვსე, "შვიდი უნცია" - ნახევარი უნცია, ანუ 1. /24 ტრაკი და ა.შ .დ. საერთო ჯამში გამოყენებულია წილადების 18 სხვადასხვა სახელწოდება. წილადებთან მუშაობისთვის საჭირო იყო შეკრების ცხრილის და გამრავლების ცხრილის დამახსოვრება. მაშასადამე, რომაელმა ვაჭრებმა დანამდვილებით იცოდნენ, რომ ტრიენსის (1/3 ტრაკი) და სექსტანების დამატებისას მიიღება ნახევარი, ხოლო როდესაც ბესი (2/3 ტრაკი) მრავლდება სესკუციაზე (2/3 უნცია, ე.ი. 1/8 ტრაკი), მიიღება უნცია. სამუშაოს გასაადვილებლად შედგენილია სპეციალური ცხრილები, რომელთაგან ზოგიერთი ჩვენამდე მოვიდა. http://aida.ucoz.ru

6 სლაიდი

გამარჯვების შემდეგ გაიუს იულიუს კეისარმა გადაწყვიტა დაეჯილდოებინა თავისი ავანგარდი და გამოყო მათ ჯერ 24 უნცია, შემდეგ კი კიდევ 36 უნცია. რამდენი ტუზი მიიღო რაზმმა? გადაწყვეტილება: 24 უნცია არის 2 ვირი, ხოლო 36 უნცია არის 3 ვირი, 3 + 2 = 5 ვირი მიიღო რაზმმა. პასუხი: 5 ტრაკი. მიშა ივანოვის პრობლემა

7 სლაიდი

ანჯელინა გლიბინას დავალება ძველ რომში, მეომრები, რომლებმაც ძალა და გამბედაობა გამოიჩინეს ბრძოლაში, საპატიო დაჯილდოვდნენ. რამდენი ტუზი დასჭირდა 6 მეომრის დაჯილდოებას, თუ თითოეულს მიეცა 2 ტუზი და 6 უნცია. ამოხსნა: ვამრავლებთ 6-ს 2 ვირზე, მივიღებთ 12 ვირს - ეს მოცემულია მხოლოდ 6 მეომრისთვის, შემდეგ ვამრავლებთ 6-ს 6-ზე, მივიღებთ 36 უნციას და ერთ ვირში - 12 უნციას, მივიღებთ 3 ვირს, დავამატებთ 3-ს. 12, ვიღებთ 15 ვირს. პასუხი: 15 ასლი.