გამოთვალეთ arcsin ფუნქციის მნიშვნელობა. ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გრაფიკები და ფორმულები. ინვერსიული ტანგენსის ფუნქცია

ამ გაკვეთილში ჩვენ განვიხილავთ მახასიათებლებს ინვერსიული ფუნქციებიდა გაიმეორე შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები... ყველა ძირითადი ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის თვისებები განხილული იქნება ცალკე: რკალის სინუსი, რკალის კოსინუსი, რკალის ტანგენსი და რკალის კოტანგენსი.

ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ მოამზადოთ დავალებების ერთ – ერთი სახეობისთვის. 7 ზედა C1.

გამოცდისთვის მზადება მათემატიკაში

Ექსპერიმენტი

გაკვეთილი 9. უკუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

თეორია

გაკვეთილის შეჯამება

გავიხსენოთ, როდესაც გვხვდება ისეთი კონცეფცია, როგორც შებრუნებული ფუნქცია. მაგალითად, განვიხილოთ კვადრატის ფუნქცია. დავუშვათ, რომ გვაქვს კვადრატული ოთახი 2 მეტრის გვერდებით და გვინდა გამოვთვალოთ მისი ფართობი. ამისათვის, კვადრატის კვადრატის ფორმულის მიხედვით, ჩვენ ორს ვზრდით კვადრატზე და შედეგად ვიღებთ 4 მ 2 -ს. ახლა წარმოვიდგინოთ ინვერსიული პრობლემა: ჩვენ ვიცით კვადრატული ოთახის ფართობი და გვინდა ვიპოვოთ მისი გვერდების სიგრძე. თუ ვიცით, რომ ფართობი კვლავ იგივეა 4 მ 2, მაშინ ჩვენ შევასრულებთ კვადრატის საპირისპირო მოქმედებას - არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღებას, რომელიც მოგვცემს მნიშვნელობას 2 მ.

ამრიგად, რიცხვის კვადრატის ფუნქციისთვის, შებრუნებული ფუნქციაა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღება.

კერძოდ, ზემოაღნიშნულ მაგალითში, ჩვენ არ გვქონია პრობლემა ოთახის მხარის გამოთვლაში, ვინაიდან ჩვენ გვესმის, რომ ეს არის დადებითი რიცხვი. თუმცა, თუ ამ საქმეს მივშორდებით და პრობლემას უფრო ზოგადი გზით განვიხილავთ: ”გამოთვალეთ რიცხვი, რომლის კვადრატი ოთხია”, ჩვენ პრობლემის წინაშე აღმოვჩნდებით - არსებობს ორი ასეთი რიცხვი. ეს არის 2 და -2, რადგან ასევე უდრის ოთხს. გამოდის, რომ საპირისპირო პრობლემაა ზოგადი შემთხვევაწყდება ორაზროვნად და კვადრატული რიცხვის განსაზღვრის მოქმედება მოგვცა ჩვენთვის ცნობილი რიცხვი? აქვს ორი შედეგი. მოსახერხებელია მისი ჩვენება სქემაში:

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ არ შეგვიძლია ციფრების შესაბამისობის ასეთ კანონს ვუწოდოთ ფუნქცია, რადგან ფუნქციისთვის არგუმენტის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება მკაცრად ერთიფუნქციის მნიშვნელობა.

კვადრატში ზუსტად ინვერსიული ფუნქციის დანერგვის მიზნით, შემოთავაზებულია არითმეტიკული კვადრატული ფესვის კონცეფცია, რომელიც იძლევა მხოლოდ არა-უარყოფით მნიშვნელობებს. იმ. ფუნქციისთვის განიხილება შებრუნებული ფუნქცია.

ანალოგიურად, არსებობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების საწინააღმდეგო ფუნქციები, მათ უწოდებენ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები... თითოეულ ჩვენ მიერ განხილულ ფუნქციას აქვს თავისი შებრუნებული, მათ უწოდებენ: arcsine, arccosine, arctangent და arccotangent.

ეს ფუნქციები აგვარებს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცნობილი მნიშვნელობიდან კუთხეების გამოთვლის პრობლემას. მაგალითად, ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ რომელი კუთხის სინუსია. ჩვენ ვპოულობთ ამ მნიშვნელობას სინუსების ხაზში და ვადგენთ რომელ კუთხეს შეესაბამება იგი. პირველი, რაც მე მინდა ვუპასუხო, არის ის, რომ ეს არის კუთხე ან, მაგრამ თუ თქვენ გაქვთ ღირებულებების ცხრილი ადრე, მაშინვე შეამჩნევთ პასუხის სხვა კანდიდატს - ეს არის კუთხე ან. და თუ ჩვენ გავიხსენებთ სინუსის პერიოდს, მაშინ გვესმის, რომ კუთხეები, რომლებითაც სინუსი ტოლია უსასრულოა. და ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მოცემული მნიშვნელობის შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობების ნაკრები დაფიქსირდება კოსინუსებისთვის, ტანგენსებისთვის და კოტანგენსტებისთვის, ვინაიდან მათ აქვთ პერიოდულობა.

იმ. ჩვენ ვდგავართ იმავე პრობლემის წინაშე, რომელიც გვქონდა არგუმენტის მნიშვნელობის გამოთვლისას ფუნქციის მნიშვნელობიდან კვადრატის მოქმედებისათვის. და ამ შემთხვევაში, ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისათვის, შემოღებულ იქნა შეზღუდვა იმ ღირებულებების დიაპაზონში, რომელსაც ისინი იძლევიან გამოთვლისას. ასეთი უკუ ფუნქციების ამ თვისებას ეწოდება დიაპაზონის შევიწროება, და აუცილებელია, რომ მათ ფუნქციები ეწოდოს.

თითოეული ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციისთვის, კუთხეების დიაპაზონი, რომელსაც ის აბრუნებს, განსხვავებულია და ჩვენ მათ ცალკე განვიხილავთ. მაგალითად, arcsine აბრუნებს კუთხის მნიშვნელობებს დიაპაზონში to- დან.

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით მუშაობის უნარი ჩვენთვის სასარგებლო იქნება ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნისას.

ჩვენ ახლა მივუთითებთ თითოეული ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ძირითად თვისებებს. თუ გსურთ გაეცნოთ მათ უფრო დეტალურად, იხილეთ თავი მეათე კლასის პროგრამაში "ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა".

განვიხილოთ arcsine ფუნქციის თვისებები და ავაშენოთ მისი გრაფიკი.

განმარტება.რიცხვის არკსინიx

არქსინის ძირითადი თვისებები:

1) ,

2) საათზე

Arcsine ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) სფერო ;

2) ღირებულებების დიაპაზონი ;

3) ფუნქცია უცნაურია. მიზანშეწონილია გახსოვდეთ ეს ფორმულა ცალკე, ვინაიდან ის სასარგებლოა გარდაქმნებისთვის. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ უცნაურობა გულისხმობს ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიას კოორდინატების წარმოშობასთან შედარებით;

მოდით დავხატოთ ფუნქცია:

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის გრაფიკის არცერთი ნაწილი არ მეორდება, რაც ნიშნავს რომ არკსინი არ არის პერიოდული ფუნქცია სინუსისგან განსხვავებით. იგივე ეხება რკალის ყველა სხვა ფუნქციას.

განვიხილოთ ინვერსიული კოსინუსის ფუნქციის თვისებები და ავაშენოთ მისი გრაფიკი.

განმარტება.არკოზინის ნომერიxეწოდება y კუთხის მნიშვნელობა რისთვისაც. უფრო მეტიც, როგორც შეზღუდვები სინუსის ღირებულებებზე, არამედ როგორც კუთხეების შერჩეული დიაპაზონი.

არკოზინის ძირითადი თვისებები:

1) ,

2) საათზე

ინვერსიული კოსინუსის ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) სფერო ;

2) ღირებულებების დიაპაზონი;

3) ფუნქცია არც ლუწი და არც კენტია, ე.ი. ზოგადი ხედი ... ასევე სასურველია გავიხსენოთ ეს ფორმულა, ის მოგვიანებით გამოგვადგება;

4) ფუნქცია მცირდება მონოტონურად.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია:

განვიხილოთ არქტანგენტური ფუნქციის თვისებები და ავაშენოთ მისი გრაფიკი.

განმარტება.რიცხვის არქტანგენცენტიxეწოდება y კუთხის მნიშვნელობა რისთვისაც. უფრო მეტიც, მას შემდეგ არ არსებობს შეზღუდვები ტანგენტის მნიშვნელობებზე, არამედ როგორც კუთხეების შერჩეული დიაპაზონი.

არქტანგენენტის ძირითადი თვისებები:

1) ,

2) საათზე

არქტანგენტური ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) განსაზღვრის სფერო;

2) ღირებულებების დიაპაზონი ;

3) ფუნქცია კენტია ... ეს ფორმულა სასარგებლოა ისევე როგორც მსგავსი. როგორც arcsine- ის შემთხვევაში, უცნაურობა გულისხმობს ფუნქციის გრაფის სიმეტრიას კოორდინატების წარმოშობასთან დაკავშირებით;

4) ფუნქცია იზრდება მონოტონურად.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები(წრიული ფუნქციები, რკალის ფუნქციები) - მათემატიკური ფუნქციები, რომლებიც შებრუნებულია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან.

ისინი ჩვეულებრივ მოიცავს 6 ფუნქციას:

• არკსინი(დანიშნულება: arcsin x; arcsin xარის კუთხე ცოდვარომელიც x),
• არკოზინი(დანიშნულება: arccos x; arccos xარის კუთხე, რომლის კოსინუსია xდა სხვ.),
• არქტანგენტური(დანიშნულება: arctg xან არქტანი x),
• არქოტანგენტური(დანიშნულება: arcctg xან არკოტი xან არკოტანი x),
• რკალისებრი(დანიშნულება: რკალი x),
• რკალისებრი(დანიშნულება: arccosec xან arccsc x).

არკსინი (y = arcsin x) არის ინვერსიული ფუნქცია ცოდვა (x = ცოდვა y ... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უბრუნებს კუთხეს თავისი მნიშვნელობით ცოდვა.

არკოზინი (y = arccos x) არის ინვერსიული ფუნქცია კოს (x = cos y კოს.

არქტანგენტური (y = არქტანი x) არის ინვერსიული ფუნქცია tg (x = tg y), რომელსაც აქვს დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები ... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უბრუნებს კუთხეს თავისი მნიშვნელობით tg.

არქოტანგენტური (y = arcctg x) არის ინვერსიული ფუნქცია ctg (x = ctg y), რომელსაც აქვს განსაზღვრის სფერო და მრავალი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უბრუნებს კუთხეს თავისი მნიშვნელობით ctg.

რკალისებრი- arcsecant, აბრუნებს კუთხეს მისი სეკანტის მნიშვნელობით.

არქოსეკი- arcsecant, აბრუნებს კუთხეს მისი coscant მნიშვნელობით.

როდესაც ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია არ არის განსაზღვრული განსაზღვრულ წერტილში, მაშინ მისი მნიშვნელობა არ გამოჩნდება ცხრილში. ფუნქციები რკალისებრიდა არქოსეკიარ არის განსაზღვრული სეგმენტზე (-1,1), მაგრამ არკსინიდა arccosგანისაზღვრება მხოლოდ სეგმენტზე [-1,1].

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სახელი მომდინარეობს შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სახელიდან პრეფიქსის დამატებით "arc-" (ლათ. რკალი ჩვენ- რკალი). ეს გამოწვეულია იმით, რომ გეომეტრიულად ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა დაკავშირებულია ერთეული წრის რკალის სიგრძესთან (ან კუთხესთან, რომელიც ამ რკალს იკლებს), რომელიც შეესაბამება ამა თუ იმ სეგმენტს.

ზოგჯერ უცხოურ ლიტერატურაში, როგორც სამეცნიერო / საინჟინრო კალკულატორებში, ისინი იყენებენ აღნიშვნებს, როგორიცაა ცოდვა −1, cos −1 arcsine, arccosine და მსგავსი, ეს არ ითვლება სრულყოფილად, ვინაიდან დაბნეულობა ფუნქციის გამძაფრებაში სავარაუდოა −1 (« −1 »(გამოკლებულია პირველი ხარისხი) განსაზღვრავს ფუნქციას x = f -1 (y), ფუნქციის შებრუნებული y = f (x)).

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი ურთიერთობები.

აქ მნიშვნელოვანია ყურადღება მიაქციოთ ინტერვალებს, რომლისთვისაც ფორმულები მოქმედებს.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამაკავშირებელი ფორმულები.

ჩვენ აღვნიშნავთ ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნებისმიერ მნიშვნელობას Arcsin x, არქოსი x, არქტანი x, არკოტი xდა შეინახეთ აღნიშვნა: arcsin x, arcos x, არქტანი x, არკოტი xმათი ძირითადი მნიშვნელობებისთვის, მაშინ მათ შორის ურთიერთობა გამოიხატება ასეთი კოეფიციენტებით.

გაკვეთილები 32-33. ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

სამიზნე: განიხილოს ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გამოყენება ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნების დასაწერად.

I. გაკვეთილების თემისა და მიზნის კომუნიკაცია

II ახალი მასალის სწავლა

1. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

დავიწყოთ ამ თემაზე მსჯელობა შემდეგი მაგალითით.

მაგალითი 1

მოდით ამოვიღოთ განტოლება:ა) ცოდვა x = 1/2; ბ) ცოდვა x = a.

ა) ორდინატზე, ჩვენ გადავდოთ მნიშვნელობა 1/2 და დავხატოთ კუთხეები x 1 და x2, რისთვისაცცოდვა x = 1/2. უფრო მეტიც, x1 + x2 = π, საიდანაც x2 = π - x 1 ... ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის მიხედვით, ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობას x1 = π / 6, მაშინმოდით გავითვალისწინოთ სინუსური ფუნქციის პერიოდულობა და ჩამოვწეროთ ამ განტოლების ამონახსნები:სადაც k ∈ Z.

ბ) ცხადია, განტოლების ამოხსნის ალგორითმიცოდვა x = a იგივეა რაც წინა აბზაცში. რა თქმა უნდა, ახლა მნიშვნელობა a არის გამოსახული ორდინატის გასწვრივ. აუცილებელი ხდება როგორმე დანიშნოს კუთხე x1. ჩვენ შევთანხმდით, რომ ასეთი კუთხე აღვნიშნოთ სიმბოლოთიარკსინი ა შემდეგ ამ განტოლების ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს სახითეს ორი ფორმულა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში:სადაც

დანარჩენი ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შემოღებულია ანალოგიურად.

ძალიან ხშირად აუცილებელია კუთხის მნიშვნელობის დადგენა მისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცნობილი მნიშვნელობიდან. ეს პრობლემა მრავალმხრივია - არსებობს უამრავი კუთხე, რომელთა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები იგივე მნიშვნელობის ტოლია. ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთფეროვნებიდან გამომდინარე, შემოღებულია შემდეგი შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები კუთხეების ცალსახად განსაზღვრისათვის.

რიცხვის arcsine (arcsin , რომლის სინუსი უდრის a, ე.ი.

არკოზინის ნომერი a (arccos ა) არის ასეთი კუთხე ინტერვალიდან, რომლის კოსინუსი უდრის a- ს, ე.ი.

რიცხვის არქტანგენტი a (arctg ა) - ასეთი კუთხე a ინტერვალიდანრომლის ტანგენსი უდრის a- ს, ე.ი.tg a = a

რიცხვის არქოტანგენსი a (arcctg ა) არის ასეთი კუთხე a ინტერვალიდან (0; π), რომლის კოტანგენსი ტოლია a, ე.ი. ctg a = a.

მაგალითი 2

ვიპოვოთ:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებების გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი 3

მოდი გამოვთვალოთ

მოდით კუთხე a = arcsin 3/5, შემდეგ განმარტებითცოდვა a = 3/5 და ... აქედან გამომდინარე, აუცილებელია მისი პოვნაკოს ა ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ:მხედველობაში იქნა მიღებული, რომ cos a ≥ 0. ასე რომ,

აქ არის კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი, რომელიც დაკავშირებულია ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებთან და ძირითად თვისებებთან.

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

იმისათვის, რომ y ფუნქცია განისაზღვროს, აუცილებელია უტოლობის დაკმაყოფილებარაც უტოლდება უთანასწორობის სისტემისპირველი უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი x∈ (-∞; + ∞), მეორე -ეს უფსკრული არის უთანასწორობის სისტემის გადაწყვეტა და, შესაბამისად, ფუნქციის განსაზღვრის სფერო

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის შეცვლის არე

განვიხილოთ ფუნქციის ქცევაზ = 2x - x2 (იხ. სურათი).

ჩანს, რომ z ∈ (-∞; 1]. იმის გათვალისწინებით, რომ არგუმენტიზ რკალის კოტანგენსის ფუნქცია იცვლება განსაზღვრულ ფარგლებში, ცხრილის მონაცემებიდან ვიღებთ ამასასე რომ, ცვლილების არეალი

მაგალითი 6

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია y =არქტგ x უცნაურია. დაე იყოსშემდეგ tan a = -x ან x = - tan a = tan ( - a), და მაშასადამე, - a = arctan x ან a = - arctan NS ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ ამასანუ y (x) არის კენტი ფუნქცია.

მაგალითი 7

მოდით გამოვხატოთ ყველა ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის თვალსაზრისით

დაე იყოს აშკარაა რომ შემდეგ მას შემდეგ

მოდით შემოგთავაზოთ კუთხე რადგანაც მაშინ

ანალოგიურად, ამიტომ და

Ისე,

მაგალითი 8

მოდით შევქმნათ y = ფუნქციის გრაფიკი cos (arcsin x).

ჩვენ აღვნიშნავთ a = arcsin x, მაშინ ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ x = sin a და y = cos a, ანუ x 2 + y2 = 1, და შეზღუდვები x (x∈ [-1; 1]) და y (y ≥ 0). შემდეგ ფუნქციის გრაფიკი y = cos (arcsin x) არის ნახევარწრე.

მაგალითი 9

მოდით შევქმნათ y = ფუნქციის გრაფიკი arccos (cos x).

ვინაიდან ფუნქცია cos x ცვლილებები სეგმენტზე [-1; 1], მაშინ y ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხობრივ ღერძზე და იცვლება სეგმენტზე. ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ y = arccos (cos x) = x სეგმენტზე; ფუნქცია y არის თანაბარი და პერიოდული 2π პერიოდით. იმის გათვალისწინებით, რომ ამ თვისებებს გააჩნია ფუნქცია cos x, ახლა ადვილია შეთქმულება.

მოდით აღვნიშნოთ რამდენიმე სასარგებლო ტოლობა:

მაგალითი 10

იპოვნეთ ყველაზე პატარა და უმაღლესი ღირებულებაფუნქციაჩვენ აღვნიშნავთ მაშინ ჩვენ ვიღებთ ფუნქციას ამ ფუნქციას აქვს მინიმუმი წერტილში z = π / 4, და ის უდრის ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა წერტილში z = -π / 2, და ის უდრის ამრიგად, და

მაგალითი 11

მოდით განვსაზღვროთ განტოლება

მოდით გავითვალისწინოთ ის შემდეგ განტოლებას აქვს ფორმა:ან სად არქტანგენცენტის განმარტებით, ჩვენ ვიღებთ:

2. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა

მაგალითის მსგავსად, თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

მაგალითი 12

მოდით განვსაზღვროთ განტოლება

ვინაიდან სინუსის ფუნქცია კენტია, ჩვენ ვწერთ განტოლებას ფორმითამ განტოლების ამონახსნები:სად ვიპოვოთ

მაგალითი 13

მოდით განვსაზღვროთ განტოლება

ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ განტოლების ამონახსნებს:და იპოვე

გაითვალისწინეთ, რომ კონკრეტულ შემთხვევებში (a = 0; 1), განტოლების ამოხსნისას sin x = a და cos x = და უფრო ადვილი და მოსახერხებელია მისი გამოყენება არა ზოგადი ფორმულებიდა ჩამოწერეთ გადაწყვეტილებები ერთეულის წრის საფუძველზე:

განტოლებისთვის sin x = 1 ამონახსნი

განტოლებისათვის sin x = 0 ამონახსნი x = π k;

განტოლებისთვის sin x = -1 ამონახსნი

განტოლებისთვის cos x = 1 ამონახსნი x = 2π k;

განტოლებისთვის cos х = 0 ამონახსნი

განტოლებისთვის cos x = -1 ამონახსნი

მაგალითი 14

მოდით განვსაზღვროთ განტოლება

ვინაიდან ამ მაგალითში არის განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევა, მაშინ შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით ვწერთ გამოსავალს:სად ვიპოვით

III. ტესტის კითხვები (ფრონტალური გამოკითხვა)

1. მიეცი განმარტება და ჩამოთვალე ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

2. მიეცით შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები.

3. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა.

IV. დავალება საკლასო ოთახში

§ 15, No3 (a, b); 4 (გ, დ); 7 (ა); 8 (ა); 12 (ბ); 13 (ა); 15 (გ); 16 (ა); 18 (a, b); 19 (გ); 21;

§ 16, No4 (a, b); 7 (ა); 8 (ბ); 16 (a, b); 18 (ა); 19 (გ, დ);

§ 17, No3 (a, b); 4 (გ, დ); 5 (ა, ბ); 7 (გ, დ); 9 (ბ); 10 (ა, გ)

V. დავალება სახლში

§ 15, No3 (გ, დ); 4 (a, b); 7 (გ); 8 (ბ); 12 (ა); 13 (ბ); 15 (დ); 16 (ბ); 18 (გ, დ); 19 (დ); 22;

16, No4 (გ, დ); 7 (ბ); 8 (ა); 16 (გ, დ); 18 (ბ); 19 (a, b);

§ 17, .3 (გ, დ); 4 (a, b); 5 (გ, დ); 7 (a, b); 9 (დ); 10 (ბ, დ)

Vi შემოქმედებითი ამოცანები

1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი:

პასუხები:

2. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი:

პასუხები:

3. ჩამოაყალიბეთ ფუნქცია:

Vii. გაკვეთილების შეჯამება

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ამოცანები ხშირად გვთავაზობენ სკოლის გამოსაშვებ გამოცდებსა და ზოგიერთ უნივერსიტეტში მისაღებ გამოცდებს. ამ თემის დეტალური შესწავლა შესაძლებელია მხოლოდ არჩევით კლასებში ან არჩევით კურსებში. შემოთავაზებული კურსი მიზნად ისახავს თითოეული სტუდენტის შესაძლებლობების მაქსიმალურად განვითარებას, მათემატიკური სწავლების გასაუმჯობესებლად.

კურსი განკუთვნილია 10 საათის განმავლობაში:

1. ფუნქციები arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 საათი).

2. ოპერაციები ინვერსიულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე (4 საათი).

3. ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ოპერაციები (2 საათი).

გაკვეთილი 1 (2 საათი) თემა: ფუნქციები y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

მიზანი: ამ საკითხის სრული გაშუქება.

1. ფუნქცია y = arcsin x.

ა) სეგმენტზე y = sin x ფუნქციისთვის არის შებრუნებული (ერთი ღირებულების) ფუნქცია, რომელსაც შევთანხმდით, რომ დავარქვათ arcsine და აღვნიშნოთ იგი შემდეგნაირად: y = arcsin x. ინვერსიული ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ძირითადი ფუნქციის გრაფიკთან შედარებით I-III კოორდინატთა კუთხეების ბისექტორთან შედარებით.

ფუნქციის თვისებები y = arcsin x.

1) განსაზღვრის სფერო: სეგმენტი [-1; 1];

2) ცვლილების არეალი: სეგმენტი;

3) ფუნქცია y = arcsin x კენტია: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) ფუნქცია y = arcsin x მონოტონურად იზრდება;

5) გრაფიკი კვეთს Ox, Oy ღერძებს საწყისზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ a = arcsin. ეს მაგალითი შეიძლება დაწვრილებით ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: იპოვეთ ისეთი არგუმენტი a, რომელიც მდებარეობს დიაპაზონში to, რომლის სინუსი ტოლია.

გადაწყვეტა. არსებობს უამრავი არგუმენტი, რომლის სინუსიც ტოლია, მაგალითად: და ა.შ. მაგრამ ჩვენ მხოლოდ ის არგუმენტი გვაინტერესებს, რომელიც სეგმენტშია. ასეთი არგუმენტი იქნებოდა. Ისე, .

მაგალითი 2. იპოვეთ .გადაწყვეტა.მსჯელობა ისევე, როგორც 1 -ე მაგალითში, ჩვენ ვიღებთ .

ბ) ზეპირი ვარჯიშები. იპოვეთ: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin 0. პასუხის მაგალითი: მას შემდეგ ... აქვს თუ არა აზრი გამონათქვამებს :; arcsin 1.5; ?

გ) დაალაგეთ აღმავალი თანმიმდევრობით: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II ფუნქციები y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x (მსგავსი).

გაკვეთილი 2 (2 საათი) თემა: ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გრაფიკები.

მიზანი: ამ გაკვეთილზე აუცილებელია უნარების პრაქტიკა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების განსაზღვრისას, ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შედგენაში D (y), E (y) და აუცილებელი გარდაქმნების გამოყენებით.

ამ გაკვეთილზე შეასრულეთ სავარჯიშოები, რომლებიც მოიცავს დომენის, ტიპის ფუნქციების მნიშვნელობების დომენის პოვნას: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctan (tg x), y = arccos.

აუცილებელია ფუნქციების გრაფიკების აგება: ა) y = arcsin 2x; ბ) y = 2 რკალი 2x; გ) y = arcsin;

დ) y = arcsin; ე) y = arcsin; ვ) y = arcsin; ზ) y = | არკსინი | ...

მაგალითი.ნაკვეთი y = arccos

თქვენ შეგიძლიათ ჩართოთ შემდეგი სავარჯიშოები თქვენს საშინაო დავალებაში: შეადგინეთ ფუნქციების გრაფიკები: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | ...

უკუ ფუნქციის გრაფიკები

მიზანი: მათემატიკური ცოდნის გაფართოება (ეს მნიშვნელოვანია სპეციალობის განმცხადებლებისათვის მათემატიკური სწავლებისადმი გაზრდილი მოთხოვნებით) ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი ურთიერთობების დანერგვით.

მასალა გაკვეთილისთვის.

ზოგიერთი უმარტივესი ტრიგონომეტრიული ოპერაცია ინვერსიულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე: ცოდვა (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctan x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.

Სავარჯიშოები.

ა) tg (1,5 + არქტანი 5) = - ctg (არქტანი 5) = .

ctg (arctg x) =; tg (arcctg x) =.

ბ) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). მოდით arcsin 0.6 = a, ცოდვა a = 0.6;

cos (arcsin x) =; ცოდვა (arccos x) =.

შენიშვნა: ჩვენ ვიღებთ "+" ნიშანს ფესვის წინ, რადგან a = arcsin x აკმაყოფილებს.

გ) ცოდვა (1,5 + arcsin). პასუხი :;

დ) ctg (+ arctan 3). პასუხი :;

ე) tg (- arcctg 4) პასუხი :.

ვ) cos (0.5 + arccos). პასუხი:.

გამოთვალე:

ა) ცოდვა (2 არქტანი 5).

მოდით არქტანი 5 = a, შემდეგ ცოდვა 2 a = ან ცოდვა (2 არქტანი 5) = ;

ბ) cos (+ 2 arcsin 0.8) პასუხი: 0.28.

გ) arctg + arctg.

მოდით a = არქტანი, b = არქტანი,

შემდეგ tg (a + b) = .

დ) ცოდვა (arcsin + arcsin).

ე) დაამტკიცეთ, რომ ყველა x I [-1; 1] მართალია arcsin x + arccos x =.

მტკიცებულება:

arcsin x = - arccos x

ცოდვა (arcsin x) = ცოდვა (- arccos x)

x = cos (arccos x)

დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

ხელნაკეთი ხსნარისთვის: 1) ცოდვა (arcsin 0.6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) ცოდვა (1.5 - arcsin 0.8); 6) არქტანი 0.5 - არქტანი 3.

მიზანი: ამ გაკვეთილზე აჩვენეთ კოეფიციენტების გამოყენება უფრო რთული გამონათქვამების გარდაქმნაში.

მასალა გაკვეთილისთვის.

ზეპირად:

ა) ცოდვა (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

ბ) tg (arcсtg 5), ctg (arctan 5);

გ) ცოდვა (arctg -3), cos (arcсtg ());

დ) tg (arccos), ctg (arccos ()).

დაწერილი:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctan 5 - arccos 0.8) = cos (arctan 5) cos (arccos 0.8) + ცოდვა (arctan 5) ცოდვა (arccos 0.8) =

3) tg ( - arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

დამოუკიდებელი მუშაობა ხელს შეუწყობს მასალის ათვისების დონის განსაზღვრას

ამისთვის საშინაო დავალებაშეგიძლიათ შემოგვთავაზოთ:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) ცოდვა 2 (არქტანი 2 - arcctg ()); 3) ცოდვა (2 arctan + tg (arcsin)); 4) ცოდვა (2 arctg); 5) tg ((arcsin))

მიზანი: სტუდენტების იდეის ჩამოყალიბება ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ოპერაციების შესახებ, ფოკუსირება შესწავლილი თეორიის შინაარსის გაზრდაზე.

ამ თემის შესწავლისას ვარაუდობენ, რომ დასამახსოვრებელი თეორიული მასალის რაოდენობა შეზღუდულია.

გაკვეთილის მასალა:

თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ ახალი მასალის სწავლა y = arcsin (sin x) ფუნქციის შესწავლით და მისი შედგენით.

3. თითოეული x I R ასოცირდება y I– თან, ე.ი.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. ფუნქცია კენტია: sin (-x) = - sin x; arcsin (ცოდვა (-x)) = - arcsin (ცოდვა x).

6. გრაფიკი y = arcsin (sin x) on:

ა) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ბ)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

ცოდვა y = ცოდვა (- x) = sinx, 0<= - x <= .

Ისე,

მას შემდეგ რაც ავაშენეთ y = arcsin (sin x), ჩვენ ვაგრძელებთ სიმეტრიულად [-; 0], ამ ფუნქციის უცნაურობის გათვალისწინებით. პერიოდულობის გამოყენებით, ჩვენ გავაგრძელებთ მთელ რიცხვით ღერძს.

შემდეგ ჩაწერეთ რამდენიმე თანაფარდობა: arcsin (ცოდვა a) = a თუ<= a <= ; arccos (cos ა ) = a თუ 0<= a <= ; არქტანი (tg a) = a თუ< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

და შეასრულეთ შემდეგი სავარჯიშოები: ა) arccos (ცოდვა 2). პასუხი: 2 -; ბ) arcsin (cos 0.6) პასუხი: - 0.1; გ) არქტანი (tg 2) პასუხი: 2 -;

დ) arcctg (tg 0.6) პასუხი: 0.9; ე) arccos (cos ( - 2)) პასუხი: 2 -; ვ) არკსინი (ცოდვა (- 0.6)). პასუხი: - 0.6; ზ) არქტანი (tg 2) = არქტანი (tg (2 -)). პასუხი: 2 -; თ) arcctg (tg 0.6). პასუხი: - 0.6; - arctg x; ე) arccos + arccos

კოსინუსის შებრუნებული ფუნქცია

Y = cos x ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის სეგმენტი. სეგმენტზე, ფუნქცია უწყვეტია და მცირდება მონოტონურად.

ბრინჯი 2

ეს ნიშნავს, რომ y = cos x ფუნქციის საწინააღმდეგო ფუნქცია განსაზღვრულია სეგმენტზე. ამ შებრუნებულ ფუნქციას ეწოდება ინვერსიული კოსინუსი და აღინიშნება y = arccos x.

განმარტება

A რიცხვის arcosine, თუ | a | 1, არის კუთხე, რომლის კოსინუსი ეკუთვნის სეგმენტს; იგი აღინიშნება arccos ა.

ამრიგად, arccos a არის კუთხე, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას: cos (arccos a) = a, | a | 1; 0? arccos a? p.

მაგალითად, arccos, რადგან cos და; arccos წლიდან cosi.

ფუნქცია y = arccos x (სურ. 3) განსაზღვრულია სეგმენტზე, მისი მნიშვნელობების დიაპაზონი არის სეგმენტი. სეგმენტზე, ფუნქცია y = arccos x არის უწყვეტი და მონოტონურად მცირდება p– დან 0 – მდე (ვინაიდან y = cos x არის უწყვეტი და ერთფეროვანი კლებადი ფუნქცია სეგმენტზე); სეგმენტის ბოლოებში ის აღწევს თავის უკიდურეს მნიშვნელობებს: arccos (-1) = p, arccos 1 = 0. გაითვალისწინეთ, რომ arccos 0 =. ფუნქციის გრაფიკი y = arccos x (იხ. სურათი 3) სიმეტრიულია y = cos x ფუნქციის გრაფიკის მიმართ y = x პირდაპირ ხაზთან შედარებით.

ბრინჯი 3

მოდით ვაჩვენოთ, რომ თანასწორობა arccos (-x) = р-arccos x ძალაშია.

მართლაც, განმარტებით, 0? arcсos x? რ. ბოლო ორმაგი უტოლობის ყველა ნაწილის (-1) გამრავლებით მივიღებთ - p? arcсos x? 0. ბოლო უტოლობის ყველა ნაწილს რომ დავუმატოთ p, ვიპოვით რომ 0? p-arccos x? რ.

ამრიგად, arccos (-x) და p - arccos x კუთხეების მნიშვნელობები ერთსა და იმავე სეგმენტს ეკუთვნის. ვინაიდან კოსინუსი მონოტონურად მცირდება სეგმენტზე, მასზე არ შეიძლება იყოს ორი განსხვავებული კუთხე თანაბარი კოსინუსებით. იპოვეთ arccos (-x) და p-arccos x კუთხეების კოსინუსები. განმარტებით, cos (arccos x) = - x, შემცირების ფორმულებით და განმარტებით, ჩვენ გვაქვს: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. ასე რომ, კუთხეების კოსინუსები თანაბარია, რაც იმას ნიშნავს, რომ თავად კუთხეებიც თანაბარია.

სინუსის ინვერსიული ფუნქცია

განვიხილოთ ფუნქცია y = sin x (სურ. 6), რომელიც სეგმენტზე [-p / 2; p / 2] იზრდება, უწყვეტია და იღებს მნიშვნელობებს სეგმენტიდან [-1; 1]. აქედან გამომდინარე, სეგმენტზე [- გვ / 2; р / 2], განისაზღვრება ფუნქცია, რომელიც არის ფუნქციის შებრუნებული y = sin x.

ბრინჯი 6

ამ შებრუნებულ ფუნქციას ეწოდება arcsine და აღინიშნება y = arcsin x. მოდით შემოგთავაზოთ რიცხვის შებრუნებული სინუსის განმარტება.

A რიცხვის რკალი, თუ ეწოდება კუთხე (ან რკალი), რომლის სინუსი უდრის a რიცხვს და რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს [-p / 2; გვ / 2]; იგი აღინიშნება arcsin a.

ამრიგად, arcsin a არის კუთხე, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს: sin (arcsin a) = a, | a | ? 1; -პ ​​/ 2? არკინს ჰა? გვ / 2. მაგალითად, ვინაიდან ცოდვა და [- გვ / 2; გვ / 2]; arcsin, რადგან ცოდვა = და [- p / 2; გვ / 2].

ფუნქცია y = arcsin х (სურ .7) განსაზღვრულია სეგმენტზე [- 1; 1], მისი მნიშვნელობების დიაპაზონი არის სეგმენტი [-p / 2; p / 2]. სეგმენტზე [- 1; 1] ფუნქცია y = arcsin x არის უწყვეტი და ერთფეროვანი იზრდება -p / 2 -დან p / 2 -მდე (ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ფუნქცია y = sin x ინტერვალზე [-p / 2; p / 2] უწყვეტია და მონოტონურად იზრდება). ის იღებს უდიდეს მნიშვნელობას x = 1 -ზე: arcsin 1 = p / 2, და ყველაზე მცირე x = -1: arcsin (-1) = -p / 2. X = 0 -ისთვის ფუნქცია ნულის ტოლია: arcsin 0 = 0.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ფუნქცია y = arcsin x არის კენტი, ე.ი. arcsin (-x) = - arcsin x ნებისმიერი x– ისთვის [ - 1; 1].

მართლაც, განმარტებით, თუ | x | ? 1, ჩვენ გვაქვს: - გვ / 2? arcsin x? ? გვ / 2. ამდენად, კუთხეები arcsin (-x) და - arcsin x ეკუთვნის იმავე სეგმენტს [ - გვ / 2; გვ / 2].

იპოვნეთ მათი სინუსებიკუთხეები: ცოდვა (arcsin (-x)) = - x (განმარტებით); ვინაიდან ფუნქცია y = sin x არის კენტი, მაშინ sin (-arcsin x) = - sin (arcsin x) = - x. ამრიგად, იმავე ინტერვალის კუთვნილი კუთხეების სინუსები [-p / 2; р / 2], თანაბარია, რაც იმას ნიშნავს, რომ თავად კუთხეებიც თანაბარია, ანუ arcsin (-x) = - arcsin x. მაშასადამე, ფუნქცია y = arcsin x კენტია. Y = arcsin x ფუნქციის გრაფიკი წარმოშობის სიმეტრიულია.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ arcsin (sin x) = x ნებისმიერი x [-p / 2; გვ / 2].

მართლაც, განმარტებით -p / 2? arcsin (ცოდვა x)? p / 2, ხოლო პირობით -p / 2? x? გვ / 2. მაშასადამე, კუთხეები x და arcsin (ცოდვა x) მიეკუთვნება y = sin x ფუნქციის ერთფეროვნების ერთსა და იმავე ინტერვალს. თუ ასეთი კუთხეების სინუსები ტოლია, მაშინ თავად კუთხეები თანაბარია. მოდით ვიპოვოთ ამ კუთხეების სინუსები: x კუთხისთვის გვაქვს ცოდვა x, კუთხისთვის arcsin (ცოდვა x) გვაქვს ცოდვა (arcsin (ცოდვა x)) = ცოდვა x. მივიღეთ, რომ კუთხეების სინუსები ტოლია, შესაბამისად, კუთხეები თანაბარია, ე.ი. arcsin (ცოდვა x) = x. ...

ბრინჯი 7

ბრინჯი 8

ფუნქციის arcsin (sin | x |) გრაფიკი მიიღება ჩვეულებრივი გარდაქმნებით, რომლებიც დაკავშირებულია მოდულთან გრაფიკიდან y = arcsin (sin x) (ნაჩვენებია ნახ. 8 -ზე შეწყვეტილი ხაზი). სასურველი გრაფიკი y = arcsin (sin | x- / 4 |) მიიღება მისგან გადაადგილებით / 4 მარჯვნივ აბსცესის ღერძის გასწვრივ (ნაჩვენებია მყარი ხაზით ნახ. 8)

ინვერსიული ტანგენსის ფუნქცია

ინტერვალით ფუნქცია y = tg x იღებს ყველა რიცხვით მნიშვნელობას: E (tg x) =. ამ ინტერვალში ის უწყვეტია და იზრდება ერთფეროვნებით. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია განისაზღვრება ინტერვალზე, რომელიც არის ფუნქციის შებრუნებული y = tg x. ამ შებრუნებულ ფუნქციას ეწოდება არქტანგენტი და აღინიშნება y = arctan x.

A რიცხვის არქტანგენტი არის კუთხე ინტერვალიდან, რომლის ტანგენსი უდრის a- ს. ამრიგად, arctan a არის კუთხე, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს: tg (arctan a) = a და 0? არქტგ ა? რ.

ასე რომ, ნებისმიერი რიცხვი x ყოველთვის შეესაბამება ფუნქციის ერთ მნიშვნელობას y = arctan x (სურ. 9).

ცხადია, D (არქტანი x) =, E (არქტანი x) =.

ფუნქცია y = arctan x იზრდება, რადგან ინტერვალით იზრდება y = tan x ფუნქცია. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ arctg (-x) = - arctgx, ე.ი. რომ არქტანგენტი არის კენტი ფუნქცია.

ბრინჯი 9

ფუნქციის გრაფიკი y = arctan x სიმეტრიულია y = tg x ფუნქციის გრაფიკის მიმართ y = x, y = arctan x გრაფიკი გადის საწყისზე (რადგან არქტანი 0 = 0) და არის სიმეტრიულია წარმოშობის შესახებ (კენტი ფუნქციის გრაფიკის მსგავსად).

შეიძლება დამტკიცდეს, რომ არქტანი (tg x) = x თუ x.

კოტანგენსის ინვერსიული ფუნქცია

ფუნქცია y = ctg x ინტერვალზე იღებს ყველა რიცხვით მნიშვნელობას ინტერვალიდან. მისი მნიშვნელობების დიაპაზონი ემთხვევა ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეს. ინტერვალში, y = ctg x ფუნქცია უწყვეტი და ერთფეროვანია. ამრიგად, ამ ინტერვალზე განისაზღვრება ფუნქცია, რომელიც არის y = ctg x ფუნქციის შებრუნებული. კოტანგენსის შებრუნებულ ფუნქციას ეწოდება რკალის კოტანგენსი და აღინიშნება y = arcctg x.

A რიცხვის რკალის კოტანგენსი არის ინტერვალის კუთვნილი კუთხე, რომლის კოტანგენცენტი უდრის a- ს.

ამრიგად, arcctg a არის კუთხე, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს: ctg (arcctg a) = a და 0? arcctg a? რ.

შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან და არქტანგენცენტის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ D (arcctg x) =, E (arcctg x) =. რკალის კოტანგენსი არის კლებადი ფუნქცია, ვინაიდან ფუნქცია y = ctg x მცირდება ინტერვალში.

ფუნქციის გრაფიკი y = arcctg x არ კვეთს Ox ღერძს, რადგან y> 0 R. at x = 0, y = arcctg 0 =.

ფუნქციის გრაფიკი y = arcctg x ნაჩვენებია ფიგურაში 11.

ბრინჯი 11

გაითვალისწინეთ, რომ x– ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის იდენტობა მართალია: arcctg (-x) = p-arcctg x.