პითაგორელთა თეორემა ყველასთვის ცნობილია სკოლის დღიდან. გამოჩენილმა მათემატიკოსმა დაამტკიცა დიდი ჰიპოთეზა, რომელსაც დღეს ბევრი ადამიანი იყენებს. წესი ასე ჟღერს: მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს. მრავალი ათეული წლის განმავლობაში არცერთ მათემატიკოსს არ შეეძლო ამ წესის არგუმენტირება. ყოველივე ამის შემდეგ, პითაგორა დიდი ხნის განმავლობაში მიდიოდა თავის მიზნამდე, ასე რომ, შედეგად, ნახატები მოხდებოდა ყოველდღიურ ცხოვრებაში.
- ამ თეორემის მცირე ლექსი, რომელიც გამოიგონეს მტკიცებიდან მალევე, პირდაპირ ადასტურებს ჰიპოთეზის თვისებებს: "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია". ეს ორი ხაზი ჩამორჩა მრავალი ადამიანის მეხსიერებაში - დღემდე, ლექსი ახსოვს გამოთვლებით.
- ამ თეორემას ეწოდა "პითაგორას შარვალი" იმის გამო, რომ შუაში ხატვისას მიიღეს მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის გვერდებზე იყო კვადრატები. გარეგნულად, ეს ნახატი შარვალს წააგავდა - აქედან გამომდინარეობს ჰიპოთეზის სახელი.
- პითაგორა ამაყობდა შემუშავებული თეორემით, რადგან ეს ჰიპოთეზა მსგავსიდან განსხვავდება მტკიცებულებების მაქსიმალური რაოდენობით. მნიშვნელოვანია: განტოლება შევიდა გინესის რეკორდების წიგნში 370 ჭეშმარიტი მტკიცებულების გამო.
- ჰიპოთეზა მრავალმხრივ დაამტკიცა მათემატიკოსთა და პროფესორთა უზარმაზარმა რაოდენობამ სხვადასხვა ქვეყნიდან.... ინგლისელმა მათემატიკოსმა ჯონსმა მალე გამოაცხადა ჰიპოთეზამ დაამტკიცა ის დიფერენციალური განტოლების გამოყენებით.
- ამჟამად არავინ იცის თეორიის დამტკიცება თავად პითაგორას მიერ.... ფაქტები მათემატიკოსთა მტკიცებულებების შესახებ დღეს არავისთვის უცნობია. ითვლება, რომ ევკლიდის ნახატების მტკიცებულება არის პითაგორას მტკიცებულება. თუმცა, ზოგიერთი მეცნიერი ამტკიცებს ამ განცხადებას: ბევრს მიაჩნია, რომ ევკლიდმა დამოუკიდებლად დაამტკიცა თეორემა, ჰიპოთეზის შემქმნელის დახმარების გარეშე.
- დღევანდელმა მეცნიერებმა აღმოაჩინეს, რომ დიდი მათემატიკოსი არ იყო პირველი, ვინც აღმოაჩინა ეს ჰიპოთეზა.... განტოლება ცნობილი იყო პითაგორას აღმოჩენამდე დიდი ხნით ადრე. ამ მათემატიკოსმა მხოლოდ ჰიპოთეზის გაერთიანება შეძლო.
- პითაგორამ არ დაასახელა განტოლება "პითაგორას თეორემა"... ეს სახელი დარჩა "ხმამაღალი ორ ხაზის" შემდეგ. მათემატიკოსს მხოლოდ ის სურდა, რომ მისი ძალისხმევა და აღმოჩენები აღიარებულიყო და გამოეყენებინა მთელ მსოფლიოს.
- მორიც კანტორი - დიდმა გამოჩენილმა მათემატიკოსმა იპოვა და აღმოაჩინა ჩანაწერები ნახატებით უძველეს პაპირუსზე... ცოტა ხნის შემდეგ კანტორი მიხვდა, რომ ეს თეორემა ეგვიპტელებისთვის ცნობილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2300 წელს. მხოლოდ ამის შემდეგ არავინ გამოიყენა იგი და არ ცდილობდა ამის დამტკიცებას.
- ახლანდელი მეცნიერები თვლიან, რომ ჰიპოთეზა ცნობილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე -8 საუკუნეში... იმ დროის ინდოელმა მეცნიერებმა აღმოაჩინეს სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სავარაუდო გაანგარიშება, რომელიც დაჯილდოვებულია სწორი კუთხით. მართალია, იმ დროს ვერავინ შეძლო განტოლების დარწმუნებით დამტკიცება სავარაუდო გათვლებით.
- დიდმა მათემატიკოსმა ბარტელ ვან დერ ვაერდენმა, ჰიპოთეზის დამტკიცების შემდეგ, დაასკვნა მნიშვნელოვანი დასკვნა: ”ბერძენი მათემატიკოსის დამსახურება არ განიხილება მიმართულების და გეომეტრიის აღმოჩენა, არამედ მხოლოდ მისი დასაბუთება. პითაგორას ხელში იყო გამოთვლითი ფორმულები, რომლებიც ემყარებოდა ვარაუდებს, არაზუსტ გამოთვლებს და ბუნდოვან იდეებს. თუმცა, გამოჩენილმა მეცნიერმა მოახერხა მისი გადაქცევა ზუსტ მეცნიერებად ”.
- ცნობილმა პოეტმა თქვა, რომ მისი ნახატის გახსნის დღეს მან აღმართა ხარის დიდებული მსხვერპლი... სწორედ ჰიპოთეზის აღმოჩენის შემდეგ გავრცელდა ჭორები, რომ ასი ხარის მსხვერპლი "წავიდა მოხეტიალე წიგნების და გამოცემების გვერდებზე". ვიტს დღემდე ხუმრობს, რომ მას შემდეგ ყველა ხარს ეშინია ახალი აღმოჩენის.
- იმის მტკიცებულება, რომ პითაგორას არ გამოუვიდა ლექსი შარვლის შესახებ, რათა დაემტკიცებინა მის მიერ წამოყენებული ნახატები: დიდი მათემატიკოსის ცხოვრების განმავლობაში, შარვალი არ იყო... ისინი გამოიგონეს რამდენიმე ათეული წლის შემდეგ.
- პეკკა, ლაიბნიცი და რამდენიმე სხვა მეცნიერი ცდილობდნენ დაემტკიცებინათ ადრე ცნობილი თეორემა, მაგრამ ვერავინ შეძლო.
- ნახატების სახელწოდება "პითაგორას თეორემა" ნიშნავს "მეტყველების დარწმუნებას"... ასე ითარგმნება სიტყვა პითაგორა, რომელიც მათემატიკოსმა ფსევდონიმად მიიღო.
- პითაგორას ასახვა საკუთარი წესის შესახებ: დედამიწაზე არსებობის საიდუმლო რიცხვებშია... ყოველივე ამის შემდეგ, მათემატიკოსმა, საკუთარი ჰიპოთეზის საფუძველზე, შეისწავლა რიცხვების თვისებები, გამოავლინა თანაბარი და უცნაურობა და შექმნა პროპორციები.
ვიმედოვნებთ, რომ მოგეწონათ არჩევანი სურათებით - Საინტერესო ფაქტებიპითაგორას თეორემის შესახებ: ისწავლეთ ახალი ინფორმაცია ცნობილი თეორემის შესახებ (15 ფოტო) ინტერნეტით კარგი ხარისხის... გთხოვთ დატოვეთ თქვენი აზრი კომენტარებში! ჩვენთვის მნიშვნელოვანია თითოეული აზრი.
რომაელმა არქიტექტორმა ვიტრუვიუსმა გამოყო პითაგორას თეორემა "მრავალრიცხოვანი აღმოჩენებიდან, რომლებიც უზრუნველყოფდა ადამიანის სიცოცხლის განვითარებას" და მოუწოდა მას უდიდესი პატივისცემით მოეპყრონ. ეს იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე I საუკუნეში. NS XVI-XVII საუკუნეების მიჯნაზე, ცნობილმა გერმანელმა ასტრონომმა იოჰანეს კეპლერმა მას უწოდა გეომეტრიის ერთ-ერთი საგანძური, რომელიც შედარებადია ოქროს ზომასთან. ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ყველა მათემატიკაში არსებობს უფრო მნიშვნელოვანი და მნიშვნელოვანი განცხადება, რადგან სამეცნიერო და პრაქტიკული პროგრამების რაოდენობის თვალსაზრისით, პითაგორას თეორემას არ აქვს თანაბარი.
პითაგორას თეორემა ტოლფერდა სამკუთხედის შემთხვევაში.
მეცნიერება და ცხოვრება // ილუსტრაციები
ილუსტრაცია პითაგორას თეორემის შესახებ "ტრაქტატი საზომი პოლუსის შესახებ" (ჩინეთი, ძვ. წ. III საუკუნე) და მის საფუძველზე აღდგენილი მტკიცებულება.
მეცნიერება და ცხოვრება // ილუსტრაციები
ს. პერკინსი. პითაგორა.
ნახატი პითაგორას შესაძლო მტკიცებულებისთვის.
"პითაგორას მოზაიკა" და სამი კვადრატის ან-ნაირიზის კრამიტი პითაგორას თეორემის დასამტკიცებლად.
P. de Hooch. დიასახლისი და მოახლე ეზოში. დაახლოებით 1660 წ.
ჯ. ოტერველტი. მოხეტიალე მუსიკოსები მდიდარი სახლის კართან. 1665 წელი.
პითაგორას შარვალი
პითაგორას თეორემა ალბათ ყველაზე ცნობადი და, უდავოდ, ყველაზე ცნობილია მათემატიკის ისტორიაში. გეომეტრიაში, იგი გამოიყენება სიტყვასიტყვით ყოველ ნაბიჯზე. ფორმულირების სიმარტივის მიუხედავად, ეს თეორემა სულაც არ არის აშკარა: მართკუთხა სამკუთხედის ყურება გვერდებით< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
ფიგურაში ნაჩვენები ფიგურები. 1 და 2, წააგავს კვადრატების უმარტივეს ორნამენტს და მათ თანაბარ ნაწილებს - გეომეტრიულ ნიმუშს, რომელიც ცნობილია უხსოვარი დროიდან. მათ შეუძლიათ მთლიანად დაფარონ თვითმფრინავი. მათემატიკოსი თვითმფრინავის ასეთ დაფარვას პოლიგონების პარკეტით, ან კრამიტით მოპირკეთებას უწოდებს. რა შუაშია პითაგორა? გამოდის, რომ ის იყო პირველი, ვინც გადაჭრა რეგულარული პარკეტების პრობლემა, რომელმაც დაიწყო სხვადასხვა ზედაპირების ფილების შესწავლა. ამრიგად, პითაგორასმა აჩვენა, რომ წერტილის ირგვლივ სიბრტყე შეიძლება დაიფაროს ხარვეზების გარეშე მხოლოდ სამი ტიპის თანაბარი რეგულარული მრავალკუთხედებით: ექვსი სამკუთხედი, ოთხი კვადრატი და სამი ექვსკუთხედი.
4000 წლის შემდეგ
პითაგორას თეორემის ისტორია ძველ დროში ბრუნდება. იგი ნახსენებია მეფე ჰამურაბის (ძვ. წ. XVIII საუკუნე) ბაბილონის ლურსმულ ტექსტებში, ანუ პითაგორას დაბადებამდე 1200 წლით ადრე. თეორემა გამოყენებულ იქნა როგორც მზა წესი მრავალ პრობლემაში, რომელთაგან ყველაზე მარტივი არის კვადრატის დიაგონალის პოვნა მის გვერდით. შესაძლებელია, რომ ბაბილონელებმა მიიღეს თანაფარდობა 2 + b 2 = c 2 თვითნებური მართკუთხა სამკუთხედისთვის უბრალოდ "განზოგადებული" თანასწორობის a + + a 2 = c 2. მაგრამ ეს მათ ეპატიებათ - ძველთა პრაქტიკული გეომეტრიისათვის, რომელიც გაზომვებამდე და გათვლამდე შემცირდა, არ იყო საჭირო მკაცრი დასაბუთება.
ახლა, თითქმის 4000 წლის შემდეგ, ჩვენ საქმე გვაქვს თეორემასთან, რომელიც ინახავს რეკორდს შესაძლო მტკიცებულებების რაოდენობით. სხვათა შორის, მათი შეგროვება გრძელი ტრადიციაა. პითაგორას თეორემისადმი ინტერესის პიკი მე -19 საუკუნის მეორე ნახევარში დაეცა - მე -20 საუკუნის დასაწყისში. და თუ პირველი კოლექციები შეიცავდა არაუმეტეს ორ ან სამ ათეულს მტკიცებულებას, მაშინ მე -19 საუკუნის ბოლოსთვის მათი რიცხვი 100 -ს მიუახლოვდა, ხოლო ნახევარი საუკუნის შემდეგ 360 -ს გადააჭარბა და ეს მხოლოდ ისაა, რაც შეგროვდა სხვადასხვა წყაროდან. ვის არ აუღია ამ ასაკობრივი ამოცანის გადაწყვეტა - გამოჩენილი მეცნიერებიდან და მეცნიერების პოპულარიზაციიდან კონგრესმენებამდე და სკოლის მოსწავლეებამდე. და რაც აღსანიშნავია, გამოსავლის ორიგინალურობაში და სიმარტივეში, ზოგიერთი მოყვარული არ ჩამოუვარდებოდა პროფესიონალებს!
პითაგორას თეორემის უძველესი შემორჩენილი მტკიცებულება დაახლოებით 2300 წელია. ერთ -ერთი მათგანი - მკაცრი აქსიომატური - ეკუთვნის ძველ ბერძენ მათემატიკოსს ევკლიდეს, რომელიც ცხოვრობდა ძვ.წ. მე –4 –3 საუკუნეებში. NS ელემენტების I წიგნში პითაგორას თეორემა ჩამოთვლილია, როგორც წინადადება 47. ყველაზე გრაფიკული და ლამაზი მტკიცებულებები ემყარება "პითაგორას შარვლის" გადაკეთებას. ისინი ჰგვანან სახიფათო კვადრატული ჭრის თავსატეხს. მაგრამ აიტანე ნაჭრები სწორად - და ისინი გაგიმხელენ ცნობილი თეორემის საიდუმლოს.
აქ არის ელეგანტური მტკიცებულება, რომელიც მიღებულია ერთი უძველესი ჩინური ტრაქტატის ნახაზის საფუძველზე (სურათი 3) და მისი კავშირი კვადრატის ფართობის გაორმაგების პრობლემასთან მაშინვე ცხადი ხდება.
სწორედ ეს მტკიცებულება იყო იმისა, რომ შვიდი წლის გვიდო, ინგლისელი მწერლის ალდოს ჰაქსლის მოთხრობის "პატარა არქიმედეს" ნაადრევი გმირი, ცდილობდა აეხსნა თავისი უმცროსი მეგობრისთვის. საინტერესოა, რომ მთხრობელმა, რომელმაც დააკვირდა ამ სურათს, აღნიშნა მტკიცების სიმარტივე და დამაჯერებლობა, ამიტომ მიაწოდა ... თავად პითაგორას. Და აქ მთავარი გმირიევგენი ველტისტოვის ფანტასტიკურმა მოთხრობამ "ელექტრონიკა - ჩემოდანის ბიჭი" იცოდა პითაგორას თეორემის 25 მტკიცებულება, მათ შორის ევკლიდის მიერ მოყვანილი; მართალია, მან შეცდომით უწოდა მას უმარტივესი, თუმცა სინამდვილეში "ელემენტების" თანამედროვე გამოცემაში ის ერთნახევარ გვერდს იკავებს!
პირველი მათემატიკოსი
სამოსის პითაგორა (ძვ. წ. 570-495), რომლის სახელიც დიდი ხანია განუყოფლად არის დაკავშირებული შესანიშნავ თეორემასთან, გარკვეული გაგებით, შეიძლება ეწოდოს პირველ მათემატიკოსს. სწორედ მათთან ერთად იწყება მათემატიკა ზუსტი მეცნიერებასადაც რაიმე ახალი ცოდნა არ არის ვიზუალური წარმოდგენებისა და გამოცდილებიდან მიღებული წესების შედეგი, არამედ ლოგიკური მსჯელობისა და დასკვნების შედეგი. ეს არის ერთადერთი გზა ერთხელ და სამუდამოდ დაადგინოთ ნებისმიერი მათემატიკური წინადადების ჭეშმარიტება. პითაგორას წინ, დედუქციურ მეთოდს იყენებდა მხოლოდ ძველი ბერძენი ფილოსოფოსი და მეცნიერი თალეს მილეტელი, რომელიც ძვ.წ. VII-VI საუკუნეების მიჯნაზე ცხოვრობდა. NS მან გამოხატა მტკიცებულების იდეა, მაგრამ არ გამოიყენა იგი სისტემატურად, შერჩევით, როგორც წესი, აშკარა გეომეტრიულ გამონათქვამებზე, როგორიცაა "დიამეტრი წრეს შუაზე ყოფს". პითაგორა ბევრად შორს წავიდა. ითვლება, რომ მან შემოიღო პირველი განმარტებები, აქსიომები და მტკიცების მეთოდები და ასევე შექმნა გეომეტრიის პირველი კურსი, რომელიც ძველი ბერძნებისათვის ცნობილია სახელწოდებით "პითაგორას ტრადიცია". ის ასევე იდგა რიცხვებისა და სტერეომეტრიის თეორიის საწყისებში.
პითაგორას კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი დამსახურებაა მათემატიკოსთა ბრწყინვალე სკოლის დაარსება, რომელმაც საუკუნეზე მეტი ხნის განმავლობაში განსაზღვრა ეს მეცნიერების განვითარება ძველ საბერძნეთში. ტერმინი "მათემატიკა" (ბერძნული სიტყვიდან μαθημa - დოქტრინა, მეცნიერება) ასევე ასოცირდება მის სახელთან, აერთიანებს პითაგორას და მის მიმდევრებს - პითაგორელთა მიერ შექმნილ ოთხ დისციპლინას - ცოდნის სისტემას: გეომეტრია, არითმეტიკა, ასტრონომია და ჰარმონიკა.
შეუძლებელია პითაგორას მიღწევების გამოყოფა მისი სტუდენტების მიღწევებისგან: ჩვეულებისამებრ, მათ თავიანთ იდეებს და აღმოჩენებს მიაწერეს თავიანთი მასწავლებელი. ადრეულმა პითაგორელებმა არ დატოვეს რაიმე კომპოზიცია, მათ ყველა ინფორმაცია გადასცეს ერთმანეთს ზეპირად. ასე რომ, 2500 წლის შემდეგ, ისტორიკოსებს სხვა არჩევანი არ აქვთ, გარდა იმისა, რომ აღადგინონ დაკარგული ცოდნა სხვა, უფრო გვიანდელი ავტორების ტრანსკრიფციის შედეგად. მოდით, პატივი მივაგოთ ბერძნებს: მიუხედავად იმისა, რომ მათ პითაგორას სახელი მრავალი ლეგენდით შემოუარეს, მას არაფერი მიაწერეს, რაც მან ვერ აღმოაჩინა ან თეორიად ჩამოყალიბდა. და თეორემა, რომელიც მის სახელს ატარებს, არ არის გამონაკლისი.
ასეთი მარტივი მტკიცებულება
უცნობია აღმოაჩინა თუ არა თავად პითაგორამ ურთიერთობა სამკუთხედში გვერდების სიგრძეებს შორის თუ ისესხა ეს ცოდნა. უძველესი ავტორები ირწმუნებოდნენ, რომ მას თავადაც უყვარდა ლეგენდის გადმოცემა, თუ როგორ, თავისი აღმოჩენის საპატივცემულოდ, პითაგორას შესწირა ხარი. თანამედროვე ისტორიკოსები მიიჩნევენ, რომ თეორემის შესახებ მან შეიტყო ბაბილონელთა მათემატიკის გაცნობა. ჩვენ ასევე არ ვიცით რა ფორმით ჩამოაყალიბა პითაგორამ თეორემა: არითმეტიკულად, როგორც დღეს ჩვეულებრივად ხდება, - ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, ან გეომეტრიულად, ძველთა სულისკვეთებით, - a მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამს.
ითვლება, რომ ეს იყო პითაგორა, რომელმაც მისცა თეორემის პირველი მტკიცებულება, რომელიც მის სახელს ატარებს. ის, რა თქმა უნდა, არ შემორჩენილა. ერთი ვერსიის თანახმად, პითაგორას შეეძლო მის სკოლაში შემუშავებული პროპორციების დოქტრინის გამოყენება. მას საფუძვლად დაედო, კერძოდ, მსგავსების თეორია, რომელსაც საფუძვლად უდევს მსჯელობა. დახაზეთ მართკუთხა სამკუთხედი ფეხებით a და b სიმაღლე ჰიპოტენუზამდე c. ჩვენ ვიღებთ სამ მსგავს სამკუთხედს, მათ შორის ორიგინალს. მათი შესაბამისი მხარეები პროპორციულია, a: c = m: a და b: c = n: b, საიდანაც a 2 = c m და b 2 = c n. შემდეგ a 2 + b 2 = = c · (m + n) = c 2 (სურ. 4).
ეს მხოლოდ მეცნიერების ერთ -ერთი ისტორიკოსის მიერ შემოთავაზებული რეკონსტრუქციაა, მაგრამ მტკიცებულება, ხედავთ, საკმაოდ მარტივია: ამას სჭირდება მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონი, თქვენ არ გჭირდებათ რაიმე დასრულება, ხელახლა დახატვა, გამოთვლა ... გასაკვირი არ არის რომ იგი არაერთხელ იქნა აღმოჩენილი. ის შეიცავს, მაგალითად, ლეონარდო პიზის "გეომეტრიის პრაქტიკაში" (1220 წ.) და ის კვლავ ციტირებულია სახელმძღვანელოებში.
ეს მტკიცებულება არ ეწინააღმდეგებოდა პითაგორელთა იდეებს შეთავსებადობის შესახებ: თავდაპირველად მათ სჯეროდათ, რომ ნებისმიერი ორი სეგმენტის სიგრძეების თანაფარდობა და, შესაბამისად, სწორხაზოვანი ფიგურების ფართობები, შეიძლება გამოითქვას ბუნებრივი რიცხვების გამოყენებით. მათ არ განიხილეს სხვა რიცხვები, არც კი დაუშვეს წილადები, შეცვალეს ისინი თანაფარდობით 1: 2, 2: 3 და ა.შ. თუმცა, ბედის ირონიით, ეს იყო პითაგორას თეორემა, რომელმაც პითაგორელები მიიყვანა დიაგონალის შეუდარებლობის აღმოჩენამდე კვადრატი და მისი მხარე. ყველა მცდელობა რიცხობრივად წარმოადგინოს ამ დიაგონალის სიგრძე - ერთეულის კვადრატისთვის ის ტოლია √2 - არსად არ მიგვიყვანა. უფრო ადვილი აღმოჩნდა იმის მტკიცება, რომ პრობლემა გადაუჭრელია. ასეთი შემთხვევისთვის მათემატიკოსებს აქვთ დადასტურებული მეთოდი - დასტური წინააღმდეგობებით. სხვათა შორის, ის ასევე მიეკუთვნება პითაგორას.
ურთიერთობის არსებობამ, რომელიც არ არის გამოხატული ბუნებრივი რიცხვებით, დაასრულა პითაგორელთა მრავალი იდეა. ცხადი გახდა, რომ მათ მიერ ნაცნობი რიცხვები არ იყო საკმარისი თუნდაც მარტივი პრობლემების გადასაჭრელად, რომ აღარაფერი ვთქვათ მთელ გეომეტრიაზე! ეს აღმოჩენა იყო გარდამტეხი მომენტი ბერძნული მათემატიკის განვითარებაში, მისი მთავარი პრობლემა. თავიდან მან განაპირობა დოქტრინის განვითარება შეუდარებელი სიდიდეების - ირაციონალურობის, შემდეგ კი რიცხვის ცნების გაფართოებისკენ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რეალური რიცხვების ნაკრების შესწავლის მრავალსაუკუნოვანი ისტორია დაიწყო მასთან.
პითაგორას მოზაიკა
თუ თქვენ დაფარავთ თვითმფრინავს ორი განსხვავებული ზომის კვადრატით, თითოეული პატარა კვადრატის გარშემო ოთხი დიდით, მიიღებთ პარკეტს "პითაგორას მოზაიკა". ასეთი ნიმუში დიდი ხანია ამშვენებს ქვის იატაკებს, იხსენებს პითაგორელთა თეორემის (აქედან გამომდინარე მისი სახელი) უძველეს მტკიცებულებებს. პარკეტზე კვადრატული ბადის სხვადასხვა გზით გამოყენებისას შეგიძლიათ მიიღოთ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე აგებული კვადრატების ტიხრები, რომლებიც შემოთავაზებულია სხვადასხვა მათემატიკოსების მიერ. მაგალითად, თუ თქვენ აწყობთ ბადეს ისე, რომ მისი ყველა კვანძი ემთხვევა მცირე კვადრატების ზედა მარჯვენა წვეროებს, ნახატის ფრაგმენტები გამოჩნდება შუა საუკუნეების სპარსელი მათემატიკოს ალ-ნაირიზის დასამტკიცებლად, რომელიც მან განათავსა ევკლიდის კომენტარებში. დასაწყისი. ადვილი შესამჩნევია, რომ დიდი და პატარა კვადრატების ფართობების ჯამი, პარკეტის ორიგინალური ელემენტები, უდრის მასზე გადახურული ქსელის ერთი კვადრატის ფართობს. და ეს ნიშნავს, რომ მითითებული დანაყოფი ნამდვილად შესაფერისია პარკეტის დასაყენებლად: შედეგად მიღებული პოლიგონების კვადრატებად შეერთებით, როგორც ეს მოცემულია ფიგურაში, თქვენ შეგიძლიათ შეავსოთ მთელი სიბრტყე მათთან ხარვეზებისა და გადახურვების გარეშე.
შარვალი - მიიღეთ მოქმედი სარეკლამო სარეკლამო კოდი Akademika– ზე ან იყიდეთ შარვალი ფასდაკლებით, იყიდება ridestep– ში
ჟარგ. შკ შატლი პითაგორას თეორემა, რომელიც ადგენს ურთიერთობას ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატების ფართობებსა და მართკუთხა სამკუთხედის ფეხებს შორის. BTS, 835 ... რუსული გამონათქვამების დიდი ლექსიკონი
პითაგორას შარვალი- პითაგორას თეორემის კომიკური სახელი, რომელიც წარმოიშვა იმის გამო, რომ ოთხკუთხედის გვერდებზე აგებული და განსხვავებული მიმართულებით გადახრილი კვადრატები შარვლის მოჭრას ჰგავს. მე მიყვარდა გეომეტრია ... და ისიც კი მივიღე იქიდან ... ... რუსული ლიტერატურული ენის ფრაზეოლოგიური ლექსიკონი
პითაგორას შარვალი- პითაგორას თეორემის იუმორისტული სახელი, რომელიც ადგენს ურთიერთობას ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატების ფართობებსა და მართკუთხა სამკუთხედის ფეხებს შორის, რომელიც სურათებში შარვლის მოჭრეს ჰგავს ... მრავალი გამოთქმის ლექსიკონი
ინოსკი.: ნიჭიერი ადამიანის შესახებ იხ. ეს უდავო ბრძენია. ძველ დროში ის ალბათ გამოიგონებდა პითაგორას შარვალს ... სალტიკოვს. ფერადი ასოები. პითაგორას შარვალი (გეომ.): მართკუთხედში, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატებს (სწავლება ... მიქელსონის დიდი განმარტებითი ფრაზეოლოგიური ლექსიკონი
პითაგორას შარვალი ყველა მხრიდან თანაბარია- ღილაკების რაოდენობა ცნობილია. რატომ დაიძაბა დიკი? (უხეშად) შარვლისა და მამაკაცის სასქესო ორგანოების შესახებ. პითაგორას შარვალი ყველა მხრიდან თანაბარია. ამის დასამტკიცებლად აუცილებელია ამოიღონ და აჩვენონ 1) პითაგორას თეორემის შესახებ; 2) ფართო შარვლის შესახებ ... ცოცხალი მეტყველება. სასაუბრო გამონათქვამების ლექსიკონი
პინაგოროვის შარვალი (გამოგონება) წინდის. ნიჭიერი ადამიანის შესახებ. ოთხ ეს უდავოდ ბრძენი კაცია. ანტიკურ ხანაში ის ალბათ გამოიგონებდა პინაგორის შარვალს ... სალტიკოვს. ჭრელი ასოები. პინაგოროვის შარვალი (გეომი.): ჰიპოტენუზის ოთხკუთხედის კვადრატში ... ... მიქელსონის დიდი განმარტებითი და ფრაზეოლოგიური ლექსიკონი (ორიგინალური მართლწერა)
პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია- პითაგორას თეორემის იუმორისტული მტკიცებულება; ასევე ხუმრობს მეგობრის ფართო შარვალზე ... ხალხური ფრაზეოლოგიის ლექსიკონი
მაგალითად, უხეში ...
ყველა მხარეს PYTHAGOR- ის ტანისამოსი თანაბარია (ღილაკების რაოდენობა ცნობილია. რატომ არის ახლომახლო? / ამის დასამტკიცებლად, წაშლა და ჩვენება აუცილებელია)- დამატებითი, უხეში ... ლექსიკონითანამედროვე სასაუბრო ფრაზეოლოგიური ერთეულები და გამონათქვამები
არსებითი სახელი, მრავლობითი, uptr. შდრ. ხშირად მორფოლოგია: pl. რა? შარვალი, (არა) რა? შარვალი, რატომ? შარვალი, (ნახე) რა? შარვალი რა? შარვალი რაზე? შარვლის შესახებ 1. შარვალი არის ტანსაცმლის ნაჭერი, რომელსაც აქვს ორი მოკლე ან გრძელი ფეხი და ფარავს ქვედა ნაწილს ... ... დიმიტრიევის განმარტებითი ლექსიკონი
წიგნები
- პითაგორას შარვალი ,. ამ წიგნში თქვენ ნახავთ ფანტაზიას და თავგადასავალს, სასწაულებს და ფანტასტიკას. მხიარული და სევდიანი, ჩვეულებრივი და იდუმალი ... სხვა რა გჭირდებათ გასართობი კითხვისთვის? მთავარია გქონდეს ...
- სასწაულები ბორბლებზე, მარკუშა ანატოლი. მილიონობით ბორბალი ტრიალებს მთელ დედამიწაზე - ისინი ატრიალებენ მანქანებს, ზომავს დროს საათებში, აკაკუნებენ მატარებლების ქვეშ, ასრულებენ უამრავ სამუშაოს ჩარხებსა და სხვადასხვა მექანიზმებში. Ისინი არიან…
»უორვიკის უნივერსიტეტის მათემატიკის წარჩინებული პროფესორი, მეცნიერების ცნობილი პოპულარიზატორი იან სტიუარტი, რომელიც ეძღვნება რიცხვების როლს კაცობრიობის ისტორიაში და მათი კვლევის აქტუალობას ჩვენს დროში.
პითაგორას ჰიპოტენუზა
პითაგორას სამკუთხედებს აქვთ სწორი კუთხე და მთელი გვერდები. მათგან უმარტივესს აქვს სიგრძის 5 გრძელი მხარე, დანარჩენებს - 3 და 4. საერთო ჯამში არის 5 რეგულარული პოლიედრა. მეხუთე ხარისხის განტოლება ვერ გადაწყდება მეხუთე ხარისხის ფესვების-ან სხვა ფესვების გამოყენებით. ბადეებს სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში არ აქვთ ბრუნვის ხუთკუთხა სიმეტრია; შესაბამისად, ასეთი სიმეტრიები არ არსებობს კრისტალებშიც. თუმცა, ისინი გვხვდება ოთხგანზომილებიანი სივრცის გისოსებში და საინტერესო სტრუქტურებში, რომლებიც ცნობილია როგორც კვაზიკრისტალები.
ყველაზე პატარა პითაგორას სამეულის ჰიპოტენუზა
პითაგორელთა თეორემა ამბობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ყველაზე გრძელი მხარე (ყბადაღებული ჰიპოტენუზა) ეხება ამ სამკუთხედის სხვა ორ გვერდს ძალიან მარტივად და ლამაზად: ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს.
ტრადიციულად, ჩვენ ამ თეორემას ვუწოდებთ პითაგორას სახელით, მაგრამ სინამდვილეში, მისი ისტორია საკმაოდ ბუნდოვანია. თიხის დაფები ვარაუდობენ, რომ ძველმა ბაბილონელებმა იცოდნენ პითაგორას თეორემა თვით პითაგორაზე დიდი ხნით ადრე; აღმომჩენის პოპულარობა მას მოუტანა პითაგორელთა მათემატიკურმა კულტმა, რომლის მხარდამჭერებს სჯეროდათ, რომ სამყარო ემყარებოდა რიცხვით კანონებს. უძველესი ავტორები მიაწერენ პითაგორელებს - და შესაბამისად პითაგორასაც - მათემატიკური თეორემის მრავალფეროვნებას, მაგრამ სინამდვილეში ჩვენ წარმოდგენა არ გვაქვს რა სახის მათემატიკას აკეთებდა თავად პითაგორა. ჩვენ არც კი ვიცით, შეძლებდნენ თუ არა პითაგორელებს პითაგორას თეორემის დამტკიცება, ან უბრალოდ სჯეროდათ, რომ ეს სიმართლე იყო. ან, სავარაუდოდ, მათ ჰქონდათ მყარი მტკიცებულება მისი სიმართლის შესახებ, რაც მაინც არ იქნებოდა საკმარისი იმისთვის, რაც ჩვენ დღეს მტკიცებულებად მიგვაჩნია.
პითაგორას მტკიცებულებები
ჩვენ ვიპოვით პითაგორელთა თეორემის პირველ ცნობილ მტკიცებულებას ევკლიდის ელემენტებში. ეს არის საკმაოდ რთული მტკიცებულება ნახატის გამოყენებით, რომელშიც ვიქტორიანელი სკოლის მოსწავლეები მაშინვე ამოიცნობენ "პითაგორას შარვალს"; ნახატი მართლაც წააგავს თოკზე გაშრობას. ფაქტიურად ცნობილია ასობით სხვა მტკიცებულება, რომელთა უმეტესობა ამტკიცებს, რომ პრეტენზია უფრო აშკარაა.
// ბრინჯი. 33. პითაგორას შარვალი
ერთ -ერთი ყველაზე მარტივი მტკიცებულება არის ერთგვარი მათემატიკური თავსატეხი. აიღეთ ნებისმიერი სამკუთხედი, გააკეთეთ მისი ოთხი ასლი და შეაგროვეთ ისინი კვადრატში. ერთი დასტით, ჩვენ ვხედავთ კვადრატს ჰიპოტენუზაზე; მეორეზე, კვადრატები სამკუთხედის მეორე ორ მხარეს. ამავე დროს, ნათელია, რომ ორივე შემთხვევაში ფართობები თანაბარია.
// ბრინჯი. 34. მარცხნივ: კვადრატი ჰიპოტენუზაზე (პლუს ოთხი სამკუთხედი). მარჯვნივ: კვადრატების ჯამი დანარჩენ ორ მხარეს (პლუს იგივე ოთხი სამკუთხედი). ახლა გამორიცხეთ სამკუთხედები.
პერიგალეს გაკვეთა არის კიდევ ერთი დამადასტურებელი თავსატეხი.
// ბრინჯი. 35. პერიგალეს გაკვეთა
ასევე არსებობს თეორემის მტკიცებულება თვითმფრინავებში კვადრატების შეფუთვის გამოყენებით. ალბათ ასე აღმოაჩინეს პითაგორელებმა ან მათმა უცნობმა წინამორბედებმა ეს თეორემა. თუ დააკვირდებით, როგორ გადაფარავს დახრილი კვადრატი სხვა ორ კვადრატს, შეგიძლიათ ნახოთ თუ როგორ უნდა გაჭრათ დიდი კვადრატი ნაჭრებად და შემდეგ დაკეცით მათგან ორი პატარა კვადრატი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ მართკუთხა სამკუთხედები, რომელთა გვერდები იძლევა სამი ჩართული კვადრატის ზომებს.
// ბრინჯი. 36. მოსაპირკეთებელი მტკიცებულება
არსებობს საინტერესო მტკიცებულებები ტრიგონომეტრიაში მსგავსი სამკუთხედების გამოყენებით. სულ მცირე ორმოცდაათი განსხვავებული მტკიცებულებაა ცნობილი.
პითაგორას სამეული
რიცხვების თეორიაში პითაგორას თეორემა გახდა ნაყოფიერი იდეის წყარო: ალგებრული განტოლებების მთელი ამონახსნების პოვნა. პითაგორას სამეული არის მთელი რიცხვები a, b და c ისეთი, რომ
გეომეტრიულად, ასეთი სამეული განსაზღვრავს მართკუთხა სამკუთხედს მთელი გვერდებით.
პითაგორას სამეულის ყველაზე პატარა ჰიპოტენუზა არის 5.
ამ სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდი არის 3 და 4. აქ
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
შემდეგი უდიდესი ჰიპოტენუზა არის 10 იმიტომ
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
თუმცა, ეს არსებითად იგივე სამკუთხედია გაორმაგებული გვერდებით. შემდეგი უდიდესი და მართლაც განსხვავებული ჰიპოტენუზა არის 13, მისთვის
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
ევკლიდმა იცოდა, რომ არსებობს პითაგორელთა სამეულის უსასრულო განსხვავებული ვარიანტი და მისცა ის, რასაც შეიძლება ეწოდოს ყველა მათგანის საპოვნელად. მოგვიანებით, დიოფანტ ალექსანდრიელმა შემოგვთავაზა მარტივი რეცეპტი, რომელიც ძირითადად ემთხვეოდა ევკლიდურ რეცეპტს.
აიღეთ ნებისმიერი ორი ბუნებრივი რიცხვი და გამოთვალეთ:
მათი გაორმაგებული მუშაობა;
განსხვავება მათ კვადრატებს შორის;
მათი კვადრატების ჯამი.
სამი შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება პითაგორას სამკუთხედის გვერდები.
მიიღეთ, მაგალითად, რიცხვები 2 და 1. გამოთვალეთ:
ორმაგი პროდუქტი: 2 × 2 × 1 = 4;
კვადრატების სხვაობა: 22 - 12 = 3;
კვადრატების ჯამი: 22 + 12 = 5,
და მივიღეთ ცნობილი სამკუთხედი 3-4-5. თუ ჩვენ ვიღებთ რიცხვებს 3 და 2, მივიღებთ:
ორმაგი პროდუქტი: 2 × 3 × 2 = 12;
კვადრატების სხვაობა: 32 - 22 = 5;
კვადრატების ჯამი: 32 + 22 = 13,
და ჩვენ ვიღებთ შემდეგ ყველაზე ცნობილ სამკუთხედს 5 - 12 - 13. შევეცადოთ ავიღოთ რიცხვები 42 და 23 და მივიღოთ:
ორმაგი პროდუქტი: 2 × 42 × 23 = 1932;
კვადრატების სხვაობა: 422 - 232 = 1235;
კვადრატების ჯამი: 422 + 232 = 2293,
არავის გაუგია 1235-1932-2293 სამკუთხედის შესახებ.
მაგრამ ეს რიცხვები ასევე მუშაობს:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
დიოფანტინურ წესში არის კიდევ ერთი თვისება, რომელიც უკვე მინიშნებულია: სამი რიცხვის მიღების შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ სხვა თვითნებური რიცხვი და გავამრავლოთ ყველა მასზე. ამრიგად, 3-4–5 სამკუთხედი შეიძლება გადაიქცეს 6–8–10 სამკუთხედში, ყველა მხარის გამრავლებით 2, ან 15–20–25 სამკუთხედში, ყველაფერი 5 – ზე გამრავლებით.
თუ ალგებრის ენაზე მივდივართ, წესი იღებს შემდეგ ფორმას: დაე u, v და k იყოს ბუნებრივი რიცხვები. შემდეგ მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით
2kuv და k (u2 - v2) აქვს ჰიპოტენუზა
მთავარი იდეის წარმოდგენის სხვა გზებიც არსებობს, მაგრამ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილთან მიდის. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ყველა პითაგორას სამეული.
რეგულარული პოლიედრა
ზუსტად ხუთი რეგულარული პოლიედრაა. რეგულარული პოლიედრონი (ან პოლიედრონი) არის სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელსაც აქვს სასრული რაოდენობის ბრტყელი სახეები. სახეები ემთხვევა ხაზებს, რომელსაც ეწოდება კიდეები; კიდეები ხვდება წერტილებში, რომელსაც წვეროები ეწოდება.
ევკლიდეს "დასაწყისის" კულმინაცია არის მტკიცებულება იმისა, რომ შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ ხუთი რეგულარული მრავალწახნაგა, ანუ პოლიედრა, რომელშიც თითოეული სახე არის რეგულარული პოლიგონი (თანაბარი მხარეები, თანაბარი კუთხეები), ყველა სახე იდენტურია და ყველა წვერო გარშემორტყმულია თანაბარი რაოდენობის თანაბრად დაშორებული სახეები. აქ არის ხუთი რეგულარული პოლიჰედრა:
ოთხკუთხედი ოთხი სამკუთხა სახით, ოთხი წვეროთი და ექვსი კიდეებით;
კუბი, ანუ ექვსკუთხედი, 6 კვადრატული სახით, 8 წვეროთი და 12 კიდეებით;
რვაკუთხედი 8 სამკუთხა სახით, 6 წვეროთი და 12 კიდეებით;
დოდეკადერონი 12 ხუთკუთხა სახით, 20 წვეროთი და 30 კიდეებით;
icosahedron 20 სამკუთხა სახეები, 12 vertices და 30 კიდეები.
// ბრინჯი. 37. ხუთი რეგულარული მრავალწახნაგა
რეგულარული პოლიჰედრა ასევე გვხვდება ბუნებაში. 1904 წელს ერნსტ ჰეკელმა გამოაქვეყნა პატარა ორგანიზმების ნახატები, რომლებიც ცნობილია როგორც რადიოლარიელები; ბევრი მათგანი ფორმით ჰგავს ხუთ ჩვეულებრივ პოლიედრას. ალბათ, მან ოდნავ შეასწორა ბუნება და ნახატები სრულად არ ასახავს კონკრეტული ცოცხალი არსებების ფორმას. პირველი სამი სტრუქტურა ასევე შეინიშნება კრისტალებში. კრისტალებში ვერ ნახავთ დოდეკაედრონსა და იკოსაჰედრონს, თუმცა იქ ზოგჯერ გვხვდება არარეგულარული დოდეკაედრები და იკოსაედრები. ჭეშმარიტი დოდეკაედრები შეიძლება წარმოიშვას კვაზისკრისტალებად, რომლებიც ყოველმხრივ ჰგავს კრისტალებს, გარდა იმისა, რომ მათი ატომები არ ქმნიან პერიოდულ ბადეს.
// ბრინჯი. 38. ჰეკელის ნახატები: რადიოლარიელები რეგულარული პოლიედრის სახით
// ბრინჯი. 39. რეგულარული პოლიედრის გაწმენდა
შეიძლება საინტერესო იყოს ქაღალდისგან რეგულარული მრავალწახნაგოვანი მოდელების დამზადება წინასწარ ერთმანეთთან დაკავშირებული სახეების ნაკრების ამოღებით - ამას პოლიედრონის გაშლა ეწოდება; რეამერი იკეცება კიდეების გასწვრივ და შესაბამისი კიდეები ერთმანეთთან არის წებოვანი. სასარგებლოა თითოეული ასეთი წყვილის ერთ კიდეზე დაამატოთ დამატებითი წებოვანი ბალიში, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახ. 39. თუ ასეთი ადგილი არ არის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ წებოვანი ლენტი.
მეხუთე ხარისხის განტოლება
მე –5 ხარისხის განტოლების ამოხსნის ალგებრული ფორმულა არ არსებობს.
ზოგადად, მეხუთე ხარისხის განტოლება ასე გამოიყურება:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
პრობლემა ის არის, რომ იპოვოთ ფორმულა ამგვარი განტოლების ამონახსნებისათვის (მას შეიძლება ჰქონდეს ხუთამდე გამოსავალი). კვადრატულ და კუბურ განტოლებებთან მუშაობის გამოცდილება, ასევე მეოთხე ხარისხის განტოლებები ვარაუდობს, რომ ასეთი ფორმულა ასევე უნდა არსებობდეს მეხუთე ხარისხის განტოლებებისთვის და თეორიულად, მეხუთე, მესამე და მეორე ხარისხის ფესვები უნდა გამოჩნდეს მასში. კიდევ ერთხელ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ვივარაუდოთ, რომ ასეთი ფორმულა, თუ ის არსებობს, ძალიან, ძალიან რთული იქნება.
ეს ვარაუდი საბოლოოდ მცდარი აღმოჩნდა. მართლაც, ასეთი ფორმულა არ არსებობს; ყოველ შემთხვევაში არ არსებობს a, b, c, d, e და f კოეფიციენტების ფორმულა, რომელიც აგებულია ფესვების შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის გამოყენებით. ასე რომ, არის რაღაც განსაკუთრებული 5 ნომერში. ხუთეულის ამ უჩვეულო ქცევის მიზეზები ძალიან ღრმაა და მათ გარკვევას დიდი დრო დასჭირდა.
პრობლემის პირველი ნიშანი იყო ის, რომ რაც არ უნდა მძიმე მათემატიკოსები ეცადონ იპოვონ ასეთი ფორმულა, რაც არ უნდა ჭკვიანები იყვნენ ისინი, ისინი უცვლელად მარცხდებიან. გარკვეული პერიოდის განმავლობაში, ყველას სჯეროდა, რომ მიზეზები მდგომარეობდა ფორმულის წარმოუდგენელ სირთულეში. ითვლებოდა, რომ არავის შეუძლია უბრალოდ სწორად გაიგოს ეს ალგებრა. თუმცა, დროთა განმავლობაში ზოგიერთ მათემატიკოსს დაეჭვდა ეჭვი იმაში, რომ ასეთი ფორმულა საერთოდ არსებობდა და 1823 წელს ნილს ჰენდრიკ აბელმა შეძლო პირიქით დაემტკიცებინა. არ არსებობს ასეთი ფორმულა. მალევე, ევარისტ გალოისმა იპოვა გზა იმის დასადგენად, იყო თუ არა ამა თუ იმ ხარისხის განტოლება - მე -5, მე -6, მეშვიდე, ზოგადად, ნებისმიერი - ამგვარი ფორმულის გამოყენებით.
ამ ყველაფრისგან თავის დაღწევა მარტივია: ნომერი 5 განსაკუთრებულია. თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრას ალგებრული განტოლებები (გამოყენებით მე –9 ფესვებიგრადუსი სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის ნ) 1, 2, 3 და 4 გრადუსისთვის, მაგრამ არა მე -5 ხარისხისთვის. აქ მთავრდება აშკარა ნიმუში.
არავისთვის გასაკვირი არ არის, რომ 5 -ზე მეტი ძალების განტოლებები იქცევიან უარესად; კერძოდ, მათ აქვთ იგივე სირთულე: არა ზოგადი ფორმულებიმათი გადაჭრა. ეს არ ნიშნავს იმას, რომ განტოლებებს არ აქვთ ამონახსნები; ეს ასევე არ ნიშნავს იმას, რომ შეუძლებელია ამ გადაწყვეტილებების ძალიან ზუსტი რიცხვითი მნიშვნელობების პოვნა. ეს ყველაფერი ტრადიციული ალგებრის ინსტრუმენტების შეზღუდვებს ეხება. ეს ახსენებს კუთხის სამკუთხედის შეუძლებლობას მმართველით და კომპასით. პასუხი არსებობს, მაგრამ ჩამოთვლილი მეთოდები არასაკმარისია და არ გაძლევთ საშუალებას განსაზღვროთ რა არის.
კრისტალოგრაფიული შეზღუდვა
ორი და სამი განზომილების კრისტალებს არ აქვთ 5 სხივიანი ბრუნვის სიმეტრია.
ბროლის ატომები ქმნიან გისოსებს, ანუ სტრუქტურას, რომელიც პერიოდულად მეორდება რამდენიმე დამოუკიდებელი მიმართულებით. მაგალითად, შპალერზე შაბლონი მეორდება როლის სიგრძის გასწვრივ; გარდა ამისა, ის ჩვეულებრივ მეორდება ჰორიზონტალურად, ზოგჯერ ერთი ცალი ფონიდან მეორეზე გადასვლით. არსებითად, ფონი არის ორგანზომილებიანი ბროლი.
არსებობს 17 სახეობის ბრტყელი ფონი (იხ. თავი 17). ისინი განსხვავდებიან სიმეტრიის ტიპებში, ანუ ნახატის მკაცრად გადატანის ხერხებით ისე, რომ ის ზუსტად თავის თავზე დევს პირვანდელ მდგომარეობაში. სიმეტრიის ტიპები მოიცავს, კერძოდ, ბრუნვის სიმეტრიის სხვადასხვა ვარიანტს, სადაც სურათი უნდა გადატრიალდეს გარკვეული კუთხით გარკვეული წერტილის გარშემო - სიმეტრიის ცენტრი.
ბრუნვის სიმეტრიის თანმიმდევრობა არის რამდენჯერ შეიძლება სხეული გადატრიალდეს სრულ წრეზე ისე, რომ ნახატის ყველა დეტალი დაუბრუნდეს პირვანდელ მდგომარეობას. მაგალითად, 90 ° ბრუნვა არის მე –4 რიგის ბრუნვის სიმეტრია *. ბროლის გისოსებში ბრუნვის სიმეტრიის შესაძლო ტიპების სია კვლავ მიუთითებს რიცხვის 5 უჩვეულობაზე: ის იქ არ არის. არსებობს 2, 3, 4 და 6 რიგის ბრუნვის სიმეტრია, მაგრამ არცერთ შპალერს არ აქვს მე –5 რიგის ბრუნვის სიმეტრია. კრისტალებში 6 -ზე მეტი რიგის ბრუნვის სიმეტრია ასევე არ არსებობს, მაგრამ რიგითობის პირველი დარღვევა მაინც ხდება რიცხვ 5 -ში.
იგივე ხდება კრისტალოგრაფიულ სისტემებთან სამგანზომილებიან სივრცეში. აქ ბადე მეორდება სამი დამოუკიდებელი მიმართულებით. არსებობს 219 სხვადასხვა სახის სიმეტრია, ან 230 თუ ითვლით სარკის ანარეკლინახაზი, როგორც მისი ცალკე ვერსია - მიუხედავად იმისა, რომ ამ შემთხვევაში სარკის სიმეტრია არ არსებობს. კვლავ შეინიშნება 2, 3, 4 და 6 რიგის ბრუნვის სიმეტრია, მაგრამ არა 5. ამ ფაქტს კრისტალოგრაფიული შეზღუდვა ეწოდება.
ოთხგანზომილებიან სივრცეში მე –5 რიგის სიმეტრიის მქონე გისოსები არსებობს; ზოგადად, საკმარისად მაღალი განზომილებების ბადეებისთვის შესაძლებელია ბრუნვის სიმეტრიის ნებისმიერი წინასწარ განსაზღვრული რიგი.
// ბრინჯი. 40. სუფრის მარილის კრისტალური ბადე. მუქი ბურთები წარმოადგენს ნატრიუმის ატომებს, მსუბუქი - ქლორის ატომებს
კვაკრისტალები
მიუხედავად იმისა, რომ მე –5 რიგის ბრუნვის სიმეტრია 2D და 3D ბადეებში შეუძლებელია, ის შეიძლება არსებობდეს ოდნავ ნაკლებად რეგულარულ სტრუქტურებში, რომლებიც ცნობილია როგორც კვაზისკრისტალები. კეპლერის ესკიზების გამოყენებით როჯერ პენროუსმა აღმოაჩინა პლანარული სისტემები უფრო ზოგადი ტიპის ხუთჯერადი სიმეტრიით. მათ კვაზიკრისტალები ეწოდება.
კვაზისკრისტალები არსებობს ბუნებაში. 1984 წელს დანიელ შეხტმანმა აღმოაჩინა, რომ ალუმინის და მანგანუმის შენადნობს შეუძლია კვაზისკრისტალების წარმოქმნა; თავდაპირველად, კრისტალოგრაფები მის შეტყობინებას სკეპტიციზმით შეხვდნენ, მაგრამ მოგვიანებით აღმოჩენა დადასტურდა და 2011 წელს შეხტმანი დაჯილდოვდა ნობელის პრემიაქიმიაში. 2009 წელს, მეცნიერთა ჯგუფმა ლუკა ბინდის ხელმძღვანელობით აღმოაჩინეს კვაზიკრისტალები რუსეთის კორიაკის მთიანეთის მინერალში - ალუმინის, სპილენძის და რკინის კომბინაცია. დღეს ამ მინერალს ეწოდება icosahedrite. მასალის სპექტრომეტრით მინერალში სხვადასხვა ჟანგბადის იზოტოპების შემცველობის გაზომვის შედეგად მეცნიერებმა აჩვენეს, რომ ეს მინერალი არ წარმოიშვა დედამიწაზე. იგი წარმოიქმნა დაახლოებით 4.5 მილიარდი წლის წინ, იმ დროს, როდესაც მზის სისტემა ჯერ კიდევ წარმოიქმნა და დროის უმეტეს ნაწილს ატარებდა ასტეროიდების სარტყელში, მზის გარშემო, სანამ რაიმე დარღვევამ შეცვალა მისი ორბიტა და საბოლოოდ მიიყვანა იგი დედამიწაზე.
// ბრინჯი. 41. მარცხნივ: ერთი ორი კვაზიკრისტალური კრატიდან ზუსტად ხუთჯერადი სიმეტრიით. მარჯვნივ: icosahedral ალუმინის-პალადიუმ-მანგანუმის კვაზიკრისტალის ატომური მოდელი
შემოქმედების პოტენციალი ჩვეულებრივ მიეკუთვნება ჰუმანიტარულ მეცნიერებებს, რის გამოც საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებმა დატოვეს ანალიზი, პრაქტიკული მიდგომა და ფორმულებისა და რიცხვების მშრალი ენა. მათემატიკა არ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს ჰუმანიტარულ საგნებს. მაგრამ "ყველა მეცნიერების დედოფალში" შემოქმედების გარეშე შორს არ წახვალ - ხალხმა ამის შესახებ დიდი ხანია იცის. მაგალითად, პითაგორას დროიდან.
სამწუხაროდ, სასკოლო სახელმძღვანელოები, როგორც წესი, არ ხსნიან, რომ მათემატიკაში მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ თეორემების, აქსიომებისა და ფორმულების შეჯვარება. მნიშვნელოვანია მისი ფუნდამენტური პრინციპების გაგება და შეგრძნება. და ამავე დროს შეეცადეთ გაათავისუფლოთ თქვენი გონება კლიშეებისა და ელემენტარული ჭეშმარიტებისგან - მხოლოდ ასეთ პირობებში იბადება ყველა დიდი აღმოჩენა.
ეს აღმოჩენები მოიცავს იმას, რაც დღეს ჩვენ ვიცით, როგორც პითაგორას თეორემა. მისი დახმარებით, ჩვენ შევეცდებით ვაჩვენოთ, რომ მათემატიკას არა მხოლოდ შეუძლია, არამედ უნდა იყოს ამაღელვებელი. და რომ ეს თავგადასავალი შესაფერისია არა მხოლოდ სქელ ჭიქებში მყოფ ნერგებზე, არამედ ყველასთვის, ვინც ძლიერია გონებით და სულით.
საკითხის ისტორიიდან
მკაცრად რომ ვთქვათ, მიუხედავად იმისა, რომ თეორემას ეწოდება "პითაგორას თეორემა", თავად პითაგორას არ აღმოაჩნდა იგი. მართკუთხა სამკუთხედი და მისი განსაკუთრებული თვისებები შესწავლილი იყო მასზე დიდი ხნით ადრე. ამ საკითხზე ორი საპირისპირო თვალსაზრისია. ერთი ვერსიის თანახმად, პითაგორა იყო პირველი, ვინც იპოვა თეორემის სრული მტკიცებულება. მეორის თანახმად, მტკიცებულება არ ეკუთვნის პითაგორას ავტორობას.
დღეს თქვენ არ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ვინ არის მართალი და ვინ არასწორი. ცნობილია მხოლოდ ის, რომ პითაგორას მტკიცებულება, თუ ის ოდესმე არსებობდა, არ შემორჩენილა. ამასთან, არსებობს ვარაუდები, რომ ევკლიდის "ელემენტების" ცნობილი მტკიცებულება შეიძლება ეკუთვნოდეს პითაგორას და ევკლიდმა მხოლოდ ჩაწერა იგი.
დღეს ისიც ცნობილია, რომ მართკუთხა სამკუთხედის პრობლემები გვხვდება ეგვიპტურ წყაროებში ფარაონ ამენემჰატ I- ის დროიდან, ბაბილონური თიხის ფირფიტებზე მეფე ჰამურაბის მეფობიდან, ძველ ინდურ ტრაქტატში "სულვა სუტრა" და ძველ ჩინეთში კომპოზიცია "ჟოუ-ბი სუან ჯინი".
როგორც ხედავთ, პითაგორას თეორემა უძველესი დროიდან იპყრობდა მათემატიკოსთა გონებას. არსებობს დაახლოებით 367 განსხვავებული მტკიცებულება, რომელიც დღესაც არსებობს. ამაში სხვა თეორემას არ შეუძლია კონკურენცია გაუწიოს მას. ცნობილი დამამტკიცებელი მწერლები არიან ლეონარდო და ვინჩი და შეერთებული შტატების მეოცე პრეზიდენტი ჯეიმს გარფილდი. ყოველივე ეს საუბრობს მათემატიკისათვის ამ თეორემის უკიდურეს მნიშვნელობაზე: გეომეტრიის თეორემების უმეტესობა მისგან გამომდინარეობს ან ამა თუ იმ გზით არის დაკავშირებული.
პითაგორას თეორემის დადასტურება
სასკოლო სახელმძღვანელოებში მოცემულია ძირითადად ალგებრული მტკიცებულებები. მაგრამ თეორემის არსი გეომეტრიაშია, ამიტომ განვიხილოთ, უპირველეს ყოვლისა, ცნობილი თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც ამ მეცნიერებას ეყრდნობა.
მტკიცებულება 1
პითაგორელთა თეორემის უმარტივესი დასტური მართკუთხა სამკუთხედისთვის, თქვენ უნდა შექმნათ იდეალური პირობები: დაე სამკუთხედი იყოს არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ თანაბარიც. არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ ეს სამკუთხედი თავდაპირველად განიხილებოდა ანტიკური ხანის მათემატიკოსებმა.
განცხადება "მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამს"შეიძლება ილუსტრირებული იყოს შემდეგი ნახაზით:
შეხედეთ სწორკუთხა სამკუთხედს ABC: AC ჰიპოტენუზაზე შეგიძლიათ ააგოთ კვადრატი, რომელიც შედგება ოთხი სამკუთხედისგან, რომელიც ტოლია ორიგინალური ABC– ს. და AB და BC ფეხებზე ის აგებულია კვადრატში, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ორ მსგავს სამკუთხედს.
სხვათა შორის, ეს ნახატი საფუძვლად დაედო მრავალრიცხოვან ანეკდოტებსა და მულტფილმებს, რომლებიც ეძღვნებოდა პითაგორას თეორემას. ყველაზე ცნობილი ალბათ "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია":
მტკიცებულება 2
ეს მეთოდი აერთიანებს ალგებრას და გეომეტრიას და შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკოს ბასკარის უძველესი ინდური მტკიცებულების ვარიანტად.
ააშენეთ მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით a, b და c(სურ. 1). შემდეგ ააშენეთ ორი კვადრატი, რომელთა გვერდები ტოლია ორი ფეხის სიგრძის ჯამისა, - (a + b)... თითოეულ კვადრატში ააშენეთ როგორც სურათები 2 და 3.
პირველ კვადრატში ააგეთ ოთხი იგივე სამკუთხედი, როგორც სურათზე 1. შედეგად, თქვენ მიიღებთ ორ კვადრატს: ერთს a გვერდით, მეორეს გვერდით ბ.
მეორე კვადრატში ოთხი აგებული მსგავსი სამკუთხედი ქმნის კვადრატს, რომლის გვერდიც ჰიპოტენუზის ტოლია გ.
ნახ. 2 -ში აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის კვადრატის ფართობს, რომელიც ჩვენ ავაგეთ c გვერდზე ნახ. 3 -ში. ამის მარტივად დამოწმება შესაძლებელია ნახაზზე კვადრატების ფართობების გამოთვლით. 2 ფორმულის მიხედვით. ფიგურაში 3. ჩაწერილი კვადრატის ფართობი კვადრატულ ოთხკუთხედში ჩაწერილი ოთხი თანაბარი ფართობის გამოკლებით დიდი კვადრატის ფართობიდან გვერდით (a + b).
ამ ყველაფრის ჩაწერისას ჩვენ გვაქვს: a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab... გააფართოვეთ ფრჩხილები, განახორციელეთ ყველა საჭირო ალგებრული გამოთვლა და მიიღეთ ეს a 2 + b 2 = a 2 + b 2... ამ შემთხვევაში, ნახ. 3 -ში ჩაწერილი ტერიტორია. კვადრატი შეიძლება გამოითვალოს ტრადიციული ფორმულის გამოყენებით S = c 2... იმ. a 2 + b 2 = c 2- თქვენ დაამტკიცეთ პითაგორას თეორემა.
მტკიცებულება 3
იგივე უძველესი ინდური მტკიცებულება აღწერილია XII საუკუნეში ტრაქტატში "ცოდნის გვირგვინი" ("სიდჰანთა შირომანი") და როგორც მთავარი არგუმენტი ავტორი იყენებს მიმართვას მათემატიკური ნიჭისა და სტუდენტებისა და მიმდევრების დაკვირვებისას: " შეხედე! "
მაგრამ ჩვენ გავაანალიზებთ ამ მტკიცებულებას უფრო დეტალურად:
კვადრატის შიგნით, დახაზეთ ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი, როგორც ეს მოცემულია ნახატზე. დიდი კვადრატის მხარე, ის ასევე არის ჰიპოტენუზა, ჩვენ აღვნიშნავთ თან... სამკუთხედის ფეხებს ეწოდება მაგრამდა ბ... ნახატის მიხედვით, შიდა კვადრატის გვერდია (a-b).
გამოიყენეთ კვადრატული ფორმულის ფართობი S = c 2გარე კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად. და ამავე დროს, გამოთვალეთ იგივე მნიშვნელობა შიდა კვადრატის ფართობის და ოთხივე მართკუთხა სამკუთხედის ფართობების დამატებით: (a-b) 2 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b.
თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორივე ვარიანტი კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად, რათა დარწმუნდეთ, რომ ისინი ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა. და ეს გაძლევთ უფლებას ჩაწეროთ ეს c 2 = (a-b) 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b... ამონახსნის შედეგად თქვენ მიიღებთ პითაგორას თეორემის ფორმულას c 2 = a 2 + b 2... თეორემა დამტკიცებულია.
მტკიცებულება 4
ამ ძველ ჩინურ მტკიცებულებას ეწოდება "პატარძლის სკამი" - სკამის მსგავსი ფიგურის გამო, რომელიც მიიღება ყველა კონსტრუქციის შედეგად:
იგი იყენებს ნახატს, რომელიც ჩვენ უკვე ვნახეთ ფიგურა 3 -ში მეორე მტკიცებულებაში. და შიდა კვადრატი c გვერდით არის აგებული ისე, როგორც ზემოთ მოყვანილი ძველი ინდური მტკიცებულება.
თუ თქვენ გონებრივად გაწყვეტთ ნახატზე ნახატის ორ მწვანე მართკუთხა სამკუთხედს, გადაიტანეთ ისინი კვადრატის მოპირდაპირე მხარეს c და ჰიპოტენუსებით, მიამაგრეთ იასამნისფერი სამკუთხედების ჰიპოტენუსებზე, მიიღებთ ფიგურას სახელწოდებით "პატარძლის სკამი "(სურათი 2). სიცხადისთვის, იგივე შეგიძლიათ გააკეთოთ ქაღალდის კვადრატებით და სამკუთხედებით. თქვენ ნახავთ, რომ "პატარძლის სკამი" ქმნის ორ კვადრატს: პატარა გვერდით ბდა დიდი გვერდით ა.
ამ კონსტრუქციებმა უძველესი ჩინელი მათემატიკოსების საშუალება მისცა და ჩვენ, მათ შემდგომ, დავასკვნათ, რომ c 2 = a 2 + b 2.
მტკიცებულება 5
ეს არის კიდევ ერთი გზა პითაგორას თეორემის გადაწყვეტის პოვნაში, გეომეტრიაზე დაყრდნობით. მას ჰქვია გარფილდის მეთოდი.
შექმენით მართკუთხა სამკუთხედი ABC... ჩვენ ამის დამტკიცება გვჭირდება ძვ.წ 2 = AC 2 + AB 2.
ამისათვის გააგრძელეთ ფეხი როგორცდა დახაზეთ სეგმენტი CDრომელიც ფეხის ტოლია AB... ქვედა პერპენდიკულარული ახ.წხაზის სეგმენტი ედ... სეგმენტები ედდა როგორცთანაბარია Შეაერთე წერტილები ედა IN, ისევე, როგორც ედა თანდა მიიღეთ ნახატი, როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე:
კოშკის დასამტკიცებლად, ჩვენ კვლავ მივმართავთ იმ მეთოდს, რომელიც უკვე ვცადეთ: ვიპოვოთ მიღებული ფიგურის ფართობი ორი გზით და გამოვთქვათ გამონათქვამები ერთმანეთთან.
იპოვეთ მრავალკუთხედის ფართობი ABEDშესაძლებელია სამი სამკუთხედის ფართობების დამატებით, რომლებიც ქმნიან მას. და ერთი მათგანი, ERU– ები, არა მხოლოდ მართკუთხაა, არამედ ტოლფერდაა. ჩვენ ასევე არ გვავიწყდება ეს AB = CD, AC = EDდა ძვ.წ. = ახ.წ- ეს მოგვცემს საშუალებას გავამარტივოთ ჩანაწერი და არ გადატვირთოთ იგი. Ისე, S ABED = 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
უფრო მეტიც, აშკარაა, რომ ABEDარის ტრაპეცია. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გამოვთვლით მის ფართობს ფორმულის მიხედვით: S ABED = (DE + AB) * 1/2AD... ჩვენი გათვლებით, უფრო მოსახერხებელი და ნათელია სეგმენტის წარმოდგენა ახ.წროგორც სეგმენტების ჯამი როგორცდა CD.
მოდით დავწეროთ ფიგურის ფართობის გამოთვლის ორივე გზა და მათ შორის დავდოთ თანაბარი ნიშანი: AB * AC + 1 / 2BC 2 = (DE + AB) * 1/2 (AC + CD)... ჩვენ ვიყენებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილი და ზემოთ აღწერილი სეგმენტების თანასწორობას აღნიშვნის მარჯვენა მხარის გასამარტივებლად: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1/2 (AB + AC) 2... ახლა გავაფართოვოთ ფრჩხილები და შევცვალოთ თანასწორობა: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1 / 2AC 2 + 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2AB 2... ყველა გარდაქმნის დასრულების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ზუსტად იმას, რაც გვჭირდება: ძვ.წ 2 = AC 2 + AB 2... ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა.
რა თქმა უნდა, მტკიცებულებათა ეს სია შორს არის სრულყოფილებისაგან. პითაგორას თეორემის დამტკიცება ასევე შესაძლებელია ვექტორების, რთული რიცხვების, დიფერენციალური განტოლებების, სტერეომეტრიის და ა. და კიდევ ფიზიკა: თუ, მაგალითად, სითხე შეედინება კვადრატულ და სამკუთხა მოცულობებში, მსგავსი ნახატებში ნაჩვენები. სითხის ჩამოსხმის შედეგად შეიძლება დადასტურდეს ფართობების თანასწორობა და თავად თეორემა.
რამდენიმე სიტყვა პითაგორას სამეულის შესახებ
ეს საკითხი ცოტაა ან არ არის შესწავლილი სასკოლო სასწავლო გეგმაში. და მაინც ძალიან საინტერესო და უდიდესი მნიშვნელობა აქვს გეომეტრიაში. პითაგორას სამეული გამოიყენება მრავალი მათემატიკური პრობლემის გადასაჭრელად. მათი იდეა შეიძლება სასარგებლო იყოს თქვენთვის შემდგომ განათლებაში.
რა არის პითაგორას სამეული? ეს არის სამ რიცხვში შეგროვებული ნატურალური რიცხვების სახელი, რომელთაგან ორი კვადრატის ჯამი უდრის მესამე რიცხვის კვადრატს.
პითაგორას სამეული შეიძლება იყოს:
- პრიმიტიული (სამივე რიცხვი ურთიერთგამომრიცხავია);
- არ არის პრიმიტიული (თუ სამეულში თითოეული რიცხვი გამრავლებულია ერთსა და იმავე რიცხვზე, მიიღებთ ახალ სამეულს, რომელიც არ არის პრიმიტიული).
ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე, ძველი ეგვიპტელები მოხიბლულნი იყვნენ პითაგორას სამეულის რიცხვის მანიით: თავიანთ პრობლემებში ისინი განიხილავდნენ მართკუთხა სამკუთხედს 3,4 და 5 ერთეულის გვერდებით. სხვათა შორის, ნებისმიერი სამკუთხედი, რომლის გვერდები პითაგორას სამეულის რიცხვების ტოლია, სტანდარტულად მართკუთხაა.
პითაგორას სამეულის მაგალითები: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) და ა.
თეორემის პრაქტიკული გამოყენება
პითაგორელთა თეორემა გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ არქიტექტურასა და მშენებლობაში, ასტრონომიაში და ლიტერატურაშიც კი.
პირველი, მშენებლობის შესახებ: პითაგორას თეორემა მასში ფართო გამოყენებას პოულობს პრობლემებში სხვადასხვა დონეზესირთულეები. მაგალითად, შეხედეთ რომანულ ფანჯარას:
მოდით აღვნიშნოთ ფანჯრის სიგანე როგორც ბ, მაშინ ნახევარწრის რადიუსი შეიძლება აღინიშნოს როგორც რდა გამოხატეთ მეშვეობით b: R = b / 2... პატარა ნახევარწრეების რადიუსი ასევე შეიძლება გამოითქვას მეშვეობით b: r = b / 4... ამ პრობლემით, ჩვენ დაინტერესებული ვართ ფანჯრის შიდა წრის რადიუსით (მოდით დავარქვათ გვ).
პითაგორელთა თეორემა უბრალოდ გამოსადეგია გამოსათვლელად რ... ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც ფიგურაში მითითებულია წერტილოვანი ხაზით. სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შედგება ორი რადიუსისგან: ბ / 4 + გვ... ერთი ფეხი არის რადიუსი ბ / 4, სხვა ბ / 2-გვ... პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ: (b / 4 + p) 2 = (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2... შემდეგი, ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და მივიღებთ b 2/16 + bp/2 + p 2 = b 2/16 + b 2/4-bp + p 2... ჩვენ ვაქცევთ ამ გამოთქმას bp / 2 = b 2 /4-bp... შემდეგ გაყავით ყველა პირობა ბ, ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს მისაღებად 3/2 * p = b / 4... და ბოლოს ჩვენ ვიპოვით ამას p = b / 6- რაც ჩვენ გვჭირდებოდა.
თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რაფტერის სიგრძე გეილის სახურავისთვის. განსაზღვრეთ რამდენად მაღალია მობილური კოშკი იმისთვის, რომ სიგნალმა მიაღწიოს გარკვეულ დასახლებას. და კიდევ სამუდამოდ დადგეს ნაძვის ხე ქალაქის მოედანზე. როგორც ხედავთ, ეს თეორემა ცხოვრობს არა მხოლოდ სახელმძღვანელოების გვერდებზე, არამედ ხშირად სასარგებლოა რეალურ ცხოვრებაში.
რაც შეეხება ლიტერატურას, პითაგორას თეორემა ანტიკურ დროიდან შთააგონებდა მწერლებს და აგრძელებს ამას ჩვენს დროში. მაგალითად, მეცხრამეტე საუკუნის გერმანელი მწერალი ადელბერტ ფონ შამისო იყო შთაგონებული დაწერა სონეტი:
სიმართლის შუქი მალე არ გაქრება,
მაგრამ, ბრწყინავს, ის ძნელად დაიშლება
და, როგორც ათასწლეულების წინ,
არ გამოიწვევს ეჭვს და დავას.
ყველაზე გონიერია, როცა თვალს ეხება
ჭეშმარიტების შუქი, ღმერთების წყალობით;
და ასი ხარი, დაჭრილი, ტყუილი -
საპასუხო საჩუქარი იღბლიანი პითაგორასგან.
მას შემდეგ ხარები სასოწარკვეთილად ღრიალებენ:
სამუდამოდ შეშფოთებულია ხარის ტომის მიერ
აქ ნახსენები მოვლენა.
მათ ეჩვენებათ: დრო ახლოვდება
და ისევ ისინი შეეწირებიან
რაღაც დიდი თეორემა.
(თარგმანი ვიქტორ ტოპოროვის)
მეოცე საუკუნეში, საბჭოთა მწერალმა ევგენი ველტისტოვმა თავის წიგნში "ელექტრონიკის თავგადასავალი" მთელი თავი მიუძღვნა პითაგორას თეორემის მტკიცებულებებს. და კიდევ ნახევარი თავი ორგანზომილებიანი სამყაროს ისტორიის შესახებ, რომელიც შეიძლება არსებობდეს, თუ პითაგორას თეორემა გახდება ფუნდამენტური კანონი და თუნდაც რელიგია ერთი სამყაროსთვის. ბევრად უფრო ადვილი იქნებოდა მასში ცხოვრება, მაგრამ ასევე ბევრად უფრო მოსაწყენი: მაგალითად, იქ არავის ესმის სიტყვების მნიშვნელობა "მრგვალი" და "ფუმფულა".
და წიგნში "ელექტრონიკის თავგადასავალი" ავტორი მათემატიკის მასწავლებლის ტარატარის პირით ამბობს: "მათემატიკაში მთავარია აზროვნების მოძრაობა, ახალი იდეები." ეს არის აზროვნების ეს შემოქმედებითი ფრენა, რომელიც წარმოშობს პითაგორას თეორემას - არა უშედეგოდ, რომ მას აქვს ამდენი განსხვავებული მტკიცებულება. ეს გვეხმარება გავიაროთ ნაცნობი საზღვრები და შევხედოთ ნაცნობ საგნებს ახლებურად.
დასკვნა
ეს სტატია შეიქმნა იმისთვის, რომ მათემატიკაში გადახედოთ სკოლის სასწავლო გეგმას და გაარკვიოთ არა მხოლოდ პითაგორას თეორემის მტკიცებულებები, რომლებიც მოცემულია სახელმძღვანელოებში "გეომეტრია 7-9" (ლ. ს. ათანასიანი, ვ. ნ. რუდენკო) და "გეომეტრია 7 -11 "(AV Pogorelov), არამედ სხვა ცნობისმოყვარე გზები ცნობილი თეორემის დასამტკიცებლად. ასევე იხილეთ მაგალითები იმისა, თუ როგორ შეიძლება პითაგორას თეორემის გამოყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში.
უპირველეს ყოვლისა, ეს ინფორმაცია საშუალებას მოგცემთ მიიღოთ მათემატიკის გაკვეთილების უმაღლესი ქულები - ინფორმაცია ამ თემაზე დამატებითი წყაროებიდან ყოველთვის ძალიან დასაფასებელია.
მეორეც, ჩვენ გვინდოდა დაგეხმაროთ გაეცნოთ რამდენად საინტერესოა მათემატიკა. დარწმუნდით კონკრეტული მაგალითებით, რომ მასში ყოველთვის არის ადგილი შემოქმედებისთვის. ჩვენ ვიმედოვნებთ, რომ პითაგორას თეორემა და ეს სტატია შთააგონებს თქვენს საკუთარ ძიებას და საინტერესო აღმოჩენებს მათემატიკასა და სხვა მეცნიერებებში.
გვითხარით კომენტარებში, თუ თქვენთვის საინტერესო აღმოჩნდა ამ სტატიაში არსებული მტკიცებულება. იყო ეს ინფორმაცია თქვენთვის სასარგებლო სწავლისას? მოგვწერეთ რას ფიქრობთ პითაგორას თეორემაზე და ამ სტატიაზე - ჩვენ სიამოვნებით განვიხილავთ ამ ყველაფერს თქვენთან ერთად.
საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.
