प्रस्तुति - बेबीलोन, रोम, मिस्र में भिन्न - दशमलव भिन्नों की खोज। भिन्न: भिन्नों का इतिहास। साधारण भिन्नों की उत्पत्ति का इतिहास साधारण भिन्नों का लेखन

प्राचीन रोम में अंश। प्राचीन रोम में भिन्नों की एक दिलचस्प प्रणाली थी। यह वजन की इकाई के 12 भागों से विभाजित करने पर आधारित था, जिसे गधा कहा जाता था। गधे के बारहवें भाग को आउंस कहा जाता था। और जिस तरह, समय और अन्य मात्राओं की तुलना एक दृश्य चीज़ - वजन से की गई। उदाहरण के लिए, एक रोमन कह सकता है कि वह सात-औंस पथ पर चला, या पाँच-औंस की किताब पढ़ी। बेशक, यह किसी पथ या किताब को तोलने के बारे में नहीं था। इसका मतलब था कि रास्ते का 7/12 पास हो गया था या किताब का 5/12 पढ़ा जा चुका था। और 12 के हर के साथ अंशों को कम करके या बारहवें हिस्से को छोटे में विभाजित करके प्राप्त अंशों के लिए, विशेष नाम थे।

गणित ग्रेड 6

"घूर्णन शंकु के निकाय" - शंकु। एक समकोण त्रिभुज r का दूसरा चरण शंकु के आधार पर त्रिज्या है। शंकु के जनकों के मिलन को शंकु का जनक (या पार्श्व) पृष्ठ कहा जाता है। शीर्ष और आधार सीमा को जोड़ने वाले खंड को शंकु का जनक कहते हैं। स्कैन। शंकु की पार्श्व सतह के स्वीप में सेक्टर का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:? = 360 ° (आर / एल)। शंकु की निर्माण सतह एक शंक्वाकार सतह है।

"गणितीय मस्तिष्क-अंगूठी" - जूरी की पसंद। परीक्षा। इंजेक्शन। त्रिकोण और वर्ग। प्रतिशत। गणित की अवधारणाओं के साथ आओ। शंकु। कितनी कटौती की गई है। त्रुटियाँ। बुलाना। गंभीर विषय। टीम। अंश। कप्तानों की प्रतियोगिता। जो एक किलो कील या रूई से भारी हो। अनाग्राम। टूर्नामेंट टेबल। जोश में आना। पांच मिनट। विपर्यय। सेंटीमीटर। आदेशों का प्रतिनिधित्व। एक संख्या जो न तो अभाज्य है और न ही यौगिक। सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या।

"एक विमान पर समानांतर रेखाएं" - पप्प (तृतीय शताब्दी ईस्वी)। आधुनिक परिभाषा। (यूक्लिड)। समानांतर रेखाओं की अलग-अलग परिभाषाएँ... जीवन में हम अक्सर समानतावाद की अवधारणा से रूबरू होते हैं। "दो सीधी रेखाएं एक ही तल में पड़ी हैं और एक दूसरे से समान दूरी पर हैं।" ट्रेन दुर्घटना। शॉर्ट सर्किट, बिजली नहीं। सीधी रेखाओं की समानता के इतिहास से। डब्ल्यू आउटरीड (1575-1660)। शुरुआत। यूक्लिड (आठवीं शताब्दी ईसा पूर्व में)। पार्थेनन (प्राचीन ग्रीस, 447-438 ईसा पूर्व) के स्तंभ भी समानांतर हैं।

"मात्राओं के मापन की इकाइयाँ" - माप की इकाइयाँ। समय इकाइयाँ। समय की इकाइयों के अनुपात के लिए कार्य। लंबाई की इकाइयों के लिए समस्याएं। रूस में किस सदी में दास प्रथा को समाप्त कर दिया गया था? बौने बंदर के शरीर की लंबाई। लंबाई इकाइयाँ। क्षेत्र इकाइयां। वॉल्यूम इकाइयां। मछलीघर के आयाम।

"आंकड़ों के क्षेत्र पर समस्याएं" - एस और पी खोजने के लिए एक शाब्दिक अभिव्यक्ति। आंकड़ों के क्षेत्र और परिधि के लिए सूत्र लिखें। आयताकार समानांतर चतुर्भुज। बगीचे का भूखंड एक हेज से घिरा हुआ है। हमने 39 मीटर कालीन खरीदा। संपूर्ण आकृति का S और P ज्ञात कीजिए। चौकोर और आयत। आवासीय भवन के निर्माण के लिए भूमि का एक भूखंड आवंटित किया गया है। भरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सेनेटोरियम के क्षेत्र में एक स्विमिंग पूल है। पैरेललेपाइप्ड। बच्चों के कमरे में फर्श को कालीन से अछूता होना चाहिए।

"गणित में संबंध" - या पहली संख्या दूसरे से कितनी है। जोश में आना। दो संख्याओं का अनुपात क्या दर्शाता है? मैत्रीपूर्ण संबंध। पहली संख्या दूसरी से कितनी गुना बड़ी है। रवैया क्या दिखाता है? शिक्षक अपने छात्रों के साथ सख्त है। दूसरी से पहली संख्या कितनी है। लंबाई अनुपात। पारिवारिक रिश्ते। जनता का अनुपात। उत्तर को दशमलव भिन्न या प्रतिशत के रूप में भी लिखा जा सकता है। 5 मीटर लंबे कपड़े के टुकड़े में से 2 मीटर काटा गया कपड़े के टुकड़े का कितना हिस्सा काटा गया?

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* * http://aida.ucoz.ru कविता के विज्ञान से होरेस "अल्बिन का बेटा! मुझे बताओ: अगर हम, पांच औंस लेते हुए, एक घटाते हैं, तो क्या बचा है?" - "गधे का तीसरा भाग"। "आश्चर्यजनक! खैर, आप अपनी संपत्ति बर्बाद नहीं करेंगे! और अगर हम पिछले पांच में एक जोड़ दें, तो सब क्या होगा?" - "आधा"। (एम। दिमित्रीव द्वारा अनुवादित।) Http://aida.ucoz.ru

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* http://aida.ucoz.ru * युवा रोमन सही थे! इस समस्या को हल करते हुए, हमें यह भी मिला: 5 / 12-1 / 12 = 1/3; 5/12 + 1/12 = 1/2। http://aida.ucoz.ru

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* http://aida.ucoz.ru "स्क्रूपुलसली" समानार्थक शब्द: सटीक, सूक्ष्म, संपूर्ण, साफ-सुथरा, कर्तव्यनिष्ठ, गहना, समय का पाबंद, पांडित्य, फिलाग्री, निरंतर। और यह अजीब शब्द "स्क्रूपुलस" रोमन नाम 1/288 ass - "scrupulus" से आया है। http://aida.ucoz.ru

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* http://aida.ucoz.ru * निम्नलिखित नामों का भी इस्तेमाल किया गया: "सेमिस" - आधा गधा, "सेक्सटैन" - इसका छठा हिस्सा, "सेमी-औंस" - आधा औंस, यानी 1/ 24 गधा, आदि। डी। भिन्नों के लिए कुल 18 विभिन्न नामों का प्रयोग किया गया। भिन्नों के साथ काम करने के लिए, आपको जोड़ तालिका और गुणन तालिका याद रखनी होगी। इसलिए, रोमन व्यापारियों को निश्चित रूप से पता था कि जब ट्रिएन्स (1 / 3ass) और सेक्स्टन्स को जोड़ते हैं, तो सेवन्स प्राप्त होते हैं, और जब डेविल (2/3 गधा) को सेस्कंट्स (2/3 औंस, यानी 1/8 गधा) से गुणा करते हैं। , एक औंस प्राप्त होता है। काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष टेबल तैयार किए गए थे, जिनमें से कुछ हमारे पास आ गए हैं। http://aida.ucoz.ru

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जीत के बाद, गयुस जूलियस सीजर ने अपने मोहरा को पुरस्कृत करने का फैसला किया और उन्हें पहले 24 औंस और फिर 36 औंस आवंटित किया। टुकड़ी को कितने इक्के मिले? समाधान: 24 औंस 2 गधे हैं, और 36 औंस 3 गधे हैं, 3 + 2 = 5 गधे दस्ते द्वारा प्राप्त किए गए हैं। उत्तर: 5 गधे। मिशा इवानोव की समस्या

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एंजेलीना ग्लिबिना का कार्य प्राचीन रोम में, युद्ध में ताकत और साहस दिखाने वाले सैनिकों को सम्मानजनक रूप से सम्मानित किया जाता था। 6 योद्धाओं को पुरस्कृत करने पर कितने इक्के खर्च किए गए, यदि प्रत्येक को 2 इक्के और 6 औंस दिए गए। समाधान: हम 6 को 2 गधों से गुणा करते हैं, हमें 12 गधे मिलते हैं - यह केवल 6 योद्धाओं द्वारा दिया जाता है, फिर हम 6 से 6 गुणा करते हैं, हमें 36 औंस मिलते हैं, और एक गधे में - 12 औंस, हमें 3 गधे मिलते हैं, इसमें 3 जोड़ते हैं 12, हमें 15 गधे मिलते हैं ... उत्तर: 15 गधा।

3.1.1. अंशों की उत्पत्ति के बारे में।

भिन्नात्मक संख्याओं की आवश्यकता मानव अभ्यास के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुई। शिकार के बाद शिकार को विभाजित करते समय हमारे पूर्वजों में एक इकाई के शेयरों को खोजने की आवश्यकता दिखाई दी। भिन्नात्मक संख्याओं के प्रकट होने का दूसरा महत्वपूर्ण कारण माप की चयनित इकाई का उपयोग करके मात्राओं का मापन माना जाना चाहिए।

इस प्रकार अंश उत्पन्न हुए।

भिन्नात्मक संख्या के विकास के इतिहास में, हम तीन प्रकार के भिन्न पाते हैं:

1) भिन्न या इकाई अंश, जिनमें अंश एक है, हर कोई पूर्णांक हो सकता है;

2) व्यवस्थित भिन्न, जिसमें अंश कोई भी संख्या हो सकते हैं, जबकि हर किसी विशेष प्रकार की संख्याएँ होती हैं, उदाहरण के लिए, दस या साठ की घातें;

3) सामान्य भिन्न, जिसमें अंश और हर कोई संख्या हो सकते हैं।

इन तीन अलग-अलग प्रकार के भिन्नों के आविष्कार ने मानवता के लिए कठिनाई के विभिन्न अंश प्रस्तुत किए, इसलिए भिन्न-भिन्न युगों में भिन्न-भिन्न प्रकार के अंश दिखाई दिए।

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ मानव का परिचय छोटे हर वाले एकल भिन्नों से हुआ।

अवधारणाएं "आधा", "तीसरा", "तिमाही", "ऑक्टोपस" अक्सर उन लोगों द्वारा उपयोग की जाती हैं जिन्होंने कभी भी भिन्नात्मक संख्याओं का अंकगणित नहीं सीखा है। इन साधारण अंशों का आविष्कार प्रत्येक राष्ट्र ने अपने विकास के दौरान स्वतंत्र रूप से किया था।

लोगों को मिलने वाला पहला अंश आधा था। यद्यपि निम्नलिखित सभी अंशों के नाम उनके हर के नाम से जुड़े हुए हैं (तीन - "तीसरा", चार - "चौथाई", आदि), आधे के लिए यह नहीं है - सभी भाषाओं में इसके नाम का कोई लेना-देना नहीं है "दो" शब्द के साथ। अगला अंश एक तिहाई था।

इस प्रकार, पहला भिन्न जो इतिहास से हमारा परिचय कराता है, वे इस रूप के भिन्न हैं - - तथाकथित एकल भिन्न या विभाज्य (लैटिन विभाज्य से - "कई")।

एकल अंश सबसे पुराने गणितीय ग्रंथों में पाए जाते हैं जो हमारे पास आए हैं, जो 5,000 साल से भी पहले संकलित हैं - प्राचीन मिस्र के पपीरी और बेबीलोनियन क्यूनिफॉर्म टैबलेट।

प्राचीन काल में, भारत में सामान्य अंश अपने सबसे बड़े विकास तक पहुँचे। चौथी शताब्दी ईसा पूर्व की पांडुलिपियों में, न केवल एकल अंश, बल्कि मनमाने अंश वाले अंश भी पाए जाते हैं। 7वीं शताब्दी की शुरुआत में, भारतीय सामान्य भिन्नों पर कार्रवाई के लिए नियमों को जानते और तैयार करते थे। पश्चिमी यूरोप में साधारण भिन्नों का निश्चित रूप से स्थापित और स्पष्ट सिद्धांत 1585 में फ्लेमिश इंजीनियर साइमन स्टीविन द्वारा दिया गया था।

3.1.2. प्राचीन मिस्र में अंश।

प्राचीन मिस्र में, वास्तुकला विकास के उच्च स्तर पर पहुंच गई। भव्य पिरामिडों और मंदिरों के निर्माण के लिए, आकृतियों की लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने के लिए, अंकगणित जानना आवश्यक था। पपीरी पर गूढ़ जानकारी से, वैज्ञानिकों ने सीखा कि 4,000 साल पहले मिस्रवासियों के पास एक दशमलव (लेकिन स्थितीय नहीं) संख्या प्रणाली थी, जो निर्माण, व्यापार और सैन्य मामलों की जरूरतों से संबंधित कई समस्याओं को हल करने में सक्षम थे। कई शताब्दियों तक, मिस्रवासी भिन्नों को "टूटी हुई संख्या" कहते थे, और उन्हें मिलने वाला पहला अंश 1/2 था। इसके बाद 1/4, 1/8, 1/16, ..., फिर 1/3, 1/6, ..., यानी। सरलतम अंशों को इकाइयाँ कहा जाता है। इनका अंश सदैव एक होता है।

मिस्रवासियों ने सभी भिन्नों को इकाई भिन्नों (अंश) के योग के रूप में लिखने का प्रयास किया। उदाहरण के लिए, उन्होंने इसके बजाय लिखा। अंश को भिन्न के रूप में दर्ज किया गया था:। संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ करना बहुत असुविधाजनक है, हर बार उन्हें इकाई अंशों के योग में विस्तारित करना। क्या मिस्र में अलगाववादियों की लत का कोई स्पष्टीकरण है?

आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं। निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: "7 रोटियों को 8 लोगों के बीच बाँटें।"

यहां बताया गया है कि रिंडा पेपिरस पर समस्या का समाधान कैसे किया जाता है - 1650 ईसा पूर्व के आसपास फिर से लिखा गया एक प्राचीन मिस्र का गणितीय पाठ। लेखक अहम्स द्वारा।

जहां तक ​​कि । इसलिए प्रत्येक व्यक्ति को आधी, सवा आठवीं रोटी देनी चाहिए। अब यह स्पष्ट है कि आपको 4 रोटियों को आधा, 2 रोटियों को 4 भागों में और केवल एक पाव को 8 भागों में काटने की आवश्यकता है।

इकाइयों के योग में गैर-इकाई अंशों के अपघटन के लिए, तैयार टेबल थे, जिनका उपयोग मिस्र के लेखकों द्वारा आवश्यक गणना के लिए किया जाता था।

यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक सकारात्मक परिमेय संख्या को मिस्र के अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार के योग का उपयोग गणितज्ञों द्वारा प्राचीन मिस्र के समय से लेकर मध्य युग तक भिन्नों की परिभाषा के रूप में किया गया है। आधुनिक गणित में, मिस्र के अंशों के बजाय सरल और दशमलव अंशों का उपयोग किया जाता है, लेकिन मिस्र के अंशों का अध्ययन संख्या सिद्धांत और प्राचीन गणित के इतिहास में जारी है।

3.1.3. प्राचीन रोम में अंश।

प्राचीन रोम में भिन्नों की एक दिलचस्प प्रणाली थी। रोमनों ने मुख्य रूप से केवल ठोस अंशों का उपयोग किया, जो अमूर्त भागों को उपयोग किए गए उपायों के उपखंडों के साथ बदल दिया। भिन्नों की यह प्रणाली वजन की इकाई के 12 भागों द्वारा विभाजन पर आधारित थी, जिसे गधा कहा जाता था। इस प्रकार रोमन डुओडेसिमल अंश उत्पन्न हुए, अर्थात्। भिन्न जिनका हर हमेशा बारह होता था। गधे के बारहवें भाग को आउंस कहा जाता था। और जिस तरह, समय और अन्य मूल्यों की तुलना एक दृश्य चीज़ - वजन से की गई। उदाहरण के लिए, एक रोमन कह सकता है कि वह सात-औंस पथ पर चला, या पाँच-औंस की किताब पढ़ी। इस मामले में, निश्चित रूप से, यह किसी पथ या पुस्तक को तोलने के बारे में नहीं था। इसका मतलब था कि रास्ते का 7/12 पास हो गया था या किताब का 5/12 पढ़ा जा चुका था। और 12 के हर के साथ अंशों को कम करके या बारहवें हिस्से को छोटे में विभाजित करके प्राप्त अंशों के लिए, विशेष नाम थे।

अब भी, वे कभी-कभी कहते हैं: "उन्होंने इस मुद्दे का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया।" इसका मतलब है कि इस मुद्दे का अंत तक अध्ययन किया गया है, कि एक भी छोटी सी अस्पष्टता नहीं रह गई है। और रोमन नाम 1/288 ass - "scrupulus" से एक अजीब शब्द "स्क्रूपुलस" है। निम्नलिखित नाम भी प्रयोग में थे: "सेमिस" - गधे का आधा, "सेक्स्टन्स" - इसका छठा हिस्सा, "सेमी-औंस" - आधा औंस, यानी। 1/24 गधा, आदि। भिन्नों के लिए कुल 18 विभिन्न नामों का प्रयोग किया गया। भिन्नों के साथ कार्य करने के लिए, किसी को इन भिन्नों के लिए योग तालिका और गुणन तालिका याद रखनी पड़ती है। इसलिए, रोमन व्यापारियों को दृढ़ता से पता था कि जब ट्रिएन्स (1/3 गधा) और सेक्स्टन जोड़ते हैं, तो सात प्राप्त होते हैं, और जब सेस्कंट्स (2/3 औंस, यानी 1/8 गधा) से छोटा सा भूत (2/3 गधा) गुणा करते हैं, तो ए औंस प्राप्त होता है। ... काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष टेबल तैयार किए गए थे, जिनमें से कुछ हमारे पास आ गए हैं।

पहली शताब्दी ईसा पूर्व में, उत्कृष्ट रोमन वक्ता और लेखक सिसरो ने कहा: "भिन्न के ज्ञान के बिना, किसी को भी अंकगणित जानने के रूप में पहचाना नहीं जा सकता है!"।

पहली शताब्दी ईसा पूर्व के प्रसिद्ध रोमन कवि होरेस के काम से निम्नलिखित अंश उस युग के रोमन स्कूलों में से एक में एक शिक्षक और एक छात्र के बीच बातचीत के बारे में विशेषता है:

शिक्षक: अल्बिन के बेटे को कहने दो कि पांच औंस में से एक औंस घटाने पर कितना शेष रहेगा!

शिष्य: एक तिहाई।

शिक्षक: यह सही है, आप भिन्नों को अच्छी तरह जानते हैं और अपनी संपत्ति को बचाने में सक्षम होंगे।

अब "गधा" एक फार्मास्युटिकल पाउंड है।

3.1.4. बेबीलोनियन सेक्सजेसिमल अंश।

Sexagesimal प्रणाली की उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है। शायद यह डुओडेसिमल संख्या प्रणाली (60 = 5 × 12, जहां 5 हाथ पर उंगलियों की संख्या है) से जुड़ा हुआ है। ओ। नेउगेबॉयर की एक परिकल्पना भी है कि लंबे समय तक सुमेरियन राज्य की अक्कादियन विजय के बाद एक साथ दो मौद्रिक इकाइयाँ मौजूद थीं: शेकेल (शेकेल) और मेरा, और उनका अनुपात स्थापित किया गया था: 1 खदान = 60 शेकेल। बाद में, यह विभाजन प्रथागत हो गया और किसी भी संख्या को रिकॉर्ड करने के लिए इसी प्रणाली को जन्म दिया।

मेसोपोटामिया के दक्षिणी भाग में प्राचीन शहरों के खंडहरों के बीच बीसवीं शताब्दी में की गई खुदाई से बड़ी संख्या में कीलाकार गणितीय गोलियों का पता चला। वैज्ञानिकों ने इनका अध्ययन करते हुए पाया कि 2000 ई.पू. इ। बेबीलोनियों के बीच, गणित विकास के उच्च स्तर पर पहुंच गया है।

बेबीलोनियाई लोगों की लिखित छ: अंकीय संख्या दो प्रतीकों से जुड़ी हुई थी: ऊर्ध्वाधर पच्चर ▼, जो एक को दर्शाता है, और पारंपरिक चिन्ह ◄, दस को दर्शाता है।

बेबीलोनियाई क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में पहली बार स्थितीय संख्या प्रणाली का सामना करना पड़ा है। ऊर्ध्वाधर पच्चर न केवल 1 को दर्शाता है, बल्कि 60, 602, 603, आदि को भी दर्शाता है। सबसे पहले, बेबीलोनियाई लोगों के पास स्थितीय सेक्सजेसिमल प्रणाली में शून्य के लिए कोई संकेत नहीं था। बाद में, अंकों को एक दूसरे से अलग करने के लिए, आधुनिक शून्य की जगह èè चिन्ह पेश किया गया।

जैसा कि वैज्ञानिकों का मानना ​​है, बेबीलोनियाई लोगों के बीच सिक्सेजिमल संख्या प्रणाली की उत्पत्ति इस तथ्य से जुड़ी हुई है कि ऐतिहासिक परिस्थितियों के कारण, माप की बेबीलोनियाई मौद्रिक और वजन इकाइयों को 60 बराबर भागों में विभाजित किया गया था: 1 प्रतिभा = 60 मिनट; 1 मेरा = 60 शेकेल। बेबीलोन के जीवन में साठ का दशक आम था। यही कारण है कि उन्होंने छ: अंकीय भिन्नों का उपयोग किया, जिनमें हमेशा संख्या 60 होती है या हर के रूप में इसकी शक्तियाँ होती हैं: 602 = 3600, 603 = 216000, आदि। इस संबंध में, सेक्सजेसिमल अंशों की तुलना हमारे दशमलव अंशों से की जा सकती है। बेबीलोन के गणित ने यूनानी गणित को प्रभावित किया। समय और कोणों को मापते समय आधुनिक विज्ञान में बेबीलोनियाई सेक्सजेसिमल संख्या प्रणाली के निशान बने रहे। घंटे को 60 मिनट से, मिनट को 60 सेकंड से, एक वृत्त को 360 डिग्री से, डिग्री को 60 मिनट से, मिनट को 60 सेकंड से विभाजित किया जा सकता है। बेबीलोनियों ने खगोल विज्ञान के विकास में बहुमूल्य योगदान दिया। 17वीं शताब्दी तक सभी देशों के वैज्ञानिकों ने खगोल विज्ञान में छ: दशमलव अंशों का प्रयोग किया, उन्हें खगोलीय अंश कहा। इसके विपरीत, हम जिन सामान्य भिन्नों का उपयोग करते हैं, उन्हें साधारण कहा जाता है।

3.1.5. प्राचीन ग्रीस में नंबरिंग और अंश।

छठी शताब्दी ईसा पूर्व तक। इ। ग्रीक गणित कुछ भी उत्कृष्ट के लिए प्रसिद्ध नहीं था। हमेशा की तरह, गिनती और माप में महारत हासिल थी। ग्रीक नंबरिंग (संख्याओं का अंकन), बाद में रोमन की तरह, योगात्मक था, अर्थात संख्याओं के संख्यात्मक मान जोड़े गए थे। इसके पहले संस्करण (अटारी, या हेरोडियन) में 1, 5, 10, 50, 100 और 1000 के लिए अक्षर चिह्न थे। तदनुसार, कंकड़ के साथ एक गिनती बोर्ड (अबेकस) की व्यवस्था की गई थी। वैसे, गणना (गणना) शब्द कलन से आया है - एक कंकड़। छिद्रों के साथ एक विशेष कंकड़ शून्य को दर्शाता है।

बाद में, अटारी नंबरिंग के बजाय, वर्णमाला क्रमांकन को अपनाया गया - ग्रीक वर्णमाला के पहले 9 अक्षरों में 1 से 9 तक की संख्याएँ, अगले 9 अक्षर - दहाई, बाकी - सैकड़ों। संख्याओं और अक्षरों को भ्रमित न करने के लिए, संख्याओं पर एक डैश खींचा गया था। एक विशेष स्ट्रोक (नीचे बाएं) के साथ अतिरिक्त अंकों को चिह्नित करते हुए, 1000 से अधिक की संख्या को स्थितिगत रूप से दर्ज किया गया था। विशेष चिह्नों ने 10,000 से बड़ी संख्याओं को चित्रित करना संभव बना दिया।

छठी शताब्दी ईसा पूर्व में। इ। "ग्रीक चमत्कार" शुरू होता है: दो वैज्ञानिक स्कूल एक ही बार में दिखाई देते हैं - आयनियन (थेल्स ऑफ़ मिलेटस, एनाक्सिमेन्स, एनाक्सिमेंडर) और पाइथागोरस। हम प्रारंभिक ग्रीक गणितज्ञों की उपलब्धियों के बारे में मुख्य रूप से बाद के लेखकों, मुख्य रूप से यूक्लिड, प्लेटो और अरस्तू की टिप्पणियों से जानते हैं।

थेल्स, एक धनी व्यापारी, ने जाहिर तौर पर अपनी व्यापारिक यात्राओं के दौरान बेबीलोन के गणित और खगोल विज्ञान को अच्छी तरह से सीखा। आयनियों ने ज्यामितीय प्रमेयों के प्रथम प्रमाण दिए।

हालाँकि, प्राचीन गणित के निर्माण में मुख्य भूमिका पाइथागोरस की है।

प्राचीन ग्रीस में, अंकगणित - संख्याओं के सामान्य गुणों का अध्ययन - रसद से अलग किया गया था - कलन की कला। यूनानियों का मानना ​​​​था कि अंशों का उपयोग केवल रसद में किया जा सकता है। यहां, पहली बार, हम एम / एन के रूप के एक अंश की सामान्य अवधारणा से मिलते हैं। इस प्रकार, हम यह मान सकते हैं कि पहली बार प्राकृतिक संख्याओं का क्षेत्र प्राचीन ग्रीस में अतिरिक्त परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में विस्तारित हुआ, जो कि 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद का नहीं था। इ। यूनानियों ने सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को भिन्नों के साथ स्वतंत्र रूप से संचालित किया, लेकिन उन्होंने उन्हें संख्याओं के रूप में नहीं पहचाना।

यूनानियों ने एकवचन, "मिस्र के" अंशों और सामान्य साधारण अंशों के साथ प्रयोग किया। विभिन्न प्रविष्टियों में, निम्नलिखित का भी उपयोग किया गया था: सबसे ऊपर हर है, इसके नीचे भिन्न का अंश है।

भिन्नों की उत्पत्ति का इतिहास

परिचय

भिन्नात्मक संख्याओं की आवश्यकता मनुष्यों में विकास के प्रारंभिक चरण में ही उत्पन्न हो गई थी। पहले से ही शिकार का विभाजन, जिसमें कई मारे गए जानवर शामिल थे, शिकार में भाग लेने वालों के बीच, जब जानवरों की संख्या शिकारियों की संख्या से अधिक नहीं थी, तो आदिम आदमी को भिन्नात्मक संख्या की अवधारणा की ओर ले जा सकता था।

वस्तुओं को गिनने की आवश्यकता के साथ-साथ प्राचीन काल के लोगों को लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन, समय और अन्य मात्राओं को मापने की आवश्यकता होती है। माप का परिणाम हमेशा प्राकृतिक संख्याओं में व्यक्त करना संभव नहीं होता है, और उपयोग किए गए माप के कुछ हिस्सों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। ऐतिहासिक रूप से, माप प्रक्रिया में भिन्न उत्पन्न हुए हैं।

अधिक सटीक माप की आवश्यकता ने इस तथ्य को जन्म दिया कि माप की प्रारंभिक इकाइयों को 2, 3 या अधिक भागों में विभाजित किया जाने लगा। माप की छोटी इकाई, जिसे विखंडन के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया था, को एक व्यक्तिगत नाम दिया गया था, और मूल्यों को इस छोटी इकाई द्वारा मापा गया था।

प्राचीन रोम में अंश

रोमनों के पास द्रव्यमान के माप की मुख्य इकाई है, और "गधा" भी एक मौद्रिक इकाई के रूप में कार्य करता है। गधे को 12 बराबर भागों में बांटा गया था - औंस। इनमें से, सभी भिन्नों को हर 12, यानी 1/12, 2/12, 3/12 ... के साथ जोड़ा गया था ... समय के साथ, औंस का उपयोग किसी भी मान को मापने के लिए किया जाने लगा।

इस तरह रोमन ग्रहणी अंश, अर्थात्, भिन्न जिनमें हर हमेशा संख्या होता है 12 ... 1/12 के बजाय, रोमियों ने कहा "एक औंस", 5/12 "पांच औंस," और इसी तरह। तीन औंस को एक चौथाई कहा जाता था, चार औंस को एक तिहाई कहा जाता था, छह औंस को आधा कहा जाता था।

उपयोग में केवल 18 भिन्न भिन्न थे:

सिमिस - आधा गधा;

SEXTANCE - इसका छठा हिस्सा;

सत्र - आठवां;

TRIENS - गधे का एक तिहाई;

बीईएस - दो तिहाई;

OZZION - गधे का बारहवां;

SEMIUNE - आधा औंस।

प्राचीन मिस्र में अंश

कई शताब्दियों तक, मिस्रवासी भिन्नों को "टूटी हुई संख्या" कहते थे, और उन्हें मिलने वाला पहला अंश 1/2 था। इसके बाद 1/4, 1/8, 1/16, ..., फिर 1/3, 1/6, ..., यानी। सबसे सरल भिन्न जिन्हें इकाइयाँ या . कहा जाता है मूल भिन्न... इनका अंश सदैव एक होता है। केवल बहुत बाद में यूनानियों के बीच, फिर भारतीयों और अन्य लोगों के बीच, एक सामान्य रूप के अंश, जिन्हें सामान्य कहा जाता है, जिसमें अंश और हर कोई भी प्राकृतिक संख्या हो सकती है, उपयोग में आने लगे।

प्राचीन मिस्र में, वास्तुकला विकास के उच्च स्तर पर पहुंच गई। भव्य पिरामिडों और मंदिरों के निर्माण के लिए, आकृतियों की लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने के लिए, अंकगणित जानना आवश्यक था।

पपीरी पर गूढ़ जानकारी से, वैज्ञानिकों को पता चला कि 4,000 साल पहले मिस्रवासियों के पास एक दशमलव (लेकिन स्थितीय नहीं) संख्या प्रणाली थी, जो निर्माण, व्यापार और सैन्य मामलों की जरूरतों से संबंधित कई समस्याओं को हल करने में सक्षम थे।

मिस्र के अंशों के लिए सबसे पहले ज्ञात संदर्भों में से एक रिंडा गणितीय पेपिरस है। तीन पुराने ग्रंथ जो मिस्र के अंशों का उल्लेख करते हैं, वे हैं मिस्र के गणितीय चमड़ा स्क्रॉल, मॉस्को गणितीय पेपिरस और अहमिम की लकड़ी की गोली। रिंडा पेपिरस में फॉर्म 2 / की तर्कसंगत संख्याओं के लिए मिस्र के अंशों की एक तालिका शामिल है। एन, साथ ही 84 गणितीय समस्याएं, उनके समाधान और उत्तर, मिस्र के अंशों के रूप में लिखे गए हैं।

मिस्रवासियों ने चित्रलिपि लगाई ( ईपी, "[एक] का" or पुनःएक सामान्य अंकन में एक अंश को निरूपित करने के लिए एक संख्या से अधिक, और पवित्र ग्रंथों में एक पंक्ति का उपयोग किया गया था। उदाहरण के लिए:

उनके पास 1/2, 2/3, और 3/4 के लिए विशेष प्रतीक भी थे, जिनका उपयोग अन्य भिन्नों (1/2 से अधिक) को लिखने के लिए भी किया जा सकता था।

उन्होंने शेष अंशों को शेयरों के योग के रूप में लिखा। उन्होंने अंश को रूप में दर्ज किया
, लेकिन "+" चिह्न इंगित नहीं किया गया था। और राशि
के रूप में दर्ज ... नतीजतन, मिश्रित संख्याओं का यह संकेतन ("+" चिह्न के बिना) तब से संरक्षित है।

बेबीलोनियन सेक्सजेसिमल अंश

लगभग तीन हजार वर्ष ईसा पूर्व प्राचीन बाबुल के निवासियों ने हमारे मीट्रिक के समान उपायों की एक प्रणाली बनाई, केवल यह संख्या 10 पर नहीं, बल्कि 60 की संख्या पर आधारित थी, जिसमें माप की छोटी इकाई थी उच्च इकाई का हिस्सा। समय और कोणों को मापने के लिए इस प्रणाली को बेबीलोनियों द्वारा पूरी तरह से बनाए रखा गया था, और हमें उनसे घंटे और डिग्री का विभाजन 60 मिनट, और मिनट 60 सेकंड में विरासत में मिला था।

शोधकर्ता बेबीलोनियाई लोगों के बीच छ: अंकीय संख्या प्रणाली की उपस्थिति की अलग-अलग व्याख्या करते हैं। सबसे अधिक संभावना है, आधार 60 को ध्यान में रखा गया था, जो 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60 का गुणक है, जो किसी भी गणना को बहुत सुविधाजनक बनाता है।

बेबीलोन के जीवन में साठ का दशक आम था। यही कारण है कि उन्होंने इस्तेमाल किया साठवाँ दशकभाजक के साथ अंश हमेशा संख्या 60 या उसकी शक्तियाँ: 60 2, 60 3, आदि। इस संबंध में, सेक्सजेसिमल अंशों की तुलना हमारे दशमलव अंशों से की जा सकती है।

बेबीलोन के गणित ने यूनानी गणित को प्रभावित किया। समय और कोणों को मापते समय आधुनिक विज्ञान में बेबीलोनियाई सेक्सजेसिमल संख्या प्रणाली के निशान बने रहे। घंटे को 60 मिनट से, मिनट को 60 सेकंड से, एक वृत्त को 360 डिग्री से, डिग्री को 60 मिनट से, मिनट को 60 सेकंड से विभाजित किया जा सकता है।

बेबीलोनियों ने खगोल विज्ञान के विकास में बहुमूल्य योगदान दिया। सभी देशों के वैज्ञानिकों ने 17वीं शताब्दी तक खगोल विज्ञान में छ: दशमलव अंशों का प्रयोग किया, उन्हें बुलाया खगोलीयभिन्न इसके विपरीत, हम जिन सामान्य भिन्नों का उपयोग करते हैं उन्हें नाम दिया गया था साधारण।

प्राचीन ग्रीस में नंबरिंग और भिन्न

चूंकि यूनानियों ने सामान्य अंशों के साथ केवल छिटपुट रूप से काम किया, इसलिए उन्होंने विभिन्न पदनामों का उपयोग किया। प्राचीन यूनानी गणितज्ञों में सबसे प्रसिद्ध गणितज्ञ हेरॉन और डायोफैंटस ने हर के नीचे अंश के साथ, वर्णानुक्रम में अंशों को लिखा। लेकिन सिद्धांत रूप में, एकल अंश या साठ-दशमलव अंश वाले अंशों को वरीयता दी गई थी।

दशमलव अंकन में हेक्साडेसिमल अंशों के उपयोग सहित भिन्नात्मक संख्याओं के लिए ग्रीक संकेतन की कमियां, मूल सिद्धांतों की खामियों के कारण किसी भी तरह से नहीं थीं। ग्रीक संख्या प्रणाली के नुकसान को कठोरता के लिए उनकी जिद्दी इच्छा के बजाय जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, जिसने असमान मात्रा के अनुपात के विश्लेषण से जुड़ी कठिनाइयों में काफी वृद्धि की है। यूनानियों ने "संख्या" शब्द को इकाइयों के एक समूह के रूप में समझा, इसलिए जिसे अब हम एक परिमेय संख्या के रूप में मानते हैं - एक अंश - यूनानियों ने दो पूर्ण संख्याओं के अनुपात के रूप में समझा। यह बताता है कि ग्रीक अंकगणित में साधारण अंश दुर्लभ क्यों थे।

रूस में अंश

17 वीं शताब्दी के रूसी हस्तलिखित अंकगणित में, भिन्नों को भिन्न कहा जाता था, बाद में "टूटी हुई संख्या"। पुराने नियमावली में हमें रूस में भिन्नों के निम्नलिखित नाम मिलते हैं:

1/2 - आधा, आधा

1/3 - तीसरा

1/4 - विषम

1/6 - आधा तिहाई

1/8 - आधा

1/12 - आधा आधा

1/16 - आधा आधा

1/24 - आधा आधा आधा तिहाई (छोटा तिहाई)

1/32 - आधा आधा आधा (मामूली)

1/5 - प्यतिना

1/7 - सप्ताह

1/10 - दशमांश

16 वीं शताब्दी तक रूस में स्लाव नंबरिंग का उपयोग किया जाता था, फिर दशमलव स्थितीय संख्या प्रणाली धीरे-धीरे देश में प्रवेश करने लगी। उसने अंत में पीटर I के तहत स्लाव नंबरिंग की जगह ले ली।

पुरातनता के अन्य राज्यों में अंश

चीनी "मैथमैटिक्स इन नाइन सेक्शन" में पहले से ही भिन्नों को रद्द करना और भिन्नों के साथ सभी क्रियाएं हैं।

भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त में, हम भिन्नों की एक काफी विकसित प्रणाली पाते हैं। उसके पास भिन्न भिन्न हैं: किसी भी अंश के साथ मूल और व्युत्पन्न दोनों। अंश और हर उसी तरह लिखे जाते हैं जैसे अभी हमारे पास हैं, लेकिन बिना किसी क्षैतिज रेखा के, लेकिन बस एक को दूसरे के ऊपर रखा गया है।

अरबों ने सबसे पहले भाजक को भाजक से अलग करना शुरू किया।

पीसा के लियोनार्डो पहले से ही भिन्न लिखते हैं, एक मिश्रित संख्या के मामले में, पूरी संख्या को दाईं ओर रखते हैं, लेकिन वह इसे वैसे ही पढ़ता है जैसे हम करते हैं। जॉर्डन नेमोरियम (XIII सदी) अंश से अंश और हर द्वारा भाजक को विभाजित करके अंशों का विभाजन करता है, विभाजन की तुलना गुणन से करता है। ऐसा करने के लिए, आपको पहले अंश की शर्तों को कारकों के साथ पूरक करना होगा:

15वीं - 16वीं शताब्दी में, भिन्नों का सिद्धांत एक ऐसा रूप धारण कर लेता है जो पहले से ही हमारे लिए परिचित है और लगभग उन्हीं खंडों में आकार लेता है जो हमारी पाठ्यपुस्तकों में पाए जाते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नों पर अंकगणित का खंड लंबे समय से सबसे कठिन में से एक रहा है। यह कुछ भी नहीं है कि जर्मनों ने एक कहावत को संरक्षित किया है: "अंशों में जाने के लिए", जिसका अर्थ है - एक निराशाजनक स्थिति में जाना। ऐसा माना जाता था कि जो लोग भिन्नों को नहीं जानते वे अंकगणित भी नहीं जानते हैं।

दशमलव भाग

मध्य युग में और प्राचीन चीन में स्वतंत्र रूप से अरब गणितज्ञों के कार्यों में दशमलव अंश दिखाई दिए। लेकिन पहले भी, प्राचीन बाबुल में, वे एक ही प्रकार के भिन्नों का इस्तेमाल करते थे, केवल सेक्सजेसिमल।

बाद में, वैज्ञानिक हार्टमैन बेयर (1563-1625) ने "दशमलव रसद" निबंध प्रकाशित किया, जहां उन्होंने लिखा: एक नाम की पूरी संख्या; आमतौर पर उन्हें या तो छोटे उपाय करने पड़ते हैं या भिन्नों का उपयोग करना पड़ता है। उसी तरह, खगोलविद न केवल डिग्री में, बल्कि डिग्री के अंशों में भी मूल्यों को मापते हैं, अर्थात। मिनट, सेकंड, आदि। 60 भागों में उनका विभाजन उतना सुविधाजनक नहीं है जितना कि 10 में, 100 भागों में, आदि, क्योंकि बाद के मामले में अंकगणितीय संक्रियाओं को जोड़ना, घटाना और आम तौर पर करना बहुत आसान है; मुझे ऐसा लगता है कि दशमलव अंश, यदि सेक्सजेसिमल के बजाय पेश किया जाता है, तो न केवल खगोल विज्ञान के लिए, बल्कि सभी प्रकार की गणनाओं के लिए भी उपयोगी होगा ”।

आज हम दशमलव का प्रयोग स्वाभाविक और स्वतंत्र रूप से करते हैं। हालाँकि, जो हमें स्वाभाविक लगता है वह मध्य युग के वैज्ञानिकों के लिए एक वास्तविक ठोकर थी। पश्चिमी यूरोप में, 16वीं शताब्दी। पूर्ण संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए व्यापक दशमलव प्रणाली के साथ, बेबीलोनियाई लोगों की प्राचीन परंपरा से डेटिंग, गणनाओं में हर जगह सेक्सजेसिमल अंशों का उपयोग किया जाता था। डच गणितज्ञ साइमन स्टीविन के उज्ज्वल दिमाग को पूर्ण और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के अंकन को एक प्रणाली में लाने के लिए लिया गया था। जाहिर है, दशमलव अंशों के निर्माण के लिए उनके द्वारा संकलित मिश्रित प्रतिशत की तालिकाएँ थीं। 1585 में उन्होंने दशमांश नामक पुस्तक प्रकाशित की, जिसमें उन्होंने दशमलव भिन्नों की व्याख्या की।

17वीं शताब्दी की शुरुआत से, विज्ञान और अभ्यास में दशमलव अंशों की गहन पैठ शुरू होती है। इंग्लैंड में, एक अवधि को पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने के संकेत के रूप में पेश किया गया था। अल्पविराम, अवधि की तरह, 1617 में गणितज्ञ नेपियर द्वारा विभाजक के रूप में प्रस्तावित किया गया था।

उद्योग और व्यापार, विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विकास के लिए अधिक से अधिक बोझिल गणनाओं की आवश्यकता थी, जो दशमलव अंशों की सहायता से करना आसान था। 1 9वीं शताब्दी में माप और वजन के निकट से संबंधित मीट्रिक प्रणाली की शुरूआत के बाद दशमलव अंशों का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। उदाहरण के लिए, हमारे देश में कृषि और उद्योग में, दशमलव अंश और उनके विशेष रूप - प्रतिशत - सामान्य अंशों की तुलना में बहुत अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

साहित्य:

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I.Ya.Depman "अंकगणित का इतिहास" (एम। ज्ञानोदय, 1959)

भिन्नों को अभी भी गणित के सबसे कठिन क्षेत्रों में से एक माना जाता है। भिन्नों का इतिहास एक सहस्राब्दी से अधिक पुराना है। पूरे को भागों में विभाजित करने की क्षमता प्राचीन मिस्र और बेबीलोन के क्षेत्र में उत्पन्न हुई। इन वर्षों में, भिन्नों के साथ किए गए ऑपरेशन अधिक जटिल हो गए, उनकी रिकॉर्डिंग का रूप बदल गया। गणित की इस शाखा के साथ "रिश्ते" में प्रत्येक की अपनी विशेषताएं थीं।

एक अंश क्या है?

जब अनावश्यक प्रयास के बिना पूरे को भागों में विभाजित करना आवश्यक हो गया, तो अंश दिखाई दिए। भिन्नों का इतिहास उपयोगितावादी समस्याओं के समाधान के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। शब्द "अंश" में ही अरबी जड़ें हैं और यह शब्द "टूटना, विभाजित करना" से आया है। प्राचीन काल से, इस अर्थ में बहुत कम बदलाव आया है। आधुनिक परिभाषा इस प्रकार है: एक अंश एक इकाई के भागों का हिस्सा या योग है। तदनुसार, भिन्नों वाले उदाहरण संख्याओं के भिन्नों के साथ गणितीय संक्रियाओं का क्रमिक निष्पादन हैं।

आज उन्हें रिकॉर्ड करने के दो तरीके हैं। अलग-अलग समय पर उत्पन्न हुए: पहले अधिक प्राचीन हैं।

अनादि काल से आया

पहली बार, उन्होंने मिस्र और बाबुल में भिन्नों के साथ काम करना शुरू किया। दोनों राज्यों के गणितज्ञों के दृष्टिकोण में महत्वपूर्ण अंतर था। हालाँकि, वहाँ और वहाँ दोनों की शुरुआत एक ही तरह से की गई थी। पहला अंश आधा या 1/2 था। तब एक चौथाई था, एक तिहाई, और इसी तरह। पुरातात्विक उत्खनन के अनुसार अंशों का इतिहास लगभग 5 हजार वर्ष पुराना है। पहली बार, मिस्र की पपीरी और बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर किसी संख्या के अंश पाए जाते हैं।

प्राचीन मिस्र

साधारण भिन्नों के प्रकारों में आज तथाकथित मिस्री अंश शामिल हैं। वे कई 1 / n पदों के योग का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंश हमेशा एक होता है, और हर एक प्राकृतिक संख्या होती है। प्राचीन मिस्र में इस तरह के अंश दिखाई दिए, चाहे अनुमान लगाना कितना भी मुश्किल हो। गणना करते समय, उन्होंने सभी शेयरों को ऐसी राशियों के रूप में लिखने का प्रयास किया (उदाहरण के लिए, 1/2 + 1/4 + 1/8)। केवल अंश 2/3 और 3/4 के अलग-अलग पदनाम थे, बाकी को शब्दों में विभाजित किया गया था। ऐसी विशेष तालिकाएँ थीं जिनमें किसी संख्या के अंशों को योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

इस तरह की प्रणाली का सबसे पहला ज्ञात उल्लेख दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत से रिंड के गणितीय पेपिरस में मिलता है। इसमें भिन्नों और गणित की समस्याओं की एक तालिका शामिल है जिसमें समाधान और उत्तर भिन्नों के योग के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं। मिस्रवासी किसी संख्या के भागों को जोड़ना, विभाजित करना और गुणा करना जानते थे। नील घाटी में अंश चित्रलिपि का उपयोग करके लिखे गए थे।

प्राचीन मिस्र की विशेषता, फॉर्म 1 / n की शर्तों के योग के रूप में एक संख्या के अंश का प्रतिनिधित्व न केवल इस देश के गणितज्ञों द्वारा किया गया था। मध्य युग तक, ग्रीस और अन्य राज्यों में मिस्र के अंशों का उपयोग किया जाता था।

बेबीलोन में गणित का विकास

बेबीलोन के साम्राज्य में गणित अलग दिखता था। यहाँ भिन्नों की उत्पत्ति का इतिहास सीधे संख्या प्रणाली की ख़ासियत से संबंधित है, जो प्राचीन राज्य को अपने पूर्ववर्ती, सुमेरियन-अक्कादियन सभ्यता से विरासत में मिला है। बेबीलोन में गणना तकनीक मिस्र की तुलना में अधिक सुविधाजनक और अधिक उत्तम थी। इस देश में गणित ने समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल किया।

आज बेबीलोनियों की उपलब्धियों का अंदाजा क्यूनिफॉर्म से भरी मिट्टी की बची हुई गोलियों से लगाया जा सकता है। सामग्री की ख़ासियत के कारण, वे बड़ी मात्रा में हमारे पास आए हैं। कुछ के अनुसार, पाइथागोरस से पहले बेबीलोन में एक प्रसिद्ध प्रमेय की खोज की गई थी, जो निस्संदेह इस प्राचीन राज्य में विज्ञान के विकास की गवाही देती है।

भिन्न: बाबुल में भिन्नों का इतिहास

बेबीलोन में संख्या प्रणाली सेक्सजेसिमल थी। प्रत्येक नई श्रेणी पिछले एक से 60 से भिन्न होती है। इस तरह की प्रणाली को आधुनिक दुनिया में समय और कोणों को नामित करने के लिए संरक्षित किया गया है। फ्रैक्शंस भी सेक्सजेसिमल थे। रिकॉर्डिंग के लिए विशेष बैज का इस्तेमाल किया गया था। जैसा कि मिस्र में, भिन्न उदाहरणों में 1/2, 1/3 और 2/3 के लिए अलग-अलग प्रतीक थे।

राज्य के साथ बेबीलोन की व्यवस्था समाप्त नहीं हुई। 60-ट्रिक प्रणाली में लिखे गए अंशों का उपयोग प्राचीन और अरब खगोलविदों और गणितज्ञों द्वारा किया जाता था।

प्राचीन ग्रीस

प्राचीन यूनान में सामान्य भिन्नों का इतिहास अधिक समृद्ध नहीं था। हेलस के निवासियों का मानना ​​​​था कि गणित को केवल पूर्णांकों के साथ काम करना चाहिए। इसलिए, प्राचीन यूनानी ग्रंथों के पन्नों पर भिन्नों के साथ भाव व्यावहारिक रूप से नहीं पाए गए थे। हालाँकि, पाइथागोरस ने गणित की इस शाखा में एक निश्चित योगदान दिया। वे भिन्नों को अनुपात या अनुपात के रूप में समझते थे, और इकाई को भी अविभाज्य माना जाता था। पाइथागोरस और उनके छात्रों ने भिन्नों का एक सामान्य सिद्धांत बनाया, सभी चार अंकगणितीय संक्रियाओं को करना सीखा, साथ ही भिन्नों को एक सामान्य हर में लाकर उनकी तुलना की।

पवित्र रोमन साम्राज्य

अंशों की रोमन प्रणाली "गधा" नामक वजन के माप से जुड़ी थी। इसे 12 शेयरों में बांटा गया था। गधे के 1/12 को औंस कहा जाता था। भिन्नों के लिए 18 नाम थे। उनमें से कुछ यहां हैं:

अर्ध - गधे का आधा;

सेक्स्टेंट - गधे का छठा हिस्सा;

एक अर्ध-औंस आधा औंस या 1/24 गधा है।

ऐसी प्रणाली का नुकसान 10 या 100 के हर के साथ एक संख्या को भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने की असंभवता थी। रोमन गणितज्ञों ने प्रतिशत का उपयोग करके कठिनाई पर विजय प्राप्त की।

सामान्य भिन्न लिखना

पुरातनता में, भिन्न पहले से ही परिचित तरीके से लिखे गए थे: एक संख्या दूसरे पर। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण अंतर था। अंश हर के नीचे था। प्राचीन भारत में पहली बार उन्होंने इस तरह से भिन्न लिखना शुरू किया। अरबों ने हमारे लिए आधुनिक तरीके का इस्तेमाल करना शुरू कर दिया। लेकिन नामित लोगों में से किसी ने भी अंश और हर को अलग करने के लिए क्षैतिज पट्टी का उपयोग नहीं किया। यह पहली बार 1202 में पीसा के लियोनार्डो के लेखन में दिखाई देता है, जिसे फिबोनाची के नाम से जाना जाता है।

चीन

यदि मिस्र में साधारण अंशों के उद्भव का इतिहास शुरू हुआ, तो दशमलव पहले चीन में दिखाई दिए। स्वर्गीय साम्राज्य में, उनका उपयोग लगभग तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व से किया जाने लगा। दशमलव अंशों का इतिहास चीनी गणितज्ञ लियू हुई के साथ शुरू हुआ, जिन्होंने वर्गमूल निकालने के लिए उनका उपयोग करने का प्रस्ताव रखा।

तीसरी शताब्दी ईस्वी में, वजन और आयतन की गणना करते समय चीन में दशमलव अंशों का उपयोग किया जाने लगा। धीरे-धीरे, वे गणित में और गहराई से प्रवेश करने लगे। हालाँकि, यूरोप में, दशमलव अंशों का उपयोग बहुत बाद में किया गया था।

समरकंदो से अल-काशी

चीनी पूर्ववर्तियों के बावजूद, प्राचीन शहर समरकंद से खगोलशास्त्री अल-काशी द्वारा दशमलव अंशों की खोज की गई थी। वह 15 वीं शताब्दी में रहता था और काम करता था। वैज्ञानिक ने अपने सिद्धांत को "द की टू अरिथमेटिक" ग्रंथ में रेखांकित किया, जो 1427 में प्रकाशित हुआ था। अल-काशी ने भिन्न लेखन के एक नए रूप का उपयोग करने का सुझाव दिया। पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भाग अब एक पंक्ति में लिखे गए थे। समरकंद खगोलशास्त्री ने उन्हें अलग करने के लिए अल्पविराम का उपयोग नहीं किया। उन्होंने काली और लाल स्याही से पूरी संख्या और भिन्नात्मक भाग को अलग-अलग रंगों में लिखा। कभी-कभी, अल-काशी ने उन्हें अलग करने के लिए खड़ी पट्टी का भी इस्तेमाल किया।

यूरोप में दशमलव भिन्न

13वीं शताब्दी से यूरोपीय गणितज्ञों के कार्यों में एक नए प्रकार के भिन्न दिखाई देने लगे। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वे अल-काशी के कार्यों के साथ-साथ चीनियों के आविष्कार से परिचित नहीं थे। जॉर्डन नेमोरेरियम के लेखन में दशमलव अंश दिखाई दिए। तब वे 16 वीं शताब्दी में पहले से ही इस्तेमाल किए गए थे।फ्रांसीसी वैज्ञानिक ने "गणितीय कैनन" लिखा था, जिसमें त्रिकोणमितीय तालिकाएं थीं। वियतनाम ने उनमें दशमलव अंशों का इस्तेमाल किया। पूरे और भिन्नात्मक भागों को अलग करने के लिए, वैज्ञानिक ने एक लंबवत बार, साथ ही विभिन्न फ़ॉन्ट आकारों का उपयोग किया।

हालाँकि, ये केवल वैज्ञानिक उपयोग के विशेष मामले थे। यूरोप में रोज़मर्रा की समस्याओं को हल करने के लिए दशमलव अंशों का इस्तेमाल थोड़ी देर बाद किया गया। यह 16वीं शताब्दी के अंत में डच वैज्ञानिक साइमन स्टीविन की बदौलत हुआ। उन्होंने 1585 में गणितीय कार्य "दसवीं" प्रकाशित किया। इसमें वैज्ञानिक ने मौद्रिक प्रणाली में अंकगणित में दशमलव अंशों का उपयोग करने और माप और वजन निर्धारित करने के सिद्धांत को रेखांकित किया।

डॉट, डॉट, कॉमा

स्टीवन ने भी अल्पविराम का प्रयोग नहीं किया। उन्होंने एक वृत्त में संलग्न शून्य का उपयोग करके भिन्न के दो भागों को अलग किया।

पहली बार, एक अल्पविराम ने दशमलव भिन्न के दो भागों को केवल 1592 में अलग किया। इंग्लैंड में, हालांकि, इसके बजाय डॉट का इस्तेमाल किया गया था। संयुक्त राज्य अमेरिका में, दशमलव अंश अभी भी इस तरह से लिखे जाते हैं।

पूरे और भिन्नात्मक भागों को अलग करने के लिए दोनों विराम चिह्नों के उपयोग के आरंभकर्ताओं में से एक स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर थे। उन्होंने 1616-1617 में अपना प्रस्ताव रखा। अल्पविराम का प्रयोग एक जर्मन वैज्ञानिक ने भी किया था

रूस में अंश

रूसी धरती पर, पूरे के विभाजन को भागों में रेखांकित करने वाले पहले गणितज्ञ नोवगोरोड भिक्षु किरिक थे। 1136 में उन्होंने एक काम लिखा जिसमें उन्होंने "वर्षों की गणना" की पद्धति को रेखांकित किया। किरिक ने कालक्रम और कैलेंडर के मुद्दों को निपटाया। अपने काम में, उन्होंने घंटे के विभाजन को भागों में भी उद्धृत किया: पांचवां, पच्चीसवां, और इसी तरह।

15वीं-17वीं शताब्दी में कर की राशि की गणना में संपूर्ण को भागों में विभाजित करने का उपयोग किया गया था। भिन्नात्मक भागों के साथ जोड़, घटाव, भाग और गुणा के संचालन का उपयोग किया गया था।

8वीं शताब्दी में रूस में "अंश" शब्द ही दिखाई दिया। यह क्रिया "विभाजित, भागों में विभाजित" से आता है। हमारे पूर्वजों ने भिन्नों को नाम देने के लिए विशेष शब्दों का प्रयोग किया था। उदाहरण के लिए, 1/2 को आधा या आधा, 1/4 - एक युगल, 1/8 - आधा, 1/16 - आधा आधा, और इसी तरह नामित किया गया था।

भिन्नों का पूरा सिद्धांत, आधुनिक से बहुत अलग नहीं, अंकगणित पर पहली पाठ्यपुस्तक में प्रस्तुत किया गया था, जिसे 1701 में लियोन्टी फ़िलिपोविच मैग्निट्स्की द्वारा लिखा गया था। "अंकगणित" में कई भाग शामिल थे। लेखक "टूटी हुई रेखाओं की संख्या या भागों के साथ" खंड में अंशों के बारे में विस्तार से बात करता है। मैग्निट्स्की "टूटी हुई" संख्याओं, उनके विभिन्न पदनामों के साथ संचालन देता है।

आज भी भिन्न गणित के सबसे कठिन क्षेत्रों में से हैं। भिन्नों का इतिहास भी आसान नहीं था। अलग-अलग लोग, कभी-कभी एक-दूसरे से स्वतंत्र होते हैं, और कभी-कभी अपने पूर्ववर्तियों के अनुभव को उधार लेते हुए, एक संख्या के अंशों को पेश करने, महारत हासिल करने और लागू करने की आवश्यकता पर आ गए हैं। भिन्नों का सिद्धांत हमेशा व्यावहारिक अवलोकन और गंभीर समस्याओं के कारण विकसित हुआ है। रोटी बांटना, भूमि के बराबर भूखंडों को चिह्नित करना, करों की गणना करना, समय को मापना आदि आवश्यक था। उनके साथ भिन्नों और गणितीय संक्रियाओं के उपयोग की विशेषताएं राज्य में संख्या प्रणाली और गणित के विकास के सामान्य स्तर पर निर्भर करती थीं। एक तरह से या किसी अन्य, एक हजार से अधिक वर्षों को पार करते हुए, संख्याओं के अंशों के लिए समर्पित बीजगणित का खंड व्यावहारिक और सैद्धांतिक दोनों तरह की विभिन्न आवश्यकताओं के लिए आज विकसित, विकसित और सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।