შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი დისპერსიის მეშვეობით. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონები. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე „შემთხვევითი ცვლადები“.

Დავალება 1 . ლატარიაში 100 ბილეთია გაცემული. ითამაშა ერთი მოგება 50 აშშ დოლარი. და ათი მოგება თითო $10. იპოვეთ X მნიშვნელობის განაწილების კანონი - შესაძლო მოგების ღირებულება.

გამოსავალი. X-ის შესაძლო მნიშვნელობები: x 1 = 0; x 2 = 10 და x 3 = 50. ვინაიდან 89 „ცარიელი“ ბილეთია, მაშინ გვ 1 = 0.89, გამარჯვების ალბათობაა 10 ც. (10 ბილეთი) – გვ 2 = 0.10 და 50 ც.უ. გამარჯვებისთვის. -გვ 3 = 0.01. Ამგვარად:


	0,89	0,10	0,01

მარტივი კონტროლი: .

Დავალება 2. ალბათობა იმისა, რომ მყიდველმა წინასწარ გაეცნო პროდუქტის რეკლამას, არის 0,6 (p = 0,6). რეკლამის შერჩევითი ხარისხის კონტროლს ახორციელებენ მყიდველების გამოკითხვა პირველმა, ვინც წინასწარ შეისწავლა რეკლამა. გააკეთეთ გამოკითხული მყიდველების რაოდენობის განაწილების სერია.

გამოსავალი. ამოცანის პირობის მიხედვით p = 0.6. მდებარეობა: q=1 -გვ = 0.4. ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ:და შექმენით განაწილების სერია:


პი		0,24

Დავალება 3. კომპიუტერი შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან: სისტემის ერთეული, მონიტორი და კლავიატურა. ძაბვის ერთი მკვეთრი მატებით, თითოეული ელემენტის უკმარისობის ალბათობა არის 0.1. ბერნულის განაწილების საფუძველზე შეადგინეთ განაწილების კანონი ქსელში დენის მატების დროს წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის.

გამოსავალი. განიხილეთ ბერნულის განაწილება(ან ბინომი): ალბათობა იმისა, რომ inნ ტესტები, მოვლენა A გამოჩნდება ზუსტადკ ერთხელ: , ან:


	ქ ნ					გვ ნ

IN დავუბრუნდეთ დავალებას.

X-ის შესაძლო მნიშვნელობები (ჩავარდნების რაოდენობა):

x 0 =0 - არცერთი ელემენტი არ ჩავარდა;

x 1 =1 - ერთი ელემენტის უკმარისობა;

x 2 =2 - ორი ელემენტის უკმარისობა;

x 3 =3 - ყველა ელემენტის უკმარისობა.

ვინაიდან, პირობით, p = 0.1, მაშინ q = 1 - p = 0.9. ბერნულის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

, ,

, .

კონტროლი:.

ამიტომ, სასურველი განაწილების კანონი:


	0,729	0,243	0,027	0,001

დავალება 4. დამზადდა 5000 ცალი. ალბათობა იმისა, რომ ერთი ვაზნა დეფექტურია . რა არის ალბათობა იმისა, რომ მთელ პარტიაში იქნება ზუსტად 3 დეფექტური ვაზნა?

გამოსავალი. გამოიყენება პუასონის განაწილება: ეს განაწილება გამოიყენება იმის დასადგენად, რომ ალბათობა ძალიან დიდია

ცდების რაოდენობა (მასობრივი ცდები), რომელთაგან თითოეულში A მოვლენის ალბათობა ძალიან მცირეა, მოვლენა A მოხდება k-ჯერ: , სადაც .

აქ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. ჩვენ ვპოულობთ , შემდეგ სასურველ ალბათობას: .

დავალება 5. პირველ დარტყმამდე სროლისას დარტყმის ალბათობით პ = 0.6 გასროლისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა, რომ დარტყმა მოხდება მესამე გასროლაზე.

გამოსავალი. გამოვიყენოთ გეომეტრიული განაწილება: ჩატარდეს დამოუკიდებელი ცდები, რომლებშიც A მოვლენას აქვს p დადგომის ალბათობა (და არ მომხდარა q = 1 - p). ცდები მთავრდება A მოვლენის დადგომისთანავე.

ასეთ პირობებში, ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენა მოხდეს k-ე ტესტზე, განისაზღვრება ფორმულით: . აქ p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3. ამიტომ, .

დავალება 6. მოცემული იყოს X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

იპოვნეთ მათემატიკური მოლოდინი.

გამოსავალი. .

გაითვალისწინეთ, რომ მათემატიკური მოლოდინის ალბათური მნიშვნელობა არის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა.

დავალება 7. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია შემდეგი განაწილების კანონით:

გამოსავალი. Აქ .

X-ის კვადრატის განაწილების კანონი 2 :

X 2

საჭირო ვარიაცია: .

დისპერსია ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის (გაფანტვის) ხარისხს მისი მათემატიკური მოლოდინისგან.

დავალება 8. დაე, შემთხვევითი ცვლადი იყოს მოცემული განაწილებით:

			10მ

იპოვეთ მისი რიცხვითი მახასიათებლები.

ამოხსნა: m, m 2 ,

მ 2 , მ.

შემთხვევითი X ცვლადის შესახებ შეიძლება ითქვას ერთიც - მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6.4 მ დისპერსიით 13.04 მ. 2 , ან - მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6,4 მ გადახრით მ. მეორე ფორმულირება აშკარად უფრო ნათელია.

Დავალება 9. შემთხვევითი მნიშვნელობა X მოცემულია განაწილების ფუნქციით:
.

იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად X მნიშვნელობა მიიღებს ინტერვალში მოცემულ მნიშვნელობას .

გამოსავალი. ალბათობა იმისა, რომ X მიიღებს მნიშვნელობას მოცემული ინტერვალიდან, უდრის ამ ინტერვალში ინტეგრალური ფუნქციის ზრდას, ე.ი. . ჩვენს შემთხვევაში და შესაბამისად

Დავალება 10. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X განაწილების კანონით მოცემულია:

იპოვნეთ განაწილების ფუნქცია F(x ) და შექმენით მისი გრაფიკი.

გამოსავალი. განაწილების ფუნქციიდან გამომდინარე

ამისთვის , მაშინ

ზე ;

შესაბამისი სქემა:

დავალება 11.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია დიფერენციალური განაწილების ფუნქციით: .

იპოვნეთ დარტყმის ალბათობა X ინტერვალამდე

გამოსავალი. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის ექსპონენციური განაწილების კანონის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა: .

Დავალება 12. იპოვეთ X დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები, რომლებიც მოცემულია განაწილების კანონით:

–5

X 2:

. , სადაც არის ლაპლასის ფუნქცია.

ამ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნია ცხრილის გამოყენებით.

ჩვენს შემთხვევაში: .

ცხრილის მიხედვით ვხვდებით:, შესაბამისად:

სამსახურის დავალება. ონლაინ კალკულატორი გამოიყენება შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების ცხრილის ასაგებად - შესრულებული ექსპერიმენტების რაოდენობა და გამოთვლის სერიის ყველა მახასიათებელს: მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა. დასკვნა გადაწყვეტილებით დგება Word ფორმატში. მაგალითი #1. სამი მონეტა იყრება. გერბის ერთ რულონში ამოვარდნის ალბათობა არის 0,5. შეადგინეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადის X - გერბების რაოდენობა, რომლებიც დაეცა.
გამოსავალი.
ალბათობა იმისა, რომ არც ერთი გერბი არ ამოვარდა: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ალბათობა იმისა, რომ სამი გერბი ამოვარდა: P(3) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125

X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

X	0	1	2	3
პ	0,125	0,375	0,375	0,125

შეამოწმეთ: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

მაგალითი #2. ერთი მსროლელის მიერ ერთი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა პირველი მსროლელისთვის არის 0,8, მეორე მსროლელისთვის - 0,85. მსროლელებმა მიზანში ერთი გასროლა გაუშვეს. ცალკეული მსროლელებისთვის მიზანზე დარტყმის დამოუკიდებელ მოვლენად დაშვებით, იპოვეთ A მოვლენის ალბათობა - ზუსტად ერთი დარტყმა მიზანში.
გამოსავალი.
განვიხილოთ მოვლენა A - ერთი დარტყმა მიზანში. ამ მოვლენის შესაძლო შემთხვევები შემდეგია:

პირველი მსროლელი დარტყმა, მეორე მსროლელი გაუშვა: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
პირველმა მსროლელმა გაუშვა, მეორემ მიზანს დაარტყა: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
პირველი და მეორე მსროლელები დამოუკიდებლად ხვდებიან მიზანს: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

მაშინ მოვლენის ალბათობა A - ზუსტად ერთი დარტყმის მიზანში, ტოლი იქნება: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

როგორც ცნობილია, შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობები შემთხვევის მიხედვით. შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით (X, Y, Z), ხოლო მათი მნიშვნელობები აღინიშნება შესაბამისი მცირე ასოებით (x, y, z). შემთხვევითი ცვლადები იყოფა წყვეტილ (დისკრეტულ) და უწყვეტად.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს მხოლოდ სასრულ ან უსასრულო (დათვლადი) მნიშვნელობათა სიმრავლეს გარკვეული არანულოვანი ალბათობით.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ფუნქცია, რომელიც აკავშირებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს მათ შესაბამის ალბათობებთან. განაწილების კანონი შეიძლება დაზუსტდეს ერთ-ერთი შემდეგი გზით.

1 . განაწილების კანონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილით:

სადაც λ>0, k = 0, 1, 2, ... .

in)მეშვეობით განაწილების ფუნქცია F(x) , რომელიც განსაზღვრავს თითოეული x მნიშვნელობისთვის ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი X იღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას, ე.ი. F(x) = P(X< x).

F(x) ფუნქციის თვისებები

3 . განაწილების კანონი შეიძლება დაინიშნოს გრაფიკულად – განაწილების მრავალკუთხედი (მრავალკუთხედი) (იხ. ამოცანა 3).

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად არ არის აუცილებელი განაწილების კანონის ცოდნა. ზოგიერთ შემთხვევაში, საკმარისია იცოდეთ ერთი ან მეტი რიცხვი, რომელიც ასახავს განაწილების კანონის ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს. ეს შეიძლება იყოს რიცხვი, რომელსაც აქვს შემთხვევითი ცვლადის „საშუალო მნიშვნელობის“ მნიშვნელობა, ან რიცხვი, რომელიც აჩვენებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის საშუალო ზომას მისი საშუალო მნიშვნელობიდან. ამ ტიპის რიცხვებს ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები :

მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის (საშუალო მნიშვნელობა). M(X)=Σ x i p i.
ბინომური განაწილებისთვის M(X)=np, პუასონის განაწილებისთვის M(X)=λ
დისპერსია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი D(X)=M2ან D(X) = M(X 2) - 2. განსხვავება X–M(X) ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის გადახრას მისი მათემატიკური მოლოდინიდან.
ბინომური განაწილებისთვის D(X)=npq, პუასონის განაწილებისთვის D(X)=λ
Სტანდარტული გადახრა (სტანდარტული გადახრა) σ(X)=√D(X).

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე "დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი"

დავალება 1.

გაიცა 1000 ლატარიის ბილეთი: მათგან 5 მოიგებს 500 რუბლს, 10 - 100 რუბლს, 20 - 50 რუბლს, 50 - 10 რუბლს. დაადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი - მოგება ბილეთზე.

გამოსავალი. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია X შემთხვევითი ცვლადის შემდეგი მნიშვნელობები: 0, 10, 50, 100 და 500.

მოგების გარეშე ბილეთების რაოდენობაა 1000 - (5+10+20+50) = 915, შემდეგ P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ყველა სხვა ალბათობას: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. წარმოგიდგენთ მიღებულ კანონს ცხრილის სახით:

იპოვეთ X-ის მათემატიკური მოლოდინი: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

დავალება 3.

მოწყობილობა შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან. ერთ ექსპერიმენტში თითოეული ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა არის 0,1. შეადგინეთ განაწილების კანონი ერთ ექსპერიმენტში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის, შექმენით განაწილების პოლიგონი. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) და დახაზეთ იგი. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

გამოსავალი. 1. დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს X=(ერთ ექსპერიმენტში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობა) აქვს შემდეგი შესაძლო მნიშვნელობები: x 1 =0 (მოწყობილობის არცერთი ელემენტი ვერ მოხერხდა), x 2 =1 (ერთი ელემენტი ვერ მოხერხდა), x 3 =2 ( ორი ელემენტი ვერ მოხერხდა ) და x 4 \u003d 3 (სამი ელემენტი ვერ მოხერხდა).

ელემენტების გაუმართაობა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია, თითოეული ელემენტის გაუმართაობის ალბათობა ერთმანეთის ტოლია, შესაბამისად, იგი გამოიყენება ბერნულის ფორმულა . იმის გათვალისწინებით, რომ პირობით, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელობების ალბათობებს:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
შეამოწმეთ: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

ამრიგად, სასურველ ბინომიალური განაწილების კანონს X აქვს ფორმა:

აბსცისის ღერძზე გამოვსახავთ შესაძლო მნიშვნელობებს x i, ხოლო ორდინატთა ღერძზე შესაბამის ალბათობებს р i. ავაშენოთ წერტილები M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). ამ წერტილების ხაზის სეგმენტებთან დაკავშირებით, ჩვენ ვიღებთ სასურველ განაწილების მრავალკუთხედს.

3. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) = P(X

x ≤ 0-ისთვის გვაქვს F(x) = P(X<0) = 0;
0-ისთვის< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ისთვის< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ისთვის< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3-ისთვის იქნება F(x) = 1, რადგან მოვლენა გარკვეულია.

F(x) ფუნქციის გრაფიკი

4. ბინომალური X განაწილებისთვის:
- მათემატიკური მოლოდინი М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- დისპერსია D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- სტანდარტული გადახრა σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

განაწილების კანონი და მახასიათებლები

შემთხვევითი ღირებულებები

შემთხვევითი ცვლადები, მათი კლასიფიკაცია და აღწერის მეთოდები.

შემთხვევითი მნიშვნელობა არის სიდიდე, რომელსაც ექსპერიმენტის შედეგად შეუძლია მიიღოს ესა თუ ის მნიშვნელობა, მაგრამ რომელიც წინასწარ არ არის ცნობილი. მაშასადამე, შემთხვევითი ცვლადისთვის შეიძლება მხოლოდ მნიშვნელობების მითითება, რომელთაგან ერთ-ერთს ის აუცილებლად მიიღებს ექსპერიმენტის შედეგად. ამ მნიშვნელობებს მოიხსენიებენ, როგორც შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებს. ვინაიდან შემთხვევითი ცვლადი რაოდენობრივად ახასიათებს ექსპერიმენტის შემთხვევით შედეგს, ის შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევითი მოვლენის რაოდენობრივ მახასიათებლად.

შემთხვევითი ცვლადები ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით, მაგალითად, X..Y..Z და მათი შესაძლო მნიშვნელობები შესაბამისი მცირე ასოებით.

არსებობს სამი ტიპის შემთხვევითი ცვლადი:

დისკრეტული; უწყვეტი; შერეული.

დისკრეტულიისეთი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომლის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა ქმნის თვლადი სიმრავლეს. თავის მხრივ, თვლადი სიმრავლე არის სიმრავლე, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია. სიტყვა "დისკრეტული" მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან discretus, რაც ნიშნავს "შეწყვეტილს, რომელიც შედგება ცალკეული ნაწილებისგან".

მაგალითი 1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის დეფექტური X ნაწილების რაოდენობა nfl-ის პარტიაში. მართლაც, ამ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები არის მთელი რიცხვების სერია 0-დან n-მდე.

მაგალითი 2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის გასროლების რაოდენობა სამიზნეზე პირველ დარტყმამდე. აქ, როგორც მაგალით 1-ში, შესაძლებელია შესაძლო მნიშვნელობების დანომრვა, თუმცა შეზღუდულ შემთხვევაში შესაძლო მნიშვნელობა არის უსასრულოდ დიდი რიცხვი.

უწყვეტიშემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები მუდმივად ავსებს რიცხვითი ღერძის გარკვეულ ინტერვალს, რომელსაც ზოგჯერ უწოდებენ ამ შემთხვევითი ცვლადის არსებობის ინტერვალს. ამრიგად, არსებობის ნებისმიერ სასრულ ინტერვალზე, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოდ დიდია.

მაგალითი 3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი არის ელექტროენერგიის მოხმარება საწარმოში ერთი თვის განმავლობაში.

მაგალითი 4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი არის სიმაღლის გაზომვის შეცდომა სიმაღლემეტრის გამოყენებით. სიმაღლემეტრის მოქმედების პრინციპიდან ვიცოდეთ, რომ შეცდომა 0-დან 2 მ-მდეა, ამიტომ ამ შემთხვევითი ცვლადის არსებობის ინტერვალი არის 0-დან 2 მ-მდე ინტერვალი.

შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონი.

შემთხვევითი ცვლადი ითვლება სრულად დაზუსტებულად, თუ მისი შესაძლო მნიშვნელობები მითითებულია რიცხვით ღერძზე და დადგენილია განაწილების კანონი.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ეწოდება მიმართება, რომელიც ადგენს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და შესაბამის ალბათობებს შორის.

შემთხვევითი ცვლადი ნათქვამია, რომ განაწილებულია მოცემული კანონის მიხედვით, ან ექვემდებარება მოცემული განაწილების კანონს. განაწილების კანონებად გამოიყენება რამდენიმე ალბათობა, განაწილების ფუნქცია, ალბათობის სიმკვრივე, დამახასიათებელი ფუნქცია.

განაწილების კანონი იძლევა შემთხვევითი ცვლადის სრულ სავარაუდო აღწერას. განაწილების კანონის მიხედვით, გამოცდილების წინ შეიძლება ვიმსჯელოთ, შემთხვევითი ცვლადის რომელი შესაძლო მნიშვნელობები გამოჩნდება უფრო ხშირად და რომელი უფრო იშვიათად.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის განაწილების კანონი შეიძლება იყოს მოცემული ცხრილის სახით, ანალიტიკურად (ფორმულის სახით) და გრაფიკულად.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის დაზუსტების უმარტივესი ფორმაა ცხრილი (მატრიცა), რომელიც ზრდის მიმდევრობით ჩამოთვლის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას და მათ შესაბამის ალბათობას, ე.ი.

ასეთ ცხრილს ეწოდება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია. ერთი

მოვლენები X 1 , X 2 ,..., X n , რომელიც შედგება იმაში, რომ ტესტის შედეგად, შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს მნიშვნელობებს x 1 , x 2 , ... xn, შესაბამისად. , არის არათანმიმდევრული და ერთადერთი შესაძლო (რადგან ცხრილში მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა), ე.ი. შექმენით სრული ჯგუფი. მაშასადამე, მათი ალბათობების ჯამი 1-ის ტოლია. ამრიგად, ნებისმიერი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი

(ეს ერთეული რატომღაც ნაწილდება შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს შორის, აქედან გამომდინარეობს ტერმინი "განაწილება").

განაწილების სერიები შეიძლება გამოჩნდეს გრაფიკულად, თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ და მათი შესაბამისი ალბათობები ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. მიღებული წერტილების შეერთება ქმნის გაწყვეტილ ხაზს, რომელსაც უწოდებენ ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედს ან მრავალკუთხედს (ნახ. 1).

მაგალითილატარია ითამაშა: 5000 დენიანი მანქანა. ერთეული, 4 ტელევიზორი 250 დენ. ერთეული, 5 VCR 200 დენ. ერთეულები ჯამში 1000 ბილეთი 7 ლარად იყიდება. ერთეულები შეადგინეთ ლატარიის მონაწილის მიერ მიღებული წმინდა მოგების განაწილების კანონი, რომელმაც იყიდა ერთი ბილეთი.

გამოსავალი. X შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები - წმინდა მოგება ბილეთზე - არის 0-7 = -7 დენ. ერთეულები (თუ ბილეთი არ მოიგო), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 დენ. ერთეულები (თუ ბილეთმა მოიგო VCR, ტელევიზორი ან მანქანა, შესაბამისად). იმის გათვალისწინებით, რომ 1000 ბილეთიდან არამომგებელთა რაოდენობაა 990, ხოლო მითითებული მოგება არის შესაბამისად 5, 4 და 1 და ალბათობის კლასიკური განმარტების გამოყენებით ვიღებთ.

Შემთხვევითი ცვლადირაოდენობას უწოდებენ, რომელიც ერთსა და იმავე პირობებში ჩატარებული ტესტების შედეგად იღებს განსხვავებულ, ზოგადად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობებს, შემთხვევითი ფაქტორებიდან გამომდინარე, რომლებიც არ არის გათვალისწინებული. შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები: კამათელზე დავარდნილი ქულების რაოდენობა, დეფექტური პროდუქტების რაოდენობა პარტიაში, ჭურვის დარტყმის წერტილის გადახრა სამიზნედან, მოწყობილობის მუშაობის დრო და ა.შ. განასხვავებენ დისკრეტულ და უწყვეტ შემთხვევით ცვლადებს. . დისკრეტულიშემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ქმნიან თვლადი სიმრავლეს, სასრულ ან უსასრულო (ანუ ისეთ კომპლექტს, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია).

უწყვეტიშემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები მუდმივად ავსებს რიცხვითი ღერძის გარკვეულ სასრულ ან უსასრულო ინტერვალს. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების რაოდენობა ყოველთვის უსასრულოა.

შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნა ლათინური ანბანის ბოლოს დიდი ასოებით: X, ი, . ; შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები - მცირე ასოებით: X, y. . Ამგვარად, Xაღნიშნავს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების მთელ კომპლექტს და X -რაღაც კონკრეტული მნიშვნელობა.

განაწილების კანონიდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის ნებისმიერი ფორმით მოცემული შესაბამისობა შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობებს შორის.

დაუშვით შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები Xარიან . ტესტის შედეგად შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ერთ-ერთ ამ მნიშვნელობას, ე.ი. მოხდება ერთი მოვლენა წყვილთა შორის შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფიდან.

მოდით ასევე ცნობილი იყოს ამ მოვლენების ალბათობა:

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი Xის შეიძლება დაიწეროს ცხრილის სახით ე.წ განაწილებასთან ახლოსდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი:

შემთხვევითი ცვლადები. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი.
Მოსალოდნელი ღირებულება

მეორე განყოფილება ალბათობის თეორიათავდადებული შემთხვევითი ცვლადები , რომელიც უხილავად გვახლდა ფაქტიურად ყველა სტატიაში ამ თემაზე. და დადგა დრო, რომ მკაფიოდ ჩამოვყალიბდეთ რა არის ეს:

შემთხვევითი დაურეკა ღირებულება, რომელსაც ტესტის შედეგად მიიღებს ერთი და ერთადერთირიცხვითი მნიშვნელობა, რომელიც დამოკიდებულია შემთხვევით ფაქტორებზე და წინასწარ არ არის პროგნოზირებადი.

შემთხვევითი ცვლადები ჩვეულებრივ დანიშნოსგადაღმა * და მათი მნიშვნელობები შესაბამისი მცირე ასოებით ხელმოწერებით, მაგალითად, .

* ზოგჯერ გამოიყენება ისევე როგორც ბერძნული ასოები

ჩვენ შევხვდით მაგალითს პირველი გაკვეთილი ალბათობის თეორიაში, სადაც რეალურად განვიხილეთ შემდეგი შემთხვევითი ცვლადი:

- ქულების რაოდენობა, რომელიც ამოვარდება კამათლის სროლის შემდეგ.

ეს ტესტი გამოიწვევს ერთადერთიხაზი, რომელიც არ არის პროგნოზირებადი (ხრიკები არ განიხილება); ამ შემთხვევაში, შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს ერთ-ერთი შემდეგი მნიშვნელობა:

- ბიჭების რაოდენობა 10 ახალშობილს შორის.

სავსებით ნათელია, რომ ეს რიცხვი წინასწარ არ არის ცნობილი და მომდევნო ათში დაბადებული ბავშვი შეიძლება იყოს:

ან ბიჭები - ერთი და ერთადერთიჩამოთვლილი ვარიანტებიდან.

და ფორმაში შესანარჩუნებლად, ცოტა ფიზიკური აღზრდა:

- შორი ნახტომი (ზოგიერთ ერთეულში).

სპორტის ოსტატსაც კი არ შეუძლია ამის პროგნოზირება 🙂

თუმცა, რა არის თქვენი ჰიპოთეზა?

Როგორც კი რეალური რიცხვების ნაკრებიუსასრულო, მაშინ შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება მიიღოს უსასრულოდ ბევრიმნიშვნელობები გარკვეული ინტერვალიდან. და ეს არის მისი ფუნდამენტური განსხვავება წინა მაგალითებისგან.

Ამგვარად, მიზანშეწონილია შემთხვევითი ცვლადების დაყოფა 2 დიდ ჯგუფად:

1) დისკრეტული (წყვეტილი)შემთხვევითი ცვლადი - იღებს ცალკე აღებულ, იზოლირებულ მნიშვნელობებს. ამ მნიშვნელობების რაოდენობა რა თქმა უნდაან უსასრულო, მაგრამ თვლადი.

... გაუგებარი ტერმინები დახატეს? სასწრაფოდ გაიმეორეთ ალგებრის საფუძვლები!

2) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი - იღებს ყველარიცხვითი მნიშვნელობები გარკვეული სასრული ან უსასრულო დიაპაზონიდან.

შენიშვნა : აბრევიატურები DSV და NSV პოპულარულია საგანმანათლებლო ლიტერატურაში

ჯერ გავაანალიზოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, შემდეგ - უწყვეტი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი

- ეს შესაბამისობაამ რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობას შორის. ყველაზე ხშირად, კანონი იწერება ცხრილში:

ტერმინი საკმაოდ გავრცელებულია რიგი განაწილება, მაგრამ ზოგიერთ სიტუაციაში ორაზროვნად ჟღერს და ამიტომ „კანონს“ დავიცავ.

Და ახლა ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი: რადგან შემთხვევითი ცვლადი აუცილებლადმიიღებს ერთ-ერთი ღირებულება, შემდეგ შესაბამისი მოვლენების ფორმა სრული ჯგუფიდა მათი გაჩენის ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს:

ან, თუ დაკეცილია დაწერილი:

ასე რომ, მაგალითად, ქულათა ალბათობების განაწილების კანონს აქვს შემდეგი ფორმა:

შეიძლება გქონდეთ შთაბეჭდილება, რომ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს მხოლოდ "კარგი" მთელი რიცხვები. მოდით გავფანტოთ ილუზია - ისინი შეიძლება იყოს ნებისმიერი:

ზოგიერთ თამაშს აქვს შემდეგი ანაზღაურების განაწილების კანონი:

...ალბათ დიდი ხანია ოცნებობთ ასეთ ამოცანებზე 🙂 საიდუმლოს გეტყვით - მეც. განსაკუთრებით სამუშაოს დასრულების შემდეგ საველე თეორია.

გამოსავალი: რადგან შემთხვევით ცვლადს შეუძლია სამი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ერთი მიიღოს, შესაბამისი მოვლენები იქმნება სრული ჯგუფი, რაც ნიშნავს, რომ მათი ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

ჩვენ ვამხელთ "პარტიზანს":

– ამრიგად, ჩვეულებრივი ერთეულების მოგების ალბათობა არის 0,4.

კონტროლი: რა უნდა დარწმუნდეთ.

უპასუხე:

არც ისე იშვიათია, როდესაც განაწილების კანონის დამოუკიდებლად შედგენა საჭიროა. ამ გამოყენებისთვის ალბათობის კლასიკური განმარტება, გამრავლების/შეკრების თეორემები მოვლენის ალბათობებისთვისდა სხვა ჩიფსები ტერვერა:

ყუთში დევს 50 ლატარიის ბილეთი, რომელთაგან 12 მომგებიანია, 2 მათგანი თითო 1000 რუბლს იგებს, ხოლო დანარჩენი - 100 რუბლს. შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - მოგების ზომა, თუ ერთი ბილეთი შემთხვევით ამოღებულია ყუთიდან.

გამოსავალი: როგორც შენიშნეთ, ჩვეულებრივია შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების მოთავსება აღმავალი რიგი. ამიტომ, ჩვენ ვიწყებთ ყველაზე მცირე მოგებით, კერძოდ, რუბლით.

სულ არის 50 - 12 = 38 ასეთი ბილეთი და შესაბამისად კლასიკური განმარტება:
არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით გათამაშებული ბილეთი არ მოიგებს.

დანარჩენი შემთხვევები მარტივია. რუბლის მოგების ალბათობაა:

და ამისთვის:

შემოწმება: - და ეს განსაკუთრებით სასიამოვნო მომენტია ასეთი დავალებების შესრულებისთვის!

უპასუხე: ანაზღაურების განაწილების საჭირო კანონი:

შემდეგი ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად:

ალბათობა იმისა, რომ მსროლელი მოხვდება მიზანში არის . შეადგინეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადისთვის - დარტყმების რაოდენობა 2 გასროლის შემდეგ.

... ვიცოდი რომ მოგენატრე 🙂 გვახსოვს გამრავლებისა და შეკრების თეორემები. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

განაწილების კანონი სრულად აღწერს შემთხვევით ცვლადს, მაგრამ პრაქტიკაში სასარგებლოა (და ზოგჯერ უფრო სასარგებლო) მხოლოდ ზოგიერთის ცოდნა. რიცხვითი მახასიათებლები .

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი

მარტივი სიტყვებით, ეს საშუალო მოსალოდნელი ღირებულებაგანმეორებითი ტესტირებით. დაე, შემთხვევითმა ცვლადმა მიიღოს მნიშვნელობები ალბათობით, შესაბამისად. მაშინ ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის სამუშაოების ჯამიყველა მისი მნიშვნელობა შესაბამისი ალბათობით:

ან დაკეცილი ფორმით:

გამოვთვალოთ, მაგალითად, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი - კამათელზე დავარდნილი ქულების რაოდენობა:

რა არის მიღებული შედეგის ალბათური მნიშვნელობა? თუ საკმარისად გადაატრიალებთ მადას, მაშინ ნიშნავსდავარდნილი ქულები 3.5-თან ახლოს იქნება - და რაც უფრო მეტ ტესტს გააკეთებთ, მით უფრო ახლოსაა. სინამდვილეში, ამ ეფექტზე უკვე დეტალურად ვისაუბრე გაკვეთილზე სტატისტიკური ალბათობა.

ახლა გავიხსენოთ ჩვენი ჰიპოთეტური თამაში:

ჩნდება კითხვა: არის თუ არა მომგებიანი ამ თამაშის თამაში? ... ვის აქვს შთაბეჭდილებები? ასე რომ, თქვენ არ შეგიძლიათ თქვათ "გაურკვეველი"! მაგრამ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა მარტივად შეიძლება მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლით, არსებითად - საშუალო შეწონილიგამარჯვების ალბათობა:

ამრიგად, ამ თამაშის მათემატიკური მოლოდინი კარგავს.

არ ენდოთ შთაბეჭდილებებს - ენდეთ ციფრებს!

დიახ, აქ თქვენ შეგიძლიათ მოიგოთ ზედიზედ 10 ან თუნდაც 20-30-ჯერ, მაგრამ გრძელვადიან პერსპექტივაში ჩვენ აუცილებლად დაგვანგრევთ. და მე არ გირჩევდი ასეთი თამაშების თამაშს 🙂 კარგი, შეიძლება მხოლოდ გასართობად.

ყოველივე ზემოთქმულიდან გამომდინარეობს, რომ მათემატიკური მოლოდინი არ არის შემთხვევითი მნიშვნელობა.

კრეატიული დავალება დამოუკიდებელი კვლევისთვის:

ბატონი X თამაშობს ევროპულ რულეტს შემდეგი სისტემით: ის მუდმივად დებს 100 მანეთს წითელზე. შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - მისი ანაზღაურება. გამოთვალეთ მოგების მათემატიკური მოლოდინი და დააბრუნეთ იგი კაპიკამდე. Როგორ საშუალოაგებს მოთამაშე ყოველ ას ფსონზე?

მითითება : ევროპული რულეტკა შეიცავს 18 წითელ, 18 შავ და 1 მწვანე სექტორს ("ნულოვანი"). „წითლის“ ამოვარდნის შემთხვევაში მოთამაშეს ედება ორმაგი ფსონი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის მიდის კაზინოს შემოსავალზე.

არსებობს მრავალი სხვა რულეტის სისტემა, რომლისთვისაც შეგიძლიათ შექმნათ თქვენი საკუთარი ალბათობის ცხრილები. მაგრამ ეს ის შემთხვევაა, როდესაც ჩვენ არ გვჭირდება განაწილების კანონები და ცხრილები, რადგან დანამდვილებით დადგენილია, რომ მოთამაშის მათემატიკური მოლოდინი ზუსტად იგივე იქნება. იცვლება მხოლოდ სისტემიდან სისტემაში დისპერსიას, რომლის შესახებაც გაკვეთილის მე-2 ნაწილში გავეცნობით.

მანამდე კი სასარგებლო იქნება თითების გაჭიმვა კალკულატორის კლავიშებზე:

შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია საკუთარი ალბათობის განაწილების კანონით:

იპოვეთ თუ ცნობილია, რომ. შეასრულეთ შემოწმება.

შემდეგ მივმართავთ კვლევას დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიადა თუ შესაძლებელია, ᲔᲮᲚᲐ!!- თემის თემა რომ არ დავკარგოთ.

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 3 გამოსავალი: პირობით - მიზანში მოხვედრის ალბათობა. შემდეგ:
არის გაცდენის ალბათობა.

მოდით გავაკეთოთ - ორ გასროლაზე დარტყმების განაწილების კანონი:

- არც ერთი დარტყმა. ავტორი დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემა:

- ერთი დარტყმა. ავტორი შეუთავსებლობის ალბათობების მიმატებისა და დამოუკიდებელი მოვლენების გამრავლების თეორემები:

- ორი დარტყმა. დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით:

შეამოწმეთ: 0.09 + 0.42 + 0.49 = 1

უპასუხე :

შენიშვნა : შესაძლებელი იყო აღნიშვნების გამოყენება - ეს არ არის მნიშვნელოვანი.

მაგალითი 4 გამოსავალი: მოთამაშე იგებს 100 რუბლს 18 შემთხვევაში 37-დან და, შესაბამისად, მისი მოგების განაწილების კანონს აქვს შემდეგი ფორმა:

გამოვთვალოთ მათემატიკური მოლოდინი:

ამრიგად, ყოველი ასი ფსონის შემთხვევაში, მოთამაშე კარგავს საშუალოდ 2,7 რუბლს.

მაგალითი 5 გამოსავალი: მათემატიკური მოლოდინის განმარტებით:

მოდით გავცვალოთ ნაწილები და გავამარტივოთ:

ამგვარად:

მოდით შევამოწმოთ:

, რომელიც გადამოწმებული იყო.

უპასუხე :

(გადადით მთავარ გვერდზე)

ხარისხიანი სამუშაო პლაგიატის გარეშე - Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადები

Შემთხვევითი ცვლადიეწოდება ცვლადი, რომელიც ყოველი ტესტის შედეგად იღებს ერთ ადრე უცნობ მნიშვნელობას, შემთხვევითი მიზეზების მიხედვით. შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ მათი ტიპის მიხედვით, შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება იყოს დისკრეტულიდა უწყვეტი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი- ეს არის ისეთი შემთხვევითი ცვლადი, რომლის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს არაუმეტეს თვლადი, ანუ სასრული ან თვლადი. დათვლა ნიშნავს, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები შეიძლება ჩამოთვალოს.

მაგალითი 1 . მოდით მოვიყვანოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

ა) მიზანზე დარტყმების რაოდენობა $n$ გასროლით, აქ შესაძლო მნიშვნელობებია $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

ბ) გერბების რაოდენობა, რომლებიც ამოვარდა მონეტის სროლისას, აქ შესაძლო მნიშვნელობებია $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

გ) გემების რაოდენობა, რომლებიც ჩამოვიდნენ გემზე (მნიშვნელობების დასათვლელი ნაკრები).

დ) ბირჟაზე შემოსული ზარების რაოდენობა (მნიშვნელობების დასათვლელი ნაკრები).

1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი.

დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობები $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$. ამ მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობას შორის შესაბამისობა ეწოდება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი. როგორც წესი, ეს კორესპონდენცია მითითებულია ცხრილის გამოყენებით, რომლის პირველ სტრიქონში მითითებულია $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობები, ხოლო მეორე სტრიქონში ამ მნიშვნელობების შესაბამისი ალბათობაა $. p_1, \ წერტილები, \ p_n$.

$\ იწყება
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \წერტილები & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \წერტილები & p_n \\
\hline
\დასასრული$

მაგალითი 2 . დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს კამათლის გაშვებისას გაშვებული ქულების რაოდენობა. ასეთ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5, \ 6$. ყველა ამ მნიშვნელობის ალბათობა უდრის $1/6$-ს. შემდეგ ალბათობის განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადის $X$-ისთვის:

$\ იწყება
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\დასასრული$

კომენტარი. ვინაიდან მოვლენები $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს $X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონში, ალბათობათა ჯამი უნდა იყოს ერთის ტოლი, ანუ $\sum.

2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინიგანსაზღვრავს მის "ცენტრალურ" მნიშვნელობას. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინი გამოითვლება, როგორც $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობების ნამრავლების ჯამი და ამ მნიშვნელობების შესაბამისი $p_1,\dots,\ p_n$ ალბათობები, ე.ი. $M\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)=\ჯამმა ^n_ $. ინგლისურ ლიტერატურაში გამოიყენება სხვა აღნიშვნა $E\left(X\right)$.

მოლოდინის თვისებები$M\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)$:

$M\left(X\right)$ არის $X$ შემთხვევითი ცვლადის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს შორის.
მუდმივის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია თავად მუდმივის, ე.ი. $M\left(C\right)=C$.
მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

მაგალითი 3 . მოდი ვიპოვოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი მაგალითიდან $2$.

ჩვენ შეგვიძლია შევამჩნიოთ, რომ $M\left(X\right)$ არის $X$ შემთხვევითი ცვლადის უმცირეს ($1$) და უდიდეს ($6$) მნიშვნელობებს შორის.

მაგალითი 4 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის $M\left(X\right)=2$. იპოვეთ $3X+5$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით მივიღებთ $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

მაგალითი 5 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის $M\left(X\right)=4$. იპოვეთ $2X-9$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით მივიღებთ $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია.

შემთხვევითი ცვლადების შესაძლო მნიშვნელობები თანაბარი მათემატიკური მოლოდინებით შეიძლება განსხვავებულად გაიფანტოს მათი საშუალო მნიშვნელობების გარშემო. მაგალითად, ორ სტუდენტურ ჯგუფში, ალბათობის თეორიის გამოცდის საშუალო ქულა აღმოჩნდა 4, მაგრამ ერთ ჯგუფში ყველა კარგი მოსწავლე აღმოჩნდა, ხოლო მეორე ჯგუფში - მხოლოდ C და წარჩინებული სტუდენტები. აქედან გამომდინარე, საჭიროა შემთხვევითი ცვლადის ისეთი რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც აჩვენებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების გავრცელებას მისი მათემატიკური მოლოდინის გარშემო. ეს მახასიათებელია დისპერსიულობა.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია$X$ არის:

ინგლისურ ლიტერატურაში გამოიყენება აღნიშვნა $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. ძალიან ხშირად $D\left(X\right)$ დისპერსია გამოითვლება ფორმულით $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

დისპერსიული თვისებები$D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)$:

დისპერსია ყოველთვის მეტია ან ტოლია ნულის, ე.ი. $D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)\ge 0$.
მუდმივიდან დისპერსია ნულის ტოლია, ე.ი. $D\მარცხნივ(C\მარჯვნივ)=0$.
მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნეს დისპერსიის ნიშნიდან, იმ პირობით, რომ ის კვადრატშია, ე.ი. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\მარჯვნივ)$.
დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს, ე.ი. $D\left(X+Y\right)=D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)+D\მარცხნივ(Y\მარჯვნივ)$.
დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების სხვაობის დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს, ე.ი. $D\left(X-Y\right)=D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)+D\მარცხნივ(Y\მარჯვნივ)$.

მაგალითი 6 . მოდით გამოვთვალოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია მაგალითიდან $2$.

მაგალითი 7 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია უდრის $D\left(X\right)=2$. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის $4X+1$.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვით $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ მარცხენა(X\მარჯვნივ)=16\cdot 2=32$.

მაგალითი 8 . ცნობილია, რომ $X$-ის დისპერსია უდრის $D\left(X\right)=3$. იპოვეთ $3-2X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიული.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვით $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ მარცხენა(X\მარჯვნივ)=4\cdot 3=12$.

4. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიის სახით წარმოდგენის მეთოდი არ არის ერთადერთი და რაც მთავარია, ის არ არის უნივერსალური, რადგან უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დაზუსტება განაწილების სერიის გამოყენებით შეუძლებელია. არსებობს შემთხვევითი ცვლადის წარმოდგენის კიდევ ერთი გზა - განაწილების ფუნქცია.

განაწილების ფუნქციაშემთხვევითი ცვლადი $X$ არის ფუნქცია $F\left(x\right)$, რომელიც განსაზღვრავს ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მიიღოს ნაკლები მნიშვნელობა, ვიდრე ფიქსირებული $x$, ანუ $F\left(x\). მარჯვნივ)$ )=P\მარცხნივ(X 6$, შემდეგ $F\მარცხნივ(x\მარჯვნივ)=P\მარცხნივ(X=1\მარჯვნივ)+P\მარცხნივ(X=2\მარჯვნივ)+P\მარცხნივ( X=3 \მარჯვნივ)+P\მარცხნივ(X=4\მარჯვნივ)+P\მარცხნივ(X=5\მარჯვნივ)+P\მარცხნივ (X=6\მარჯვნივ)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

განაწილების ფუნქციის გრაფიკი $F\left(x\right)$:

განაწილების ძირითადი კანონები

1. ბინომალური განაწილების კანონი.

ბინომალური განაწილების კანონი აღწერს მოვლენის დადგომის ალბათობას A m-ჯერ n დამოუკიდებელ ცდაში, იმ პირობით, რომ ყოველ ცდაში A მოვლენის p დადგომის ალბათობა მუდმივია.

მაგალითად, ტექნიკის მაღაზიის გაყიდვების განყოფილება იღებს, საშუალოდ, ერთ შეკვეთას ტელევიზორების შესაძენად 10 ზარში. დაწერეთ ალბათობის განაწილების კანონი m ტელევიზორების შესაძენად. ააგეთ ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედი.

ცხრილში m არის კომპანიის მიერ ტელევიზორის შესაძენად მიღებული შეკვეთების რაოდენობა. C n m არის m ტელევიზორების კომბინაციების რაოდენობა n-ით, p არის A მოვლენის დადგომის ალბათობა, ე.ი. ტელევიზორის შეკვეთა, q არის ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A არ მოხდება, ე.ი. ტელევიზორის შეუკვეთა, P m,n არის ალბათობა, რომ შეუკვეთოთ m ტელევიზორი n-დან. ნახაზი 1 გვიჩვენებს ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედს.

2.გეომეტრიული განაწილება.

შემთხვევითი ცვლადის გეომეტრიულ განაწილებას აქვს შემდეგი ფორმა:

P m არის A მოვლენის დადგომის ალბათობა საცდელ ნომერში m.
p არის მოვლენის A მოვლენის ალბათობა ერთ ცდაში.
q = 1 - გვ

მაგალითი. საყოფაცხოვრებო ტექნიკის სარემონტო კომპანიამ მიიღო სარეცხი მანქანების 10 შემცვლელი ერთეულის პარტია. არის შემთხვევები, როდესაც პარტია შეიცავს 1 დეფექტურ ბლოკს. შემოწმება ტარდება დეფექტური ბლოკის აღმოჩენამდე. აუცილებელია შემოწმებული ბლოკების რაოდენობის განაწილების კანონის შედგენა. ალბათობა იმისა, რომ ბლოკი შეიძლება იყოს დეფექტური არის 0.1. ააგეთ ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედი.

ცხრილიდან ჩანს, რომ m რიცხვის მატებასთან ერთად მცირდება დეფექტური ბლოკის გამოვლენის ალბათობა. ბოლო სტრიქონი (m=10) აერთიანებს ორ ალბათობას: 1 - რომ მეათე ბლოკი გაუმართავი აღმოჩნდა - 0,038742049 , 2 - რომ ყველა შემოწმებული ბლოკი აღმოჩნდა გამოსადეგი - 0,34867844. ვინაიდან ბლოკის მარცხის ალბათობა შედარებით დაბალია (p=0.1), ბოლო მოვლენის Pm (10 გამოცდილი ბლოკი) ალბათობა შედარებით მაღალია. ნახ.2.

3. ჰიპერგეომეტრიული განაწილება.

შემთხვევითი ცვლადის ჰიპერგეომეტრიულ განაწილებას აქვს შემდეგი ფორმა:

მაგალითად, შეადგინეთ 49-დან 7 გამოცნობილი რიცხვის განაწილების კანონი, ამ მაგალითში ამოღებულია ჯამური რიცხვები N=49, n=7 რიცხვი, M - ჯამური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მოცემული თვისება, ე.ი. სწორად გამოცნობილი რიცხვები, m არის სწორად გამოცნობილი რიცხვების რაოდენობა ამოღებულთა შორის.

ცხრილიდან ჩანს, რომ ერთი რიცხვის გამოცნობის ალბათობა m=1 მეტია, ვიდრე m=0. თუმცა, მაშინ ალბათობა იწყებს სწრაფად კლებას. ამრიგად, 4 რიცხვის გამოცნობის ალბათობა უკვე 0,005-ზე ნაკლებია, 5 კი უმნიშვნელო.

4. პუასონის განაწილების კანონი.

X შემთხვევით ცვლადს აქვს პუასონის განაწილება, თუ მისი განაწილების კანონს აქვს ფორმა:

Np = კონსტ
n არის უსასრულობისკენ მიდრეკილი ცდების რაოდენობა
p არის მოვლენის დადგომის ალბათობა, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ
m არის A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა

მაგალითად, ტელეკომპანია დღეში საშუალოდ 100-მდე ზარს იღებს. A ბრენდის ტელევიზორის შეკვეთის ალბათობა არის 0,08; B - 0.06 და C - 0.04. შეადგინეთ A, B და C ბრენდების ტელევიზორების შესყიდვის შეკვეთების განაწილების კანონი. ააგეთ ალბათობის განაწილების პოლიგონი.

მდგომარეობიდან გვაქვს: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)

(ცხრილი არ არის სრული)

თუ n საკმარისად დიდია უსასრულობამდე მისასვლელად და p-ის მნიშვნელობა მიდის ნულამდე, ასე რომ, ნამრავლი np მიდის მუდმივ რიცხვამდე, მაშინ ეს კანონი არის ბინომალური განაწილების კანონის მიახლოება. გრაფიკიდან ჩანს, რომ რაც მეტია p ალბათობა, მით უფრო ახლოს არის მრუდი m ღერძთან, ე.ი. უფრო ნაზი. (ნახ.4)

უნდა აღინიშნოს, რომ ბინომალური, გეომეტრიული, ჰიპერგეომეტრიული და პუასონის განაწილების კანონები გამოხატავს დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილებას.

5. ერთიანი განაწილების კანონი.

თუ ალბათობის სიმკვრივე? (x) არის მუდმივი მნიშვნელობა გარკვეულ ინტერვალზე, მაშინ განაწილების კანონს ეწოდება ერთგვაროვანი. ნახაზი 5 გვიჩვენებს ალბათობის განაწილების ფუნქციის გრაფიკებს და ერთგვაროვანი განაწილების კანონის ალბათობის სიმკვრივეს.

6. ნორმალური განაწილების კანონი (გაუსის კანონი).

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონებს შორის ყველაზე გავრცელებულია ნორმალური განაწილების კანონი. შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება ნორმალური განაწილების კანონის მიხედვით, თუ მისი ალბათობის სიმკვრივეს აქვს ფორმა:

სადაც
a არის შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი
? - სტანდარტული გადახრა

ნორმალური განაწილების კანონის მქონე შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკი სიმეტრიულია x=a სწორი ხაზის მიმართ, ანუ x ტოლია მათემატიკური მოლოდინისა. ამრიგად, თუ x=a, მაშინ მრუდს აქვს მაქსიმალური ტოლი:

როდესაც მათემატიკური მოლოდინის მნიშვნელობა იცვლება, მრუდი გადაინაცვლებს Ox ღერძის გასწვრივ. გრაფიკი (ნახ. 6) აჩვენებს, რომ x=3-ზე მრუდს აქვს მაქსიმუმი, რადგან მათემატიკური მოლოდინი არის 3. თუ მათემატიკური მოლოდინი მიიღებს სხვა მნიშვნელობას, მაგალითად, a=6, მაშინ მრუდს ექნება მაქსიმალური x=6. სტანდარტულ გადახრაზე საუბრისას, როგორც გრაფიკიდან ხედავთ, რაც უფრო დიდია სტანდარტული გადახრა, მით უფრო მცირეა შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის მაქსიმალური მნიშვნელობა.

ფუნქცია, რომელიც გამოხატავს შემთხვევითი ცვლადის განაწილებას ინტერვალზე (-?, x) და აქვს ნორმალური განაწილების კანონი, გამოიხატება ლაპლასის ფუნქციის მეშვეობით შემდეგი ფორმულის მიხედვით:

იმათ. შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობა შედგება ორი ნაწილისგან: ალბათობა, სადაც x იღებს მნიშვნელობებს მინუს უსასრულობიდან a-მდე, ტოლია 0,5-მდე, ხოლო მეორე ნაწილი არის a-დან x-მდე. (ნახ.7)

ერთად სწავლა

სტუდენტებისთვის გამოსადეგი მასალები, სადიპლომო და საკურსო ნაშრომები შეკვეთით

გაკვეთილი: დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონიარის შესაბამისობა შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობას შორის. მისი დაზუსტება შესაძლებელია ცხრილად, გრაფიკულად და ანალიტიკურად.

რა არის შემთხვევითი ცვლადი, განხილულია ამ გაკვეთილზე.

დაყენების ტაბულური გზით, ცხრილის პირველი სტრიქონი შეიცავს შესაძლო მნიშვნელობებს, ხოლო მეორე მათ ალბათობას, ანუ

ამ რაოდენობას ეწოდება განაწილების სერია. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი.

X=x1, X=x2, X=xn ქმნიან სრულ ჯგუფს, ვინაიდან ერთ საცდელში შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ერთ და მხოლოდ ერთ შესაძლო მნიშვნელობას. მაშასადამე, მათი ალბათობების ჯამი უდრის ერთს, ანუ p1 + p2 + pn = 1 ან

თუ X-ის მნიშვნელობების სიმრავლე უსასრულოა, მაშინ მაგალითი 1. ნაღდი ფულის ლატარიაში გაცემულია 100 ბილეთი. თამაშდება ერთი მოგება 1000 რუბლიდან და 10 100 რუბლიდან. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - ერთი ლატარიის ბილეთის მფლობელის შესაძლო მოგების ღირებულება.

სასურველ განაწილების კანონს აქვს ფორმა:

კონტროლი; 0.01+0.1+0.89=1.
განაწილების კანონის დადგენის გრაფიკული მეთოდით, წერტილები აგებულია კოორდინატულ სიბრტყეზე (Xi: Pi), შემდეგ კი მათ უერთდებიან სწორი ხაზის სეგმენტებით. შედეგად გატეხილი ხაზი ე.წ განაწილების პოლიგონი.მაგალითად 1, განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახაზ 1-ში.

განაწილების კანონის დადგენის ანალიზურ მეთოდში მითითებულია ფორმულა, რომელიც აკავშირებს შემთხვევითი ცვლადის ალბათობას მის შესაძლო მნიშვნელობებთან.

დისკრეტული განაწილების მაგალითები

ბინომალური განაწილება

მოდით გაკეთდეს n ცდა, რომელთაგან თითოეულში მოვლენა A ხდება მუდმივი ალბათობით p, შესაბამისად, არ ხდება მუდმივი ალბათობით. ქ = 1- გვ. განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი X- A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა ამ n ცდაში. X-ის შესაძლო მნიშვნელობებია x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. ამის ალბათობა შესაძლებელია

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ეწოდება Windows XP Word 2003 Excel 2003 დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონები დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ნებისმიერი კავშირი, რომელიც ადგენს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებს შორის. და […]

შპს ორგანიზაცია "Housing AND CONSTRUCTION EXPERTIZA" ჩართულია მცირე და საშუალო ბიზნესის რეესტრში: 01/08/2016, როგორც მიკრო საწარმო იურიდიული მისამართი: 150047, YAROSLAVSKAYA REGION, YAROSLAVL G, BELINSKOFF251. OKFS: 16 - OKOGU-ს კერძო საკუთრება: 4210014 - დაარსებული ორგანიზაციები […]

მეორე ჯგუფის ინვალიდთა პენსია 2018 წელს რუსეთის ფედერაციაში ინვალიდობის ნებისმიერი ფორმის მინიჭება რუსეთის ფედერაციაში ხდება მხოლოდ სამედიცინო და სოციალური მაჩვენებლების მიხედვით. მეორე კატეგორიის ინვალიდობა მიეკუთვნება იმ ადამიანებს, რომლებიც ითვლებიან ინვალიდებად, მაგრამ არ საჭიროებენ მუდმივ მოვლას. ასეთ მოქალაქეებს უფლება აქვთ მიიღონ […]

თვისებების მონოგენური მემკვიდრეობა. აუტოსომური და სქესთან დაკავშირებული მემკვიდრეობა იმის გამო, რომ ორგანიზმის კარიოტიპი არის ქრომოსომების დიპლოიდური ნაკრები, სომატურ უჯრედებში გენების უმეტესობა წარმოდგენილია ალელური წყვილებით. ალელური გენები, რომლებიც განლაგებულია ჰომოლოგიური ქრომოსომების შესაბამის რეგიონებში, ურთიერთქმედებენ […]

მტკიცებულება მტკიცების სახეები დავის ალგორითმი არგუმენტაციის ლოგიკური ანალიზისთვის 1. მონიშნეთ ნაშრომი ტექსტში 2. მონიშნეთ არგუმენტები, დაადგინეთ მათი სანდოობა 3. მონიშნეთ არგუმენტაციის ფორმა, დაადგინეთ არგუმენტებისა და თეზისის ლოგიკური კავშირის სიმკაცრე 4. მიეცით დასკვნა არგუმენტაციის ბუნების შესახებ, […]

რუსეთის ფედერაციის ტრანსპორტის სამინისტროს N 124, რუსეთის ფედერაციის იუსტიციის სამინისტროს N 315, რუსეთის ფედერაციის შინაგან საქმეთა სამინისტროს N 817, რუსეთის ფედერაციის ჯანმრთელობისა და სოციალური განვითარების სამინისტროს N 714 10/17 /2006 წ. „ტექნიკოსების პროფესიული სერტიფიცირების პირობებისა და პროცედურების დამტკიცების შესახებ, რომლებიც ახორციელებენ მანქანების დამოუკიდებელ ტექნიკურ ექსპერტიზას, მათ შორის მოთხოვნები ექსპერტების ტექნიკოსებისთვის“ რეგისტრირებული […]

რუსეთის ფედერაციის საკანონმდებლო ბაზა უფასო კონსულტაცია ფედერალური კანონმდებლობა ...]

ორგანიზაცია OJSC "NEFTEL" მისამართი: G SAMARA, STR.VENTSEKA, D 81 იურიდიული მისამართი: 443020, G SAMARA, STR.VENTSEKA, D 81 OKFS: 42 - შერეული რუსული საკუთრება რუსეთის შემადგენელი სუბიექტების საკუთრებაში. ფედერაცია OKOGU: 4210014 - იურიდიული პირების ან მოქალაქეების, ან იურიდიული პირების მიერ შექმნილი ორგანიზაციები და […]