პრეზენტაცია - წილადები ბაბილონში, რომში, ეგვიპტეში - ათობითი წილადების აღმოჩენა. წილადები: წილადების ისტორია. საერთო წილადების ისტორია საერთო წილადების წერა

ფრაქციები ძველ რომში. წილადების საინტერესო სისტემა იყო ძველ რომში. მას ეფუძნებოდა წონის ერთეულის 12 ნაწილად დაყოფა, რომელსაც ეძახდნენ. ტუზის მეთორმეტეს უნცია ერქვა. და გზა, დრო და სხვა რაოდენობები შეადარეს ვიზუალურ ნივთს - წონას. მაგალითად, რომაელს შეუძლია თქვას, რომ მან შვიდი უნცია გზა გაიარა ან წიგნი წაიკითხა. ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, საუბარი არ იყო გზის ან წიგნის აწონვაზე. ეს იმას ნიშნავდა, რომ გზის 7/12 იყო დაფარული ან წიგნის 5/12 წაკითხული. ხოლო წილადებისთვის, რომლებიც მიღებულ იქნა 12-იანი მნიშვნელის მქონე წილადების შემცირებით ან მეთორმეტეების უფრო მცირედ გაყოფით, იყო სპეციალური სახელები.

მათემატიკა მე-6 კლასი

„რევოლუციის კონუსის სხეული“ - კონუსი. მართკუთხა სამკუთხედის r მეორე ფეხი არის რადიუსი კონუსის ძირში. კონუსის გენერატორების გაერთიანებას ეწოდება კონუსის გენერატრიქსი (ან გვერდითი) ზედაპირი. ფუძის ზედა და საზღვრის დამაკავშირებელ სეგმენტს კონუსის გენერატრიქსი ეწოდება. სკანირება. სექტორის კუთხე კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარებაში განისაზღვრება ფორმულით: ? = 360° (რ/ლ). კონუსის გენერატორი არის კონუსური ზედაპირი.

"მათემატიკური ტვინის ბეჭედი" - ჟიურის არჩევანი. გამოცდა. ინექცია. სამკუთხედი და კვადრატი. პროცენტი. მოიფიქრეთ მათემატიკური ცნებები. კონუსი. რამდენი ჭრა გააკეთე? შეცდომები. დარეკეთ. სერიოზული თემა. გუნდი. ფრაქცია. კაპიტნების შეჯიბრი. რა არის უფრო მძიმე ვიდრე ერთი კილოგრამი ლურსმანი ან ბამბა. ანაგრამა. ტურნირის მაგიდა. Გახურება. Ხუთი წუთი. ანაგრამები. სანტიმეტრი. ბრძანების პრეზენტაცია. რიცხვი, რომელიც არც მარტივია და არც შედგენილი. უმცირესი ნატურალური რიცხვი.

"პარალელური ხაზები თვითმფრინავზე" - პაპუსი (ახ. წ. III ს.). თანამედროვე განმარტება. (ევკლიდე). პარალელური ხაზების განსხვავებული განმარტებები... ცხოვრებაში ხშირად ვხვდებით პარალელურობის ცნებას. "ორი ხაზი ერთსა და იმავე სიბრტყეში დევს და ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზეა." მატარებლის ავარია. მოკლე ჩართვა, დენი არ არის. პარალელური ხაზების ისტორიიდან. W. Outred (1575-1660). დაიწყო. ევკლიდე (ძვ.წ. XII საუკუნეში). პარალელურია პართენონის (ძველი საბერძნეთი, ძვ. წ. 447-438 წწ.) სვეტებიც.

„გაზომვის ერთეულები“ ​​– საზომი ერთეულები. დროის ერთეულები. ამოცანები დროის ერთეულების თანაფარდობისთვის. ამოცანები სიგრძის ერთეულებისთვის. რომელ საუკუნეში გაუქმდა ბატონობა რუსეთში. პიგმე მაიმუნის სხეულის სიგრძე. სიგრძის ერთეული. ფართობის ერთეულები. მოცულობის ერთეული. აკვარიუმის ზომები.

"პრობლემები ფიგურების ფართობზე" - პირდაპირი გამოთქმა S და P-ს საპოვნელად. ჩამოწერეთ ფორმულები ფიგურების ფართობისა და პერიმეტრისთვის. მართკუთხა პარალელეპიპედი. ბაღის მიწის ნაკვეთი შემოღობილია. იყიდა 39 მ ხალიჩა. იპოვეთ მთელი ფიგურის S და P. კვადრატი და მართკუთხედი. საცხოვრებელი კორპუსის ასაშენებლად გამოყოფილია მიწის ნაკვეთი. იპოვეთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი. კურორტს აქვს საცურაო აუზი. პარალელეპიპედი. ბავშვთა ოთახში იატაკი უნდა იყოს იზოლირებული ხალიჩით.

"ურთიერთობა მათემატიკაში" - ან რა ნაწილია პირველი რიცხვი მეორედან. Გახურება. რას აჩვენებს ორი რიცხვის შეფარდება? მეგობრული ურთიერთობა. რამდენჯერ მეტია პირველი რიცხვი მეორეზე. რას აჩვენებს დამოკიდებულება? მასწავლებელი მკაცრია მოსწავლეების მიმართ. რა ნაწილია მეორის პირველი რიცხვი. სიგრძის თანაფარდობა. Ოჯახური ურთიერთობები. მასის თანაფარდობა. პასუხი ასევე შეიძლება დაიწეროს ათწილადად ან პროცენტულად. 5 მ სიგრძის ქსოვილს 2 მ ამოჭრეს, ნაჭრის რა ნაწილი ამოჭრეს?

1 სლაიდი

2 სლაიდი

* * http://aida.ucoz.ru ჰორაციუსი "პოეზიის მეცნიერებიდან" "ალბინის ძე! მითხარი, თუ ავიღებთ ხუთ უნციას და გამოვაკლებთ ერთს, რა რჩება? - "ტუზის მესამე ნაწილი". „მშვენიერია! აბა, შენს ქონებას არ გაფლანგავ! და თუ ერთს დავუმატებთ წინა ხუთს, რამდენი იქნება ჯამი? - "ნახევარი". (თარგმნა მ. დმიტრიევმა.) http://aida.ucoz.ru

3 სლაიდი

* http://aida.ucoz.ru * ახალგაზრდა რომა მართალი იყო! ამ ამოცანის გადაწყვეტისას მივიღეთ ასევე: 5/12-1/12=1/3; 5/12+1/12=1/2. http://aida.ucoz.ru

4 სლაიდი

* http://aida.ucoz.ru "ზედმიწევნით" სინონიმები: ზუსტი, დახვეწილი, ფრთხილი, ზუსტი, კეთილსინდისიერი, სამკაულები, პუნქტუალური, პედანტი, ფილიგრანი, გამოტოვებული. და ეს უცნაური სიტყვა "სკრუპულოზურად" მოდის რომაული სახელიდან 1/288 assa - "scrupulus". http://aida.ucoz.ru

5 სლაიდი

* http://aida.ucoz.ru * ხმარებაში იყო ასეთი სახელებიც: "ნახევრად" - ასოს ნახევარი, "სექსტანები" - მეექვსე, "შვიდი უნცია" - ნახევარი უნცია, ანუ 1. /24 ტრაკი და ა.შ .დ. საერთო ჯამში გამოყენებულია წილადების 18 სხვადასხვა სახელწოდება. წილადებთან მუშაობისთვის საჭირო იყო შეკრების ცხრილის და გამრავლების ცხრილის დამახსოვრება. მაშასადამე, რომაელმა ვაჭრებმა დანამდვილებით იცოდნენ, რომ ტრიენსის (1/3 ტრაკი) და სექსტანების დამატებისას მიიღება ნახევარი, ხოლო როდესაც ბესი (2/3 ტრაკი) მრავლდება სესკუციაზე (2/3 უნცია, ე.ი. 1/8 ტრაკი), მიიღება უნცია. სამუშაოს გასაადვილებლად შედგენილია სპეციალური ცხრილები, რომელთაგან ზოგიერთი ჩვენამდე მოვიდა. http://aida.ucoz.ru

6 სლაიდი

გამარჯვების შემდეგ გაიუს იულიუს კეისარმა გადაწყვიტა დაეჯილდოებინა თავისი ავანგარდი და გამოყო მათ ჯერ 24 უნცია, შემდეგ კი კიდევ 36 უნცია. რამდენი ტუზი მიიღო რაზმმა? გადაწყვეტილება: 24 უნცია არის 2 ვირი, ხოლო 36 უნცია არის 3 ვირი, 3 + 2 = 5 ვირი მიიღო რაზმმა. პასუხი: 5 ტრაკი. მიშა ივანოვის პრობლემა

7 სლაიდი

ანჯელინა გლიბინას დავალება ძველ რომში, მეომრები, რომლებმაც ძალა და გამბედაობა გამოიჩინეს ბრძოლაში, საპატიო დაჯილდოვდნენ. რამდენი ტუზი დასჭირდა 6 მეომრის დაჯილდოებას, თუ თითოეულს მიეცა 2 ტუზი და 6 უნცია. ამოხსნა: ვამრავლებთ 6-ს 2 ვირზე, მივიღებთ 12 ვირს - ეს მოცემულია მხოლოდ 6 მეომრისთვის, შემდეგ ვამრავლებთ 6-ს 6-ზე, მივიღებთ 36 უნციას და ერთ ვირში - 12 უნციას, მივიღებთ 3 ვირს, დავამატებთ 3-ს. 12, ვიღებთ 15 ვირს. პასუხი: 15 ასლი.

3.1.1. წილადების წარმოშობის შესახებ.

წილადი რიცხვების საჭიროება წარმოიშვა ადამიანის პრაქტიკული საქმიანობის შედეგად. ერთეულის წილების პოვნის აუცილებლობა ჩვენს წინაპრებს შორის გაჩნდა ნადირობის შემდეგ ნადირის გაყოფისას. წილადი რიცხვების გამოჩენის მეორე მნიშვნელოვანი მიზეზი უნდა ჩაითვალოს რაოდენობების გაზომვა არჩეული საზომი ერთეულის გამოყენებით.

ასე დაიბადა წილადები.

წილადი რიცხვის განვითარების ისტორიაში ვხვდებით სამი ტიპის წილადებს:

1) წილადები ან ერთეული წილადები, რომლებშიც მრიცხველი ერთია, მაგრამ მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი;

2) სისტემატური წილადები, რომლებშიც მრიცხველები შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელები შეიძლება იყოს მხოლოდ გარკვეული კონკრეტული ტიპის რიცხვები, მაგალითად, ხარისხები ათი ან სამოცი;

3) ზოგადი ფორმის წილადები, რომლებშიც მრიცხველები და მნიშვნელები შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი.

ამ სამი განსხვავებული ტიპის წილადის გამოგონებამ კაცობრიობისთვის სხვადასხვა სირთულის ხარისხი წარმოადგინა, ამიტომ სხვადასხვა ეპოქაში ჩნდება სხვადასხვა ტიპის წილადები.

წილადი რიცხვების ადამიანის გაცნობა დაიწყო მცირე მნიშვნელის მქონე ერთეული წილადებით.

"ნახევარი", "მესამე", "მეოთხედი", "რვა" ცნებებს ხშირად იყენებენ ადამიანები, რომლებსაც არასოდეს უსწავლიათ წილადი რიცხვების არითმეტიკა. ეს მარტივი წილადები ყოველმა ერმა დამოუკიდებლად გამოიგონა თავისი განვითარების პროცესში.

პირველი ფრაქცია, რომელიც ხალხს შეხვდა, ნახევარი იყო. მიუხედავად იმისა, რომ ყველა შემდეგი წილადის სახელები ასოცირდება მათი მნიშვნელების სახელებთან (სამი - "მესამე", ოთხი - "მეოთხედი" და ა.შ.), ეს ასე არ არის ნახევარზე - მის სახელს ყველა ენაზე არაფერი აქვს. რაც შეეხება სიტყვას „ორი“. შემდეგი ფრაქცია იყო მესამე.

ამგვარად, პირველი წილადები, რომლებსაც ისტორია გვაცნობს, არის ფორმის - - ეგრეთ წოდებული ერთეული წილადები ან ალიქვოტები (ლათინური aliquot - "რამდენიმე").

ერთეული წილადები გვხვდება ჩვენამდე მოღწეულ უძველეს მათემატიკურ ტექსტებში, რომლებიც შედგენილია 5000 წელზე მეტი ხნის წინ - ძველი ეგვიპტური პაპირუსები და ბაბილონის ლურსმული დაფები.

ძველ დროში ჩვეულებრივმა ფრაქციებმა მიაღწიეს უდიდეს განვითარებას ინდოეთში. ჩვენს წელთაღრიცხვამდე IV საუკუნით დათარიღებულ ხელნაწერებში გვხვდება არა მხოლოდ ცალკეული წილადები, არამედ თვითნებური მრიცხველების მქონე წილადებიც. VII საუკუნის დასაწყისში ინდიელებმა იცოდნენ და ჩამოაყალიბეს ჩვეულებრივი წილადებით მოქმედებების წესები. დასავლეთ ევროპაში, ჩვეულებრივი წილადების საბოლოოდ ჩამოყალიბებული და მკაფიო თეორია 1585 წელს მისცა ფლამანდიელმა ინჟინერმა სიმონ სტევინმა.

3.1.2. ფრაქციები ძველ ეგვიპტეში.

ძველ ეგვიპტეში არქიტექტურამ მიაღწია განვითარების მაღალ დონეს. გრანდიოზული პირამიდებისა და ტაძრების ასაგებად, ფიგურების სიგრძის, ფართობისა და მოცულობის გამოსათვლელად საჭირო იყო არითმეტიკის ცოდნა. პაპირუსზე გაშიფრული ინფორმაციის საფუძველზე მეცნიერებმა შეიტყვეს, რომ ეგვიპტელებს 4000 წლის წინ ჰქონდათ ათობითი (მაგრამ არა პოზიციური) რიცხვითი სისტემა, შეძლეს მრავალი პრობლემის გადაჭრა, რომლებიც დაკავშირებულია სამშენებლო, ვაჭრობა და სამხედრო საქმეებთან. მრავალი საუკუნის განმავლობაში ეგვიპტელები წილადებს „გატეხილ რიცხვებს“ უწოდებდნენ და პირველი წილადი, რომელიც მათ შეხვდნენ, იყო 1/2. მას მოჰყვა 1/4, 1/8, 1/16, ..., შემდეგ 1/3, 1/6, ..., ე.ი. უმარტივეს წილადებს ერთეულ წილადებს უწოდებენ. მათი მრიცხველი ყოველთვის ერთია.

ეგვიპტელები ცდილობდნენ დაეწერათ ყველა წილადი ერთეული წილადების (წილების) ჯამებად. მაგალითად, წერის ნაცვლად. ფრაქცია დაიწერა აქციების სახით: . ძალიან მოუხერხებელია რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება, ყოველ ჯერზე მათი დაშლა ერთის წილადების ჯამად. აქვს თუ არა ეგვიპტელების სიყვარულს ალიქვოტური წილადებისადმი რაიმე ახსნა?

ავხსნათ ეს მაგალითით. განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა: „გაყავით 7 პური 8 ადამიანზე“.

აი, როგორ წყდება ეს პრობლემა Rhind Papyrus-ზე, რომელიც ძველი ეგვიპტური მათემატიკური ტექსტია, რომელიც გადაწერილია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 1650 წელს. მწიგნობარი აჰმესი.

Იმდენად, რამდენადაც . ამიტომ თითოეულ ადამიანს უნდა მიეცეს პურის ნახევარი, მეოთხედი და მერვე. ახლა გასაგებია, რომ თქვენ უნდა გაჭრათ 4 პური შუაზე, 2 პური 4 ნაწილად და მხოლოდ ერთი პური 8 ნაწილად.

არაერთეული წილადების ცალ წილადებად გასაფართოებლად იყო მზა ცხრილები, რომლებსაც იყენებდნენ ეგვიპტელი მწიგნობრები საჭირო გამოთვლებისთვის.

შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა დადებითი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ეგვიპტური წილადის სახით. ამ ტიპის ჯამს მათემატიკოსები იყენებდნენ, როგორც წილადების განმარტებას ძველი ეგვიპტის დროიდან შუა საუკუნეებამდე. თანამედროვე მათემატიკაში ეგვიპტური წილადების ნაცვლად გამოიყენება მარტივი და ათობითი წილადები, თუმცა ეგვიპტური წილადების შესწავლა გრძელდება რიცხვების თეორიასა და უძველესი მათემატიკის ისტორიაში.

3.1.3. ფრაქციები ძველ რომში.

წილადების საინტერესო სისტემა იყო ძველ რომში. რომაელები ძირითადად იყენებდნენ მხოლოდ კონკრეტულ ფრაქციებს, რომლებმაც შეცვალეს აბსტრაქტული ნაწილები გამოყენებული ზომების ქვედანაყოფებით. წილადების ეს სისტემა ეფუძნებოდა წონის ერთეულის 12 ნაწილად დაყოფას, რომელსაც ეძახდნენ. ასე წარმოიშვა რომაული თორმეტგოჯა წილადი, ე.ი. წილადები, რომელთა მნიშვნელი ყოველთვის არის 12. ტუზის მეთორმეტეს უნცია ერქვა. და გზა, დრო და სხვა რაოდენობები შეადარეს ვიზუალურ ნივთს - წონას. მაგალითად, რომაელს შეუძლია თქვას, რომ მან შვიდი უნცია გზა გაიარა ან წიგნი წაიკითხა. ამავდროულად, რა თქმა უნდა, საქმე არ იყო გზის ან წიგნის აწონვაზე. ეს იმას ნიშნავდა, რომ გზის 7/12 იყო დაფარული ან წიგნის 5/12 წაკითხული. ხოლო წილადებისთვის, რომლებიც მიღებულ იქნა 12-იანი მნიშვნელის მქონე წილადების შემცირებით ან მეთორმეტეების უფრო მცირედ გაყოფით, იყო სპეციალური სახელები.

ახლაც კი ამბობენ ხოლმე: „მან სკრუპულოზურად შეისწავლა ეს საკითხი“. ეს ნიშნავს, რომ საკითხი ბოლომდე შესწავლილია, ოდნავი გაურკვევლობაც კი არ დარჩენილა. და უცნაური სიტყვა "სკრუპულოზურად" მოდის რომაული სახელიდან 1/288 assa - "scrupulus". ხმარებაში იყო ასეთი სახელებიც: „ნახევრად“ - ვირის ნახევარი, „სექსტანები“ - მისი მეექვსე წილი, „შვიდი უნცია“ - ნახევარი უნცია, ე.ი. 1/24 ტრაკი და ა.შ. საერთო ჯამში გამოყენებულია წილადების 18 სხვადასხვა სახელწოდება. წილადებთან მუშაობისთვის საჭირო იყო ამ წილადების შეკრების ცხრილისა და გამრავლების ცხრილის დამახსოვრება. მაშასადამე, რომაელმა ვაჭრებმა მტკიცედ იცოდნენ, რომ ტრიენის (1/3 ასოს) და სექსტანების დამატებისას მიიღება ნახევარი, ხოლო როდესაც დემონი (2/3 ტრაკი) მრავლდება სესკუტით (2/3 უნცია, ანუ 1/). 8 ტრაკი), მიიღება უნცია. სამუშაოს გასაადვილებლად შედგენილია სპეციალური ცხრილები, რომელთაგან ზოგიერთი ჩვენამდე მოვიდა.

ჯერ კიდევ ძვ.

დამახასიათებელია შემდეგი ფრაგმენტი ძვ.

მასწავლებელი: ალბინის ძემ თქვას, რამდენი დარჩება, თუ ხუთ უნციას ერთი უნცია ჩამოართმევენ!

სტუდენტი: ერთი მესამედი.

მასწავლებელი: ასეა, თქვენ კარგად იცნობთ წილადებს და შეძლებთ თქვენი ქონების დაზოგვას.

ახლა "ტრაკი" სააფთიაქო ფუნტია.

3.1.4. ბაბილონის სქესობრივი ფრაქციები.

სექსუალური სისტემის წარმოშობა გაურკვეველია. შესაძლოა, ეს დაკავშირებულია თორმეტგოჯა რიცხვების სისტემასთან (60 = 5 × 12, სადაც 5 არის ხელზე თითების რაოდენობა). ასევე არსებობს ო.ნოიგებაუერის ჰიპოთეზა, რომ აქადელთა მიერ შუმერების სახელმწიფოს დაპყრობის შემდეგ, დიდი ხნის განმავლობაში ერთდროულად არსებობდა ორი ფულადი ერთეული: შეკელი (ნამგალი) და მინა, და მათი თანაფარდობა დადგინდა 1 მინა = 60 შეკელი. მოგვიანებით ეს დაყოფა გახდა ცნობილი და წარმოშვა შესაბამისი სისტემა ნებისმიერი რიცხვის დასაწერად.

მე-20 საუკუნეში ჩატარებულმა გათხრებმა მესოპოტამიის სამხრეთ ნაწილში მდებარე უძველესი ქალაქების ნანგრევებს შორის გამოავლინა დიდი რაოდენობით ლურსმული მათემატიკური დაფები. მეცნიერებმა მათი შესწავლით დაადგინეს, რომ 2000 წ. ე. მათემატიკამ ბაბილონელებში განვითარების მაღალ დონეს მიაღწია.

ბაბილონელთა წერილობითი სქესობრივი ნუმერაცია გაერთიანდა ორი ნიშნისგან: ვერტიკალური სოლი ▼, რომელიც აღნიშნავს ერთს, და ჩვეულებრივი ნიშანი ◄, რომელიც აღნიშნავს ათს.

ბაბილონურ ლურსმულ ტექსტებში პირველად გვხვდება პოზიციური რიცხვების სისტემა. ვერტიკალური სოლი გულისხმობდა არა მხოლოდ 1, არამედ 60, 602, 603 და ა.შ. თავდაპირველად ბაბილონელებს არ ჰქონდათ ნულის ნიშანი პოზიციურ ექვსასიმალურ სისტემაში. მოგვიანებით დაინერგა èè ნიშანი, რომელმაც შეცვალა თანამედროვე ნული, რათა გამოეყო ციფრები ერთმანეთისგან.

ბაბილონელებში სქესობრივი რიცხვების სისტემის წარმოშობა, მეცნიერთა აზრით, დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ ბაბილონის ფულადი და წონის საზომი ერთეულები ისტორიული პირობების გამო დაიყო 60 თანაბარ ნაწილად: 1 ტალანტი = 60 წთ; 1 მინა = 60 შეკელი. ბაბილონელების ცხოვრებაში 60-იანი წლები ჩვეულებრივი მოვლენა იყო. ამიტომ იყენებდნენ სქესობრივ წილადებს, რომლებსაც ყოველთვის აქვთ მნიშვნელი 60 ან მისი სიმძლავრე: 602 = 3600, 603 = 216000 და ა.შ. ამ მხრივ სქესობრივი წილადები შეიძლება შევადაროთ ჩვენს ათობითი წილადებს. ბაბილონურმა მათემატიკამ გავლენა მოახდინა ბერძნულ მათემატიკაზე. ბაბილონის სქესობრივი რიცხვების სისტემის კვალი შემორჩენილია თანამედროვე მეცნიერებაში დროისა და კუთხეების გაზომვისას. დღემდე შენარჩუნებულია საათის დაყოფა 60 წუთზე, წუთი 60 წამზე, წრე 360 გრადუსზე, გრადუსი 60 წუთზე, წუთი 60 წამში. ბაბილონელებმა მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ასტრონომიის განვითარებაში. სექსუალური ფრაქციები ასტრონომიაში გამოიყენებოდა ყველა ერის მეცნიერების მიერ მე-17 საუკუნემდე და მათ ასტრონომიულ წილადებს უწოდებდნენ. ამის საპირისპიროდ, ზოგად წილადებს, რომლებსაც ჩვენ ვიყენებთ, ჩვეულებრივ წილადებს ეძახდნენ.

3.1.5. ნუმერაცია და წილადები ძველ საბერძნეთში.

VI საუკუნემდე ძვ.წ. ე. ბერძნული მათემატიკა არ იყო ცნობილი არაფრით გამორჩეული. ჩვეულებისამებრ, დათვლა და გაზომვა აითვისეს. ბერძნული ნუმერაცია (რიცხვების ჩაწერა), როგორც მოგვიანებით რომაული, იყო დანამატი, ანუ ახლდა რიცხვების რიცხვითი მნიშვნელობები. მისი პირველი ვერსია (ატიკი, ან ჰეროდიული) შეიცავდა ასო ნიშანს 1, 5, 10, 50, 100 და 1000. შესაბამისად, მოეწყო სათვლელი დაფა (აბაკუსი) კენჭებით. სხვათა შორის, ტერმინი კალკულაცია (გათვლა) მოდის კალკულუსიდან - კენჭი. სპეციალური ხვრელი კენჭი აღნიშნავს ნულს.

მოგვიანებით, ატიკური ნუმერაციის ნაცვლად, ანბანური ნუმერაცია მიიღეს - ბერძნული ანბანის პირველი 9 ასო აღნიშნავდა რიცხვებს 1-დან 9-მდე, შემდეგი 9 ასო იყო ათეული, დანარჩენი ასობით. იმისათვის, რომ რიცხვები და ასოები არ აგვერიოს, ციფრებს ზემოთ ტირე დახატეს. 1000-ზე მეტი რიცხვები დაიწერა პოზიციურად, დამატებითი ციფრების აღნიშვნა სპეციალური შტრიხით (ქვედა მარცხნივ). სპეციალური ნიშნებით შესაძლებელი გახდა 10000-ზე მეტი რიცხვების გამოსახვა.

VI საუკუნეში ძვ.წ. ე. იწყება "ბერძნული სასწაული": ჩნდება ერთდროულად ორი სამეცნიერო სკოლა - იონიელები (თალესი მილეტელი, ანაქსიმენესი, ანაქსიმანდრი) და პითაგორეელები. ჩვენ ვიცით ადრეული ბერძენი მათემატიკოსების მიღწევების შესახებ, ძირითადად, გვიანდელი ავტორების, ძირითადად ევკლიდეს, პლატონისა და არისტოტელეს კომენტარებიდან.

თალესმა, მდიდარმა ვაჭარმა, როგორც ჩანს, კარგად ისწავლა ბაბილონის მათემატიკა და ასტრონომია სავაჭრო მოგზაურობის დროს. იონიელებმა წარმოადგინეს გეომეტრიული თეორემების პირველი მტკიცებულებები.

თუმცა, უძველესი მათემატიკის შექმნაში მთავარი როლი პითაგორაელებს ეკუთვნის.

ძველ საბერძნეთში არითმეტიკა - რიცხვების ზოგადი თვისებების შესწავლა - გამოეყო ლოჯისტიკას - გამოთვლების ხელოვნებას. ბერძნებს სჯეროდათ, რომ ფრაქციების გამოყენება მხოლოდ ლოჯისტიკაში შეიძლებოდა. აქ პირველად ვხვდებით m/n ფორმის წილადის ზოგად კონცეფციას. ამრიგად, შეიძლება ჩაითვალოს, რომ პირველად ბუნებრივი რიცხვების ფართობი გაფართოვდა დამატებითი რაციონალური რიცხვების არეალში ძველ საბერძნეთში არაუგვიანეს მე-5 საუკუნისა. ე. ბერძნები თავისუფლად მოქმედებდნენ წილადებთან ყველა არითმეტიკული მოქმედებით, მაგრამ ისინი არ აღიარებდნენ მათ რიცხვებად.

ბერძნები ერთ, "ეგვიპტურ" წილადებთან ერთად იყენებდნენ ჩვეულებრივ ჩვეულებრივ წილადებს. სხვადასხვა ჩანაწერებს შორის გამოიყენებოდა შემდეგი: მნიშვნელი ზევით, მის ქვემოთ არის წილადის მრიცხველი.

წილადების წარმოშობის ისტორია

შესავალი

წილადი რიცხვების საჭიროება ადამიანში გაჩნდა განვითარების ძალიან ადრეულ ეტაპზე. უკვე ნადირის დაყოფა, რომელიც შედგებოდა რამდენიმე მოკლული ცხოველისგან, ნადირობის მონაწილეებს შორის, როდესაც აღმოჩნდა, რომ ცხოველთა რიცხვი არ იყო მონადირეების რიცხვის ჯერადი, პრიმიტიულ ადამიანს შეეძლო მიეყვანა წილადი რიცხვის კონცეფციამდე.

ობიექტების დათვლის აუცილებლობასთან ერთად, უძველესი დროიდან ადამიანებს უჩნდებათ სიგრძის, ფართობის, მოცულობის, დროის და სხვა სიდიდის გაზომვის მოთხოვნილება. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი გაზომვების შედეგის გამოხატვა ნატურალური რიცხვით და ასევე მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული გამოყენებული საზომის ნაწილები. ისტორიულად, წილადები წარმოიქმნება გაზომვის პროცესში.

უფრო ზუსტი გაზომვების აუცილებლობამ განაპირობა ის, რომ საზომი საწყისი ერთეულები დაიწყო 2, 3 ან მეტ ნაწილად დაყოფა. უფრო მცირე ზომის ერთეულს, რომელიც მიღებულ იქნა ფრაგმენტაციის შედეგად, მიენიჭა ინდივიდუალური სახელი და მნიშვნელობები უკვე გაზომილი იყო ამ პატარა ერთეულით.

ფრაქციები ძველ რომში

რომაელებს შორის მასის საზომი მთავარი ერთეული, ასევე ფულადი ერთეული ემსახურებოდა „ტრაკს“. ტრაკი იყოფა 12 თანაბარ ნაწილად - უნცია. მათგან დაემატა 12 მნიშვნელის მქონე ყველა წილადი, ანუ 1/12, 2/12, 3/12... დროთა განმავლობაში უნცია დაიწყეს ნებისმიერი რაოდენობის გასაზომად.

ასეა რომაელი თორმეტგოჯა წილადი, ანუ წილადები, რომელთა მნიშვნელი ყოველთვის რიცხვია 12 . 1/12-ის ნაცვლად რომაელებმა თქვეს "ერთი უნცია", 5/12 - "ხუთი უნცია" და ა.შ. სამ უნციას ერქვა მეოთხედი, ოთხ უნციას მესამეს, ექვს უნციას ნახევარს.

მხოლოდ 18 სხვადასხვა ფრაქცია იყო გამოყენებული:

SIMIS - ნახევარი ტუზი;

SEKSTANCE - მისი მეექვსე წილი;

სესია - მერვე;

ტრიენსი - ტუზის მესამედი;

BES - ორი მესამედი;

უნცია - ვირის მეთორმეტე;

SEMI-UNCE - ნახევარი უნცია.

ფრაქციები ძველ ეგვიპტეში

მრავალი საუკუნის განმავლობაში ეგვიპტელები წილადებს „გატეხილ რიცხვებს“ უწოდებდნენ და პირველი წილადი, რომელიც მათ შეხვდნენ, იყო 1/2. მას მოჰყვა 1/4, 1/8, 1/16, ..., შემდეგ 1/3, 1/6, ..., ე.ი. უმარტივეს წილადებს ეწოდება ერთეული ან ძირითადი წილადები. მათი მრიცხველი ყოველთვის ერთია. მხოლოდ ბევრად უფრო გვიან ბერძნებში, შემდეგ ინდიელებსა და სხვა ხალხებში დაიწყო გამოყენება ზოგადი ფორმის წილადები, რომელსაც უწოდებენ ჩვეულებრივ წილადებს, რომლებშიც მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

ძველ ეგვიპტეში არქიტექტურამ მიაღწია განვითარების მაღალ დონეს. გრანდიოზული პირამიდებისა და ტაძრების ასაგებად, ფიგურების სიგრძის, ფართობისა და მოცულობის გამოსათვლელად საჭირო იყო არითმეტიკის ცოდნა.

პაპირუსზე გაშიფრული ინფორმაციის საფუძველზე მეცნიერებმა შეიტყვეს, რომ ეგვიპტელებს 4000 წლის წინ ჰქონდათ ათობითი (მაგრამ არა პოზიციური) რიცხვითი სისტემა, შეძლეს მრავალი პრობლემის გადაჭრა, რომლებიც დაკავშირებულია სამშენებლო, ვაჭრობა და სამხედრო საქმეებთან.

ეგვიპტური წილადების ერთ-ერთი ყველაზე ადრე ცნობილი ცნობა არის მათემატიკური პაპირუსი Rhind. სამი ძველი ტექსტი, სადაც მოხსენიებულია ეგვიპტური წილადები, არის ეგვიპტური მათემატიკური ტყავის გრაგნილი, მოსკოვის მათემატიკური პაპირუსი და ხის ტაბლეტი ახმიმი. რინდას პაპირუსი მოიცავს ეგვიპტური წილადების ცხრილს 2/ ფორმის რაციონალური რიცხვებისთვის. ნ, ასევე 84 მათემატიკური ამოცანები, მათი ამონახსნები და პასუხები, დაწერილი ეგვიპტური წილადების სახით.

ეგვიპტელები აყენებენ იეროგლიფს ( ეპ, "[ერთი]-დან" ან რე, პირი) რიცხვზე ერთეული წილადის აღსანიშნავად ჩვეულებრივი აღნიშვნით, ხოლო წმინდა ტექსტებში გამოიყენებოდა სტრიქონი. Მაგალითად:

მათ ასევე ჰქონდათ სპეციალური სიმბოლოები წილადებისთვის 1/2, 2/3 და 3/4, რომლებიც ასევე შეიძლებოდა სხვა წილადების დასაწერად (1/2-ზე მეტი).

დანარჩენ წილადებს წილების ჯამად წერდნენ. წილადს წერდნენ როგორც
, მაგრამ "+" ნიშანი არ იყო მითითებული. და თანხაც
ჩაწერილია ფორმაში . ამიტომ შერეული რიცხვების ასეთი ჩანაწერი („+“ ნიშნის გარეშე) მას შემდეგ შემორჩა.

ბაბილონის სქესობრივი ფრაქციები

ძველი ბაბილონის მცხოვრებლებმა, ჩვენს წელთაღრიცხვამდე დაახლოებით სამი ათასი წლის განმავლობაში, შექმნეს ზომების სისტემა ჩვენი მეტრიკის მსგავსი, მხოლოდ ის დაფუძნებული იყო არა 10 რიცხვზე, არამედ 60 რიცხვზე, რომელშიც იყო საზომი უფრო მცირე ერთეული. უმაღლესი ერთეულის ნაწილი. ეს სისტემა ბაბილონელებმა სრულად შეინარჩუნეს დროისა და კუთხეების გასაზომად და ჩვენ მათგან მემკვიდრეობით მივიღეთ საათისა და ხარისხის დაყოფა 60 წუთზე და წუთები 60 წამში.

მკვლევარები ბაბილონელებში სქესობრივი რიცხვების სისტემის გამოჩენას სხვადასხვა გზით ხსნიან. სავარაუდოდ, აქ გათვალისწინებული იყო 60-ის ბაზა, რომელიც არის 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 და 60-ის ჯერადი, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს ყველა სახის გამოთვლას.

ბაბილონელების ცხოვრებაში 60-იანი წლები ჩვეულებრივი მოვლენა იყო. ამიტომაც იყენებდნენ სქესობრივიწილადები, რომლებსაც ყოველთვის აქვთ რიცხვი 60 ან მისი მნიშვნელობები: 60 2, 60 3 და ა.შ. ამ მხრივ სქესობრივი წილადები შეიძლება შევადაროთ ჩვენს ათობითი წილადებს.

ბაბილონურმა მათემატიკამ გავლენა მოახდინა ბერძნულ მათემატიკაზე. ბაბილონის სქესობრივი რიცხვების სისტემის კვალი შემორჩენილია თანამედროვე მეცნიერებაში დროისა და კუთხეების გაზომვისას. დღემდე შენარჩუნებულია საათის დაყოფა 60 წუთზე, წუთი 60 წამზე, წრე 360 გრადუსზე, გრადუსი 60 წუთზე, წუთი 60 წამში.

ბაბილონელებმა მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ასტრონომიის განვითარებაში. სქესობრივი ფრაქციები ასტრონომიაში გამოიყენებოდა ყველა ხალხის მეცნიერების მიერ მე-17 საუკუნემდე და უწოდებდნენ მათ ასტრონომიულიწილადები. ამის საპირისპიროდ, ზოგადი წილადები, რომლებსაც ჩვენ ვიყენებთ, ეწოდა ჩვეულებრივი.

ნუმერაცია და წილადები ძველ საბერძნეთში

იმის გამო, რომ ბერძნები წილადებს მხოლოდ სპორადულად ეხებოდნენ, ისინი იყენებდნენ სხვადასხვა აღნიშვნებს. ჰერონმა და დიოფანტემ, ძველ ბერძენ მათემატიკოსთა შორის ყველაზე ცნობილი არითმეტიკოსები, წილადებს ანბანის მიხედვით წერდნენ, მრიცხველი მნიშვნელის ქვემოთ. მაგრამ პრინციპში უპირატესობა ენიჭებოდა ან წილადებს ერთეული მრიცხველით, ან სქესობრივი წილადებით.

წილადი რიცხვების ბერძნული აღნიშვნის ნაკლოვანებები, მათ შორის სქესობრივი წილადების გამოყენება ათობითი რიცხვების სისტემაში, არ იყო განპირობებული ფუნდამენტური პრინციპების ხარვეზებით. ბერძნული რიცხვების სისტემის ნაკლოვანებები უფრო მეტად შეიძლება მივაწეროთ მათ ჯიუტ სურვილს სიმკაცრისადმი, რამაც საგრძნობლად გაზარდა სირთულეები, რომლებიც დაკავშირებულია შეუდარებელი რაოდენობების თანაფარდობის ანალიზთან. ბერძნებმა სიტყვა "რიცხვი" გაიგეს, როგორც ერთეულების ერთობლიობა, ამიტომ რასაც ჩვენ ახლა ერთ რაციონალურ რიცხვად განვიხილავთ - წილადს - ბერძნებმა გაიგეს, როგორც ორი მთელი რიცხვის თანაფარდობა. ეს განმარტავს, თუ რატომ იყო ჩვეულებრივი წილადები იშვიათი ბერძნულ არითმეტიკაში.

ფრაქციები რუსეთში

მე-17 საუკუნის რუსულ ხელნაწერ არითმეტიკაში წილადებს წილადებს უწოდებდნენ, მოგვიანებით კი „გატეხილ რიცხვებს“. ძველ სახელმძღვანელოებში ვხვდებით რუსეთში წილადების შემდეგ სახელებს:

1/2 - ნახევარი, ნახევარი

1/3 - მესამე

1/4 - ოთხი

1/6 - ნახევარი მესამედი

1/8 - ნახევარი საათი

1/12 - ნახევარი მესამედი

1/16 - ნახევარი საათი

1/24 - ნახევარი მესამედი (პატარა მესამედი)

1/32 - ნახევარი და ნახევარი და ნახევარი (პატარა მეოთხედი)

1/5 - ხუთი

1/7 - კვირა

1/10 - მეათედი

სლავური ნუმერაცია რუსეთში მე-16 საუკუნემდე გამოიყენებოდა, შემდეგ კი ათობითი პოზიციური რიცხვების სისტემა თანდათანობით დაიწყო ქვეყანაში შეღწევა. მან საბოლოოდ შეცვალა სლავური ნუმერაცია პეტრე I-ის ქვეშ.

ფრაქციები ანტიკურ სხვა შტატებში

ჩინურ "მათემატიკა ცხრა განყოფილებაში" წილადების შემცირება და ყველა მოქმედება წილადებით უკვე ხდება.

ინდოელ მათემატიკოს ბრაჰმაგუპტაში ვხვდებით წილადების საკმაოდ განვითარებულ სისტემას. მას აქვს სხვადასხვა წილადები: როგორც ძირითადი, ასევე წარმოებული ნებისმიერი მრიცხველით. მრიცხველი და მნიშვნელი იწერება ისე, როგორც ახლა გვაქვს, მაგრამ ჰორიზონტალური ხაზის გარეშე, მაგრამ უბრალოდ მოთავსებულია ერთმანეთის ზემოთ.

არაბებმა პირველებმა გამოაცალკევეს მრიცხველი მნიშვნელიდან ზოლით.

ლეონარდო პიზაელი უკვე წერს წილადებს, ათავსებს მთელ რიცხვს მარჯვნივ შერეული რიცხვის შემთხვევაში, მაგრამ კითხულობს მას ისე, როგორც ჩვენ ჩვეულებრივ ვაკეთებთ. იორდანე ნემოარიუსი (XIII ს.) წილადებს ყოფს მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელს მნიშვნელზე გაყოფით, გაყოფას გამრავლებას ადარებს. ამისათვის თქვენ უნდა შეავსოთ პირველი წილადის პირობები ფაქტორებით:

XV-XVI საუკუნეებში მოძღვრება წილადების შესახებ ჩვენთვის უკვე ნაცნობ ფორმას იღებს და დაახლოებით სწორედ იმ მონაკვეთებში იღებს ფორმას, რაც ჩვენს სახელმძღვანელოებშია.

უნდა აღინიშნოს, რომ არითმეტიკის დაყოფა წილადებზე დიდი ხანია ერთ-ერთი ყველაზე რთული იყო. გასაკვირი არ არის, რომ გერმანელებმა შეინარჩუნეს გამონათქვამი: "ნაწილებად დაცემა", რაც ნიშნავს - გამოუვალ მდგომარეობაში შესვლას. ითვლებოდა, რომ ვინც არ იცის წილადები, არც არითმეტიკა იცის.

ათწილადები

ათწილადი წილადები გამოჩნდა არაბი მათემატიკოსების ნაშრომებში შუა საუკუნეებში და დამოუკიდებლად ძველ ჩინეთში. მაგრამ უფრო ადრეც, ძველ ბაბილონში, იყენებდნენ იმავე ტიპის ფრაქციებს, მხოლოდ სქესობრივი.

მოგვიანებით, მეცნიერმა ჰარტმან ბეიერმა (1563-1625) გამოაქვეყნა ნარკვევი „ათწილადი ლოგისტიკა“, სადაც დაწერა: „... შევნიშნე, რომ ტექნიკოსები და ხელოსნები, ნებისმიერი სიგრძის გაზომვისას, ძალიან იშვიათად და მხოლოდ გამონაკლის შემთხვევებში გამოხატავენ მას მთელი რიცხვებით. ამავე სახელწოდების; როგორც წესი, მათ უნდა მიიღონ მცირე ზომები, ან მიმართონ ფრაქციებს. ანალოგიურად, ასტრონომები ზომავენ რაოდენობებს არა მხოლოდ გრადუსით, არამედ ხარისხის წილადებით, ე.ი. წუთი, წამი და ა.შ. მათი 60 ნაწილად დაყოფა არც ისე მოსახერხებელია, როგორც 10, 100 ნაწილად და ა.შ., რადგან ამ უკანასკნელ შემთხვევაში გაცილებით ადვილია შეკრება, გამოკლება და საერთოდ არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება; მეჩვენება, რომ ათწილადი, თუ სქესობრივი მნიშვნელობის ნაცვლად დაინერგება, გამოდგება არა მხოლოდ ასტრონომიისთვის, არამედ ყველა სახის გამოთვლებისთვის.

დღეს ჩვენ ვიყენებთ ათწილადებს ბუნებრივად და თავისუფლად. თუმცა, ის, რაც ბუნებრივად გვეჩვენება, შუა საუკუნეების მეცნიერებისთვის ნამდვილი დაბრკოლება იყო. დასავლეთ ევროპა XVI საუკუნეში მთელ რიცხვების წარმოდგენის გავრცელებულ ათობითი სისტემასთან ერთად, გამოთვლებში ყველგან გამოიყენებოდა სქესობრივი წილადები, რომლებიც დათარიღებულია ბაბილონელთა უძველესი ტრადიციით. ჰოლანდიელი მათემატიკოსის სიმონ სტევინის ნათელ გონებას დასჭირდა, რომ როგორც მთელი, ისე წილადი რიცხვების ჩანაწერი ერთ სისტემაში შეეტანა. როგორც ჩანს, ათობითი წილადების შექმნის იმპულსი მის მიერ შედგენილი რთული ინტერესის ცხრილები იყო. 1585 წელს მან გამოაქვეყნა წიგნი „მეათედი“, რომელშიც ახსნიდა ათობითი წილადებს.

მე-17 საუკუნის დასაწყისიდან იწყება ათობითი წილადების ინტენსიური შეღწევა მეცნიერებაში და პრაქტიკაში. ინგლისში წერტილი შემოიღეს, როგორც ნიშანი, რომელიც აშორებს მთელ ნაწილს წილადი ნაწილისგან. მძიმით, წერტილის მსგავსად, 1617 წელს მათემატიკოსმა ნაპიერმა შესთავაზა გამყოფად.

მრეწველობისა და ვაჭრობის, მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების განვითარება მოითხოვდა უფრო და უფრო რთულ გამოთვლებს, რომელთა შესრულება უფრო ადვილი იყო ათობითი წილადების დახმარებით. ათწილადი წილადები ფართოდ გამოიყენებოდა მე-19 საუკუნეში ზომებისა და წონების მეტრული სისტემის შემოღების შემდეგ, მათთან მჭიდროდ დაკავშირებული. მაგალითად, ჩვენს ქვეყანაში, სოფლის მეურნეობაში და მრეწველობაში, ათობითი წილადები და მათი კონკრეტული ფორმა - პროცენტები - ბევრად უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე ჩვეულებრივი წილადები.

ლიტერატურა:

M.Ya.Vygodsky "არითმეტიკა და ალგებრა ძველ სამყაროში" (M. Nauka, 1967)

G.I. Glazer "მათემატიკის ისტორია სკოლაში" (M. განათლება, 1964)

I.Ya.Depman "არითმეტიკის ისტორია" (M. Enlightenment, 1959)

წილადები დღემდე მათემატიკის ერთ-ერთ ყველაზე რთულ მონაკვეთად ითვლება. წილადების ისტორია ერთ ათასწლეულზე მეტია. მთელის ნაწილებად დაყოფის უნარი გაჩნდა ძველი ეგვიპტისა და ბაბილონის ტერიტორიაზე. წლების განმავლობაში ფრაქციებით შესრულებული ოპერაციები გართულდა, შეიცვალა მათი ჩაწერის ფორმა. თითოეულ მათემატიკის ამ დარგთან „ურთიერთობაში“ ჰქონდა თავისი მახასიათებლები.

რა არის წილადი?

როცა საჭირო გახდა მთლიანის ნაწილებად დაყოფა ზედმეტი ძალისხმევის გარეშე, მაშინ გაჩნდა წილადები. წილადების ისტორია განუყოფლად არის დაკავშირებული უტილიტარული პრობლემების გადაწყვეტასთან. თავად ტერმინი "ფრაქცია" არაბული ფესვებია და მომდინარეობს სიტყვიდან, რაც ნიშნავს "გატეხვას, გაყოფას". უძველესი დროიდან ამ თვალსაზრისით ცოტა რამ შეიცვალა. თანამედროვე განმარტება ასეთია: წილადი არის ერთეულის ნაწილი ან ნაწილების ჯამი. შესაბამისად, წილადების მაგალითები წარმოადგენს მათემატიკური მოქმედებების თანმიმდევრულ შესრულებას რიცხვების წილადებით.

დღეს მათი ჩაწერის ორი გზა არსებობს. წარმოიშვა სხვადასხვა დროს: პირველი უფრო უძველესია.

უძველესი დროიდან მოვიდა

პირველად მათ დაიწყეს ფრაქციები ეგვიპტისა და ბაბილონის ტერიტორიაზე. ორი სახელმწიფოს მათემატიკოსთა მიდგომას მნიშვნელოვანი განსხვავებები ჰქონდა. თუმცა, დასაწყისი იქაც და იქაც იგივე იყო. პირველი წილადი იყო ნახევარი ან 1/2. მერე მოვიდა მეოთხედი, მესამედი და ა.შ. არქეოლოგიური გათხრების თანახმად, ფრაქციების გაჩენის ისტორია დაახლოებით 5 ათასი წელია. პირველად ეგვიპტურ პაპირუსებსა და ბაბილონის თიხის ფირფიტებზე რიცხვის წილადები გვხვდება.

Უძველესი ეგვიპტე

ჩვეულებრივი წილადების ტიპებს დღეს მიეკუთვნება ეგვიპტური ე.წ. ისინი წარმოადგენს 1/n ფორმის რამდენიმე ტერმინის ჯამს. მრიცხველი ყოველთვის ერთია, მნიშვნელი კი ნატურალური რიცხვია. ასეთი წილადები გამოჩნდა, რაც არ უნდა ძნელი გამოსაცნობი იყოს, ძველ ეგვიპტეში. ყველა წილის გაანგარიშებისას ისინი ცდილობდნენ ჩამოეწერათ ისინი ასეთი თანხების სახით (მაგალითად, 1/2 + 1/4 + 1/8). მხოლოდ 2/3 და 3/4 წილადებს ჰქონდათ ცალკე აღნიშვნები, დანარჩენი იყოფა ტერმინებად. იყო სპეციალური ცხრილები, რომლებშიც ჯამის სახით იყო წარმოდგენილი რიცხვის წილადები.

უძველესი ცნობილი ცნობა ასეთი სისტემის შესახებ გვხვდება რინდას მათემატიკურ პაპირუსში, რომელიც დათარიღებულია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II ათასწლეულის დასაწყისით. იგი მოიცავს წილადებისა და მათემატიკის ამოცანების ცხრილს ამონახსნებითა და პასუხებით, რომლებიც წარმოდგენილია წილადების ჯამების სახით. ეგვიპტელებმა იცოდნენ რიცხვის წილადების შეკრება, გაყოფა და გამრავლება. ფრაქციები ნილოსის ხეობაში იწერებოდა იეროგლიფების გამოყენებით.

რიცხვის წილადის წარმოდგენა ძველი ეგვიპტისთვის დამახასიათებელი 1/n ფორმის წევრთა ჯამის სახით გამოიყენებოდა მათემატიკოსების მიერ არა მხოლოდ ამ ქვეყანაში. შუა საუკუნეებამდე ეგვიპტური ფრაქციები გამოიყენებოდა საბერძნეთში და სხვა სახელმწიფოებში.

მათემატიკის განვითარება ბაბილონში

მათემატიკა ბაბილონის სამეფოში განსხვავებულად გამოიყურებოდა. წილადების გაჩენის ისტორია აქ პირდაპირ კავშირშია რიცხვთა სისტემის თავისებურებებთან, რომლებიც მემკვიდრეობით მიიღო ანტიკური სახელმწიფოს მიერ მისი წინამორბედისგან, შუმერულ-აქადური ცივილიზაციისგან. გაანგარიშების ტექნიკა ბაბილონში უფრო მოსახერხებელი და სრულყოფილი იყო, ვიდრე ეგვიპტეში. მათემატიკა ამ ქვეყანაში ამოცანების გაცილებით ფართო სპექტრს წყვეტდა.

დღეს ბაბილონელების მიღწევებზე შეიძლება ვიმსჯელოთ შემორჩენილი თიხის ფირფიტებით, რომლებიც სავსეა ლურსმული დამწერლობით. მასალის მახასიათებლებიდან გამომდინარე, ისინი ჩვენამდე დიდი რაოდენობით მოვიდა. ზოგიერთის აზრით ბაბილონში, პითაგორამდე ცნობილი თეორემა აღმოაჩინეს, რაც უდაოდ მოწმობს ამ უძველეს სახელმწიფოში მეცნიერების განვითარებაზე.

წილადები: წილადების ისტორია ბაბილონში

რიცხვთა სისტემა ბაბილონში სქესობრივი იყო. ყოველი ახალი კატეგორია წინადან 60-ით განსხვავდებოდა. ასეთი სისტემა შენარჩუნებულია თანამედროვე სამყაროში დროისა და კუთხეების მითითებისთვის. ფრაქციები ასევე სქესობრივი იყო. ჩაწერისთვის გამოიყენებოდა სპეციალური ხატები. როგორც ეგვიპტეში, წილადის მაგალითები შეიცავდა ცალკეულ სიმბოლოებს 1/2, 1/3 და 2/3.

ბაბილონის სისტემა არ გამქრალა სახელმწიფოსთან ერთად. მე-60 სისტემაში დაწერილ ფრაქციებს იყენებდნენ ძველი და არაბი ასტრონომები და მათემატიკოსები.

Უძველესი საბერძნეთი

ჩვეულებრივი ფრაქციების ისტორია დიდად არ გამდიდრებულა ძველ საბერძნეთში. ელადის მაცხოვრებლებს სჯეროდათ, რომ მათემატიკა უნდა მოქმედებდეს მხოლოდ მთელი რიცხვებით. მაშასადამე, ძველი ბერძნული ტრაქტატების გვერდებზე ფრაქციებით გამოთქმები პრაქტიკულად არ ხდებოდა. თუმცა პითაგორაელებმა გარკვეული წვლილი შეიტანეს მათემატიკის ამ დარგში. მათ ესმოდათ წილადები, როგორც თანაფარდობები ან პროპორციები და ასევე თვლიდნენ ერთეულს განუყოფლად. პითაგორამ და მისმა სტუდენტებმა ააშენეს წილადების ზოგადი თეორია, ისწავლეს ოთხივე არითმეტიკული მოქმედების შესრულება, ასევე წილადების შედარება საერთო მნიშვნელის შემცირებით.

საღვთო რომის იმპერია

წილადების რომაული სისტემა ასოცირდება წონის საზომთან, რომელსაც "ტრაკი" ჰქვია. იგი დაყოფილი იყო 12 აქციად. 1/12 ასას ერქვა უნცია. იყო წილადების 18 სახელი. აქ არის რამდენიმე მათგანი:

ნახევარი - ასას ნახევარი;

სექსტანტი - ასას მეექვსე;

ნახევრად უნცია - ნახევარი უნცია ან 1/24 ტრაკი.

ასეთი სისტემის უხერხულობა იყო რიცხვის წილადის სახით 10 ან 100 მნიშვნელობით წარმოდგენის შეუძლებლობა. რომაელმა მათემატიკოსებმა დაძლიეს სირთულე პროცენტების გამოყენებით.

ჩვეულებრივი წილადების წერა

ანტიკურ ხანაში წილადები უკვე ნაცნობი გზით იწერებოდა: ერთი რიცხვი მეორეზე. თუმცა, იყო ერთი მნიშვნელოვანი განსხვავება. მრიცხველი იყო მნიშვნელის ქვემოთ. პირველად წილადების ასე დაწერა ძველ ინდოეთში დაიწყო. არაბებმა დაიწყეს ჩვენთვის თანამედროვე გზების გამოყენება. მაგრამ არცერთ ამ ხალხში არ გამოიყენა ჰორიზონტალური ხაზი მრიცხველისა და მნიშვნელის გამოსაყოფად. ის პირველად ჩნდება ლეონარდო პიზას თხზულებებში, უფრო ცნობილი როგორც ფიბონაჩი, 1202 წელს.

ჩინეთი

თუ ჩვეულებრივი წილადების გაჩენის ისტორია ეგვიპტეში დაიწყო, მაშინ ათწილადები პირველად გამოჩნდა ჩინეთში. ციურ იმპერიაში მათი გამოყენება დაიწყეს ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III საუკუნიდან. ათობითი წილადების ისტორია დაიწყო ჩინელი მათემატიკოსი ლიუ ჰუით, რომელმაც შესთავაზა მათი გამოყენება კვადრატული ფესვების ამოღებისას.

მე-3 საუკუნეში ჩინეთში ათობითი წილადების გამოყენება დაიწყო წონისა და მოცულობის გამოსათვლელად. თანდათან დაიწყეს მათემატიკაში უფრო და უფრო ღრმად შეღწევა. თუმცა, ევროპაში ათწილადები გაცილებით გვიან შევიდა გამოყენებაში.

ალ-კაში სამარყანდიდან

ჩინელი წინამორბედების მიუხედავად, ათობითი წილადები აღმოაჩინა ასტრონომმა ალ-კაშიმ უძველესი ქალაქ სამარკანდიდან. ცხოვრობდა და მოღვაწეობდა მე-15 საუკუნეში. მეცნიერმა თავისი თეორია გამოაქვეყნა ტრაქტატში „არითმეტიკის გასაღები“, რომელიც 1427 წელს გამოიცა. ალ-კაშიმ შესთავაზა წილადებისთვის აღნიშვნის ახალი ფორმის გამოყენება. როგორც მთელი, ისე წილადი ნაწილები ახლა ერთ სტრიქონში იწერებოდა. სამარყანდელმა ასტრონომმა არ გამოიყენა მძიმით მათ გამოსაყოფად. მან დაწერა მთელი რიცხვი და წილადი ნაწილი სხვადასხვა ფერებში, შავი და წითელი მელნის გამოყენებით. ზოგჯერ ალ-კაში მათ გამოსაყოფად ვერტიკალურ ხაზსაც იყენებდა.

ათწილადები ევროპაში

ევროპელი მათემატიკოსების ნაშრომებში მე-13 საუკუნიდან დაიწყო წილადების ახალი სახეობა. აღსანიშნავია, რომ ისინი არ იცნობდნენ როგორც ალ-კაშის შემოქმედებას, ასევე ჩინელების გამოგონებას. ათწილადი წილადები გამოჩნდა ჟორდან ნემოარიუსის თხზულებებში. შემდეგ ისინი უკვე მე-16 საუკუნეში გამოიყენეს.ფრანგმა მეცნიერმა დაწერა მათემატიკური კანონი, რომელიც შეიცავდა ტრიგონომეტრიულ ცხრილებს. მათში ვიეტმა გამოიყენა ათობითი წილადები. მთელი და წილადი ნაწილების გამოსაყოფად მეცნიერმა გამოიყენა ვერტიკალური ხაზი, ასევე შრიფტის განსხვავებული ზომა.

თუმცა, ეს მხოლოდ მეცნიერული გამოყენების განსაკუთრებული შემთხვევები იყო. ყოველდღიური პრობლემების გადასაჭრელად ევროპაში ათობითი წილადების გამოყენება ცოტა მოგვიანებით დაიწყეს. ეს მოხდა ჰოლანდიელი მეცნიერის სიმონ სტევინის წყალობით XVI საუკუნის ბოლოს. მან 1585 წელს გამოაქვეყნა მათემატიკური ნაშრომი მეათე. მასში მეცნიერმა გამოკვეთა ათობითი წილადების არითმეტიკაში, ფულად სისტემაში გამოყენებისა და ზომებისა და წონების განსაზღვრის თეორია.

პერიოდი, წერტილი, მძიმე

სტივინმა ასევე არ გამოიყენა მძიმე. მან გამოყო წილადის ორი ნაწილი ნულის წრის გამოყენებით.

პირველად მძიმით გამოყო ათწილადის ორი ნაწილი მხოლოდ 1592 წელს. ინგლისში კი მის ნაცვლად წერტილი გამოიყენეს. შეერთებულ შტატებში ათობითი წილადები კვლავ ასე იწერება.

მთელი და წილადი ნაწილების გამოყოფისათვის ორივე სასვენი ნიშნის გამოყენების ერთ-ერთი ინიციატორი იყო შოტლანდიელი მათემატიკოსი ჯონ ნაპიერი. მან თავისი წინადადება 1616-1617 წლებში გააკეთა. მძიმით გამოიყენა გერმანელი მეცნიერიც

ფრაქციები რუსეთში

რუსულ მიწაზე პირველი მათემატიკოსი, რომელმაც მთელის ნაწილებად დაყოფა გამოიკვეთა, იყო ნოვგოროდის ბერი კირიკი. 1136 წელს მან დაწერა ნაშრომი, რომელშიც გამოკვეთა „წლების გამოთვლის“ მეთოდი. კირიკი ქრონოლოგიისა და კალენდრის საკითხებს ეხებოდა. თავის ნაშრომში მოჰყავდა საათის დაყოფაც ნაწილებად: მეხუთედ, ოცდამეხუთედ და ა.შ.

მთელის ნაწილებად დაყოფა გამოიყენებოდა გადასახადის ოდენობის გამოთვლისას XV-XVII სს. გამოყენებული იყო შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და გამრავლების მოქმედებები წილადებით.

თავად სიტყვა "ფრაქცია" რუსეთში VIII საუკუნეში გამოჩნდა. ის მომდინარეობს ზმნიდან "დამსხვრევა, ნაწილებად დაყოფა". ჩვენი წინაპრები იყენებდნენ სპეციალურ სიტყვებს წილადების დასასახელებლად. მაგალითად, 1/2 დაინიშნა ნახევარი ან ნახევარი, 1/4 - ოთხი, 1/8 - ნახევარი საათი, 1/16 - ნახევარი საათი და ა.შ.

წილადების სრული თეორია, რომელიც დიდად არ განსხვავდება თანამედროვესგან, წარმოდგენილი იყო არითმეტიკის პირველ სახელმძღვანელოში, რომელიც დაწერა 1701 წელს ლეონტი ფილიპოვიჩ მაგნიტსკის მიერ. „არითმეტიკა“ რამდენიმე ნაწილისგან შედგებოდა. წილადებზე ავტორი დეტალურად საუბრობს განყოფილებაში „გატეხილი ხაზების რიცხვებზე ან წილადებთან“. მაგნიტსკი იძლევა ოპერაციებს "გატეხილი" რიცხვებით, მათი განსხვავებული აღნიშვნებით.

დღეს წილადები კვლავ მათემატიკის ყველაზე რთულ მონაკვეთებს შორისაა. წილადების ისტორია ასევე არ იყო მარტივი. სხვადასხვა ხალხები, ხან ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად, ხანაც თავიანთი წინამორბედების გამოცდილების გასესხებამდე მიდიოდნენ რიცხვების წილადების დანერგვის, დაუფლებისა და გამოყენების აუცილებლობამდე. წილადების დოქტრინა ყოველთვის ვითარდებოდა პრაქტიკული დაკვირვებით და აქტუალური პრობლემების წყალობით. საჭირო იყო პურის გაყოფა, თანაბარი მიწის ნაკვეთების მონიშვნა, გადასახადების გამოთვლა, დროის გაზომვა და ა.შ. წილადებისა და მათთან მათემატიკური მოქმედებების გამოყენების თავისებურებები დამოკიდებული იყო სახელმწიფოში არსებულ რიცხვთა სისტემაზე და მათემატიკის განვითარების ზოგად დონეზე. ასეა თუ ისე, ათასზე მეტი წლის გადალახვის შემდეგ, ჩამოყალიბდა, განვითარდა რიცხვების წილადებისთვის მიძღვნილი ალგებრის განყოფილება და წარმატებით გამოიყენება დღეს სხვადასხვა საჭიროებისთვის, როგორც პრაქტიკული, ასევე თეორიული.