რიცხვითი ფუნქციის კონცეფცია. ფუნქციის დაყენების გზები. ფუნქციის თვისებები.
რიცხვითი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც მოქმედებს ერთი რიცხვითი სივრციდან (სიმრავლე) მეორე რიცხვთა სივრცეში (სიმრავლე).
ფუნქციის განსაზღვრის სამი ძირითადი გზა არსებობს: ანალიტიკური, ცხრილი და გრაფიკული.
1. ანალიტიკური.
ფორმულის გამოყენებით ფუნქციის დაზუსტების მეთოდს ანალიტიკური ეწოდება. ეს მეთოდი მთავარია ხალიჩაში. ანალიზი, მაგრამ პრაქტიკაში ეს არ არის მოსახერხებელი.
2. ფუნქციის დაყენების ტაბულური გზა.
ფუნქციის განსაზღვრა შესაძლებელია ცხრილის გამოყენებით, რომელიც შეიცავს არგუმენტების მნიშვნელობებს და მათ შესაბამის ფუნქციის მნიშვნელობებს.
3. ფუნქციის დაყენების გრაფიკული ხერხი.
ფუნქცია y \u003d f (x) ეწოდება გრაფიკულად მოცემული, თუ მისი გრაფიკი აგებულია. ფუნქციის დაყენების ეს მეთოდი შესაძლებელს ხდის ფუნქციის მნიშვნელობების განსაზღვრას მხოლოდ დაახლოებით, რადგან გრაფიკის აგება და მასზე ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნა დაკავშირებულია შეცდომებთან.
ფუნქციის თვისებები, რომლებიც გასათვალისწინებელია მისი გრაფიკის შედგენისას:
1) ფუნქციის ფარგლები.
ფუნქციის ფარგლები,ანუ ის მნიშვნელობები, რომლებიც F =y (x) ფუნქციის x არგუმენტმა შეიძლება მიიღოს.
2) მზარდი და კლების ფუნქციების ინტერვალები.
ფუნქციას ეწოდება გაზრდაგანხილულ ინტერვალზე, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y(x) ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას. ეს ნიშნავს, რომ თუ ორი თვითნებური არგუმენტი x 1 და x 2 აღებულია განსახილველი ინტერვალიდან და x 1 > x 2, მაშინ y (x 1) > y (x 2).
ფუნქციას კლება ჰქვიაგანსახილველ ინტერვალზე, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y(x) ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას. ეს ნიშნავს, რომ თუ ორი თვითნებური არგუმენტი x 1 და x 2 აღებულია განხილული ინტერვალიდან, და x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) ფუნქცია ნულები.
წერტილები, რომლებზეც ფუნქცია F \u003d y (x) კვეთს აბსცისის ღერძს (ისინი მიიღება y (x) \u003d 0 განტოლების ამოხსნით) და უწოდებენ ფუნქციის ნულებს.
4) ლუწი და კენტი ფუნქციები.
ფუნქციას ეწოდება ლუწი,თუ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის სფეროდან
y(-x) = y(x).
ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ.
ფუნქციას კენტი ეწოდება, თუ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის სფეროდან
y(-x) = -y(x).
ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.
ბევრი ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.
5) ფუნქციის პერიოდულობა.
ფუნქციას ეწოდება პერიოდული,თუ არის რიცხვი P ისეთი, რომ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის განსაზღვრის სფეროდან
y(x + P) = y(x).
წრფივი ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი.
წრფივი ფუნქცია არის ფორმის ფუნქცია y = kx + b, განსაზღვრულია ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე.
კ- ფერდობის ფაქტორი (რეალური რიცხვი)
ბ- უფასო ვადა (რეალური ნომერი)
xდამოუკიდებელი ცვლადია.
· კონკრეტულ შემთხვევაში, თუ k = 0, მივიღებთ მუდმივ ფუნქციას y = b, რომლის გრაფიკი არის სწორი ხაზი Ox ღერძის პარალელურად, რომელიც გადის წერტილში კოორდინატებით (0; b).
· თუ b = 0, მაშინ მივიღებთ ფუნქციას y = kx, რომელიც არის პირდაპირი პროპორციულობა.
o b კოეფიციენტის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის იმ სეგმენტის სიგრძე, რომელსაც სწორი ხაზი წყვეტს Oy ღერძის გასწვრივ, დათვლა საწყისიდან.
o k კოეფიციენტის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით, იგი ითვლება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
ხაზოვანი ფუნქციის თვისებები:
1) წრფივი ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის მთელი რეალური ღერძი;
2) თუ k ≠ 0, მაშინ წრფივი ფუნქციის დიაპაზონი არის მთელი რეალური ღერძი.
თუ k = 0, მაშინ წრფივი ფუნქციის დიაპაზონი შედგება b რიცხვისგან;
3) წრფივი ფუნქციის თანაბარობა და უცნაურობა დამოკიდებულია k და b კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე.
ა) b ≠ 0, k = 0, შესაბამისად, y = b არის ლუწი;
ბ) b = 0, k ≠ 0, აქედან გამომდინარე, y = kx არის უცნაური;
გ) b ≠ 0, k ≠ 0, შესაბამისად y = kx + b არის ზოგადი ფუნქცია;
დ) b = 0, k = 0, შესაბამისად y = 0 არის ლუწი და კენტი ფუნქცია.
4) წრფივ ფუნქციას არ გააჩნია პერიოდულობის თვისება;
5) გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:
Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, ამიტომ (-b / k; 0) არის აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი.
Oy: y = 0k + b = b, შესაბამისად (0; b) არის y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილი.
კომენტარი. თუ b = 0 და k = 0, მაშინ ფუნქცია y = 0 ქრება x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. თუ b ≠ 0 და k = 0, მაშინ ფუნქცია y = b არ ქრება x ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობისთვის.
6) ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები დამოკიდებულია k კოეფიციენტზე.
ა) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b დადებითია x-სთვის (-b/k; +∞),
y = kx + b არის უარყოფითი x-ისთვის (-∞; -b/k).
ბ) კ< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b დადებითია x-სთვის (-∞; -b/k),
y = kx + b არის უარყოფითი x-ისთვის (-b/k; +∞).
გ) k = 0, b > 0; y = kx + b დადებითია მთელ დომენში,
k = 0, ბ< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) წრფივი ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები დამოკიდებულია k კოეფიციენტზე.
k > 0, შესაბამისად, y = kx + b იზრდება მთელ დომენზე,
კ< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. ფუნქცია y \u003d ax 2 + bx + c, მისი თვისებები და გრაფიკი.
| ფუნქცია y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c არის მუდმივი მნიშვნელობები, a ≠ 0) ე.წ. კვადრატული.უმარტივეს შემთხვევაში, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), გრაფიკი არის მრუდი ხაზი, რომელიც გადის საწყისზე. მრუდი, რომელიც ემსახურება y \u003d ax 2 ფუნქციის გრაფიკს, არის პარაბოლა. ყველა პარაბოლას აქვს სიმეტრიის ღერძი, რომელსაც ე.წ პარაბოლის ღერძი.პარაბოლას მის ღერძთან გადაკვეთის O წერტილი ეწოდება პარაბოლას ზევით. |
 |
| გრაფიკის აგება შესაძლებელია შემდეგი სქემის მიხედვით: 1) იპოვეთ პარაბოლის ზედა ნაწილის კოორდინატები x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) ჩვენ ვაშენებთ კიდევ რამდენიმე წერტილს, რომელიც ეკუთვნის პარაბოლას, აგებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ პარაბოლის სიმეტრიები სწორი ხაზის მიმართ x = -b / 2a. 3) მითითებულ წერტილებს გლუვი ხაზით ვაკავშირებთ. მაგალითი. შექმენით ფუნქციის გრაფიკი \u003d x 2 + 2x - 3.გადაწყვეტილებები. ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. პარაბოლის ზედა ნაწილის აბსციზა x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, მისი ორდინატები y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. ასე რომ, პარაბოლას ზედა არის წერტილი (-1; -4). მოდით გავაკეთოთ მნიშვნელობების ცხრილი რამდენიმე წერტილისთვის, რომლებიც მოთავსებულია პარაბოლის სიმეტრიის ღერძის მარჯვნივ - სწორი ხაზი x \u003d -1. ფუნქციის თვისებები.
|
განვიხილოთ ფუნქცია y=k/y. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის წრფე, რომელსაც მათემატიკაში ჰიპერბოლას უწოდებენ. ჰიპერბოლის ზოგადი ხედი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. (გრაფიკი აჩვენებს ფუნქციას y უდრის k გაყოფილი x-ზე, სადაც k უდრის ერთს.)
ჩანს, რომ გრაფიკი ორი ნაწილისგან შედგება. ამ ნაწილებს ჰიპერბოლის ტოტებს უწოდებენ. აღსანიშნავია ისიც, რომ ჰიპერბოლის თითოეული ტოტი უფრო და უფრო უახლოვდება კოორდინატთა ღერძებს ერთ-ერთი მიმართულებით. კოორდინატთა ღერძებს ამ შემთხვევაში ასიმპტოტები ეწოდება.
ზოგადად, ნებისმიერ სწორ ხაზს, რომელსაც ფუნქციის გრაფიკი უსასრულოდ უახლოვდება, მაგრამ არ აღწევს, ასიმპტოტები ეწოდება. ჰიპერბოლას, პარაბოლას მსგავსად, აქვს სიმეტრიის ღერძი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ჰიპერბოლისთვის ეს არის სწორი ხაზი y=x.
ახლა მოდით გავუმკლავდეთ ჰიპერბოლების ორ ზოგად შემთხვევას. y = k/x ფუნქციის გრაფიკი, k ≠ 0-სთვის იქნება ჰიპერბოლა, რომლის ტოტები განლაგებულია ან პირველ და მესამე კოორდინატულ კუთხეებში, k>0-სთვის, ან მეორე და მეოთხე კოორდინატთა კუთხეებში. კ-სთვის<0.
y = k/x ფუნქციის ძირითადი თვისებები, k>0-ისთვის
y = k/x ფუნქციის გრაფიკი, k>0-სთვის
5. y>0 x>0-ისთვის; y6. ფუნქცია მცირდება როგორც ინტერვალზე (-∞;0) ასევე ინტერვალზე (0;+∞).
10. ფუნქციის დიაპაზონი არის ორი ღია ინტერვალი (-∞;0) და (0;+∞).
y = k/x ფუნქციის ძირითადი თვისებები, k-სთვის<0
y = k/x ფუნქციის გრაფიკი, k-სთვის<0
1. წერტილი (0;0) არის ჰიპერბოლის სიმეტრიის ცენტრი.
2. კოორდინატების ღერძი – ჰიპერბოლის ასიმპტოტები.
4. ფუნქციის ფარგლები არის ყველა x, გარდა x=0.
5. y>0 x0-სთვის.
6. ფუნქცია იზრდება როგორც ინტერვალზე (-∞;0) ასევე ინტერვალზე (0;+∞).
7. ფუნქცია არ არის შეზღუდული ქვემოდან ან ზემოდან.
8. ფუნქციას არ აქვს არც უდიდესი და არც უმცირესი მნიშვნელობები.
9. ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე (-∞;0) და ინტერვალზე (0;+∞). აქვს უფსკრული x=0 წერტილში.
Მნიშვნელოვანი!
"y \u003d kx + b" ფორმის ფუნქციას ეწოდება წრფივი ფუნქცია.
ასო ფაქტორები "k" და "b" ეწოდება რიცხვითი კოეფიციენტები.
"k" და "b"-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვი (დადებითი, უარყოფითი ან წილადი) შეიძლება დადგეს.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ " y \u003d kx + b"არის ყველა სახის ფუნქციის ოჯახი, სადაც" k"და"b"-ის ნაცვლად არის რიცხვები.
ფუნქციების მაგალითები, როგორიცაა "y = kx + b".
- y=5x+3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = −2 y=0.5x k = 0.5 b= 0 განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ "y = 0.5x" ფუნქციას ცხრილში. ხშირად უშვებენ შეცდომას მასში რიცხვითი კოეფიციენტის „ბ“-ს ძიებისას.
ფუნქციის "y \u003d 0.5x" გათვალისწინებით, არასწორია იმის თქმა, რომ ფუნქციაში არ არის რიცხვითი კოეფიციენტი "b".
რიცხვითი კოეფიციენტი "b" ყოველთვის არის ისეთ ფუნქციაში, როგორიცაა "y \u003d kx + b". ფუნქციაში "y \u003d 0.5x", რიცხვითი კოეფიციენტი "b" უდრის ნულს.
როგორ გამოვსახოთ წრფივი ფუნქცია
"y=kx+b"გახსოვდეს!
წრფივი ფუნქციის გრაფიკი "y \u003d kx + b" არის სწორი ხაზი.
ვინაიდან ფუნქციის "y \u003d kx + b" გრაფიკი არის სწორი ხაზი, ფუნქცია ე.წ. ხაზოვანი ფუნქცია.
გეომეტრიიდან ვიხსენებთ აქსიომას (განცხადება, რომელიც არ საჭიროებს მტკიცებულებას), რომ ნებისმიერი ორი წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია სწორი ხაზის და, უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთის დახატვა.
ზემოაღნიშნული აქსიომიდან გამომდინარე, გამოდის, რომ ფორმის ფუნქციის გამოსახატავად
"y \u003d kx + b" საკმარისი იქნება მხოლოდ ორი წერტილის პოვნა.Მაგალითად შექმენით ფუნქციის გრაფიკი"y = -2x + 1".
ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა " y"ორი თვითნებური მნიშვნელობისთვის" x". მაგალითად, „x“-ის ნაცვლად შევცვალოთ რიცხვები „0“ და „1“.
Მნიშვნელოვანი!
"x"-ის ნაცვლად თვითნებური რიცხვითი მნიშვნელობების არჩევისას უმჯობესია აიღოთ რიცხვები "0" და "1". ამ ციფრებით ადვილია გამოთვლების გაკეთება.
მიღებული მნიშვნელობები "x" და "y" არის ფუნქციის გრაფიკის წერტილების კოორდინატები.
ჩამოვწეროთ ცხრილში " y \u003d −2x + 1" წერტილების მიღებული კოორდინატები.
მიღებულ წერტილებს კოორდინატთა სისტემაზე ვნიშნავთ.
ახლა დავხაზოთ სწორი ხაზი მონიშნულ წერტილებში. ეს ხაზი იქნება ფუნქციის გრაფიკი " y \u003d -2x + 1".
როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები
წრფივი ფუნქცია "y \u003d kx + b"განვიხილოთ დავალება.
დახაზეთ ფუნქცია " y \u003d 2x + 3". იპოვეთ განრიგის მიხედვით:
- მნიშვნელობა "y", რომელიც შეესაბამება "x" მნიშვნელობას −1-ის ტოლი; 2; 3; 5 ;
- "x"-ის მნიშვნელობა, თუ "y"-ის მნიშვნელობა 1-ის ტოლია; 4; 0; -1.
პირველი, მოდით დავხატოთ ფუნქცია " y \u003d 2x + 3".
ჩვენ ვიყენებთ წესებს, რომლებითაც ზემოთ ვართ. " y \u003d 2x + 3" ფუნქციის გამოსათვლელად საკმარისია მხოლოდ ორი წერტილის პოვნა.
მოდით ავირჩიოთ ორი თვითნებური რიცხვითი მნიშვნელობა "x". გამოთვლების მოხერხებულობისთვის ჩვენ ავირჩევთ ნომრებს "0" და "1".
მოდით შევასრულოთ გამოთვლები და ჩავწეროთ მათი შედეგები ცხრილში.
მიღებულ წერტილებს ვნიშნავთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაზე.
მიღებული წერტილები შეაერთეთ სწორი ხაზით. შედგენილი სწორი ხაზი იქნება ფუნქციის გრაფიკი "y \u003d 2x + 3".
ახლა ჩვენ ვმუშაობთ " y \u003d 2x + 3" ფუნქციის აგებულ გრაფიკთან.
საჭიროა იპოვოთ მნიშვნელობა "y", რომელიც შეესაბამება მნიშვნელობას "x",
რომელიც უდრის −1-ს; 2; 3; 5 .- ხარი »ნულამდე (x = 0);
- ჩაანაცვლეთ ნული „x“-ის ნაცვლად ფუნქციის ფორმულაში და იპოვეთ მნიშვნელობა „y“;
- ოჰ ».
ნაცვლად " x"ფუნქციის ფორმულაში" y \u003d −1.5x + 3", რიცხვი არის ნული.
Y(0) = −1,5 0 + 3 = 3
(0; 3) - ფუნქციის "y \u003d -1.5x + 3" გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები "Oy" ღერძით.გახსოვდეს!
ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების პოვნა
ღერძით" ხარი »(აბსცისის ღერძი) გჭირდებათ:- გაატოლეთ წერტილის კოორდინატი ღერძის გასწვრივ " ოჰ »ნულამდე (y = 0);
- ჩაანაცვლეთ ნული „y“-ით ფუნქციის ფორმულაში და იპოვეთ მნიშვნელობა „x“;
- ჩაწერეთ ღერძთან გადაკვეთის წერტილის მიღებული კოორდინატები " ოჰ ».
ნაცვლად " y" ფუნქციის ფორმულაში" y \u003d −1.5x + 3", რიცხვი არის ნული.
0 = −1,5x + 3
1.5x = 3 | :(1.5)
x=3:1.5
x=2
(2; 0) - ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები "y \u003d -1.5x + 3" ღერძით "Ox".იმისათვის, რომ გაადვილოთ დამახსოვრება, რომელი წერტილის კოორდინატი უნდა იყოს ნულის ტოლფასი, გახსოვდეთ "საპირისპირო წესი".
Მნიშვნელოვანი!
თუ გჭირდებათ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების პოვნა " ხარი », შემდეგ გაუტოლეთ "y" ნულს.
და პირიქით. თუ გჭირდებათ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების პოვნა " ოჰ », შემდეგ გაუტოლეთ "x" ნულს.
y = kx + b ფორმის ფუნქციას წრფივი ეწოდება. წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი. სწორი ხაზის ასაგებად ორი წერტილია საჭირო და საკმარისი.
y = kx ფორმის ფუნქცია
y = kx ფორმის ფუნქციას პირდაპირი ეწოდებაპროპორციულობა.
გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის საწყისზე და მდებარეობს 1 და 3 მეოთხედებში, თუ k > 0, მეოთხედებში 2 და 4, თუ k.< 0.
k - ეწოდება პროპორციულობის კოეფიციენტს და განსაზღვრავს სწორი ხაზის დახრილობის კუთხეს OX ღერძის დადებითი მიმართულებით. k = tg ბ
წრფე y \u003d x არის 1 და 3 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი, ხოლო წრფე y \u003d x არის 1 და 4 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი.
მაგალითი. შექმენით ფუნქციების გრაფიკები y \u003d 2x, y \u003d x, y \u003d 2x.
ფუნქცია პირდაპირპროპორციულია, გრაფიკები სწორი ხაზებია.
ვინაიდან გრაფიკები გადის საწყისზე, ერთ-ერთ წერტილს აქვს კოორდინატები (0; 0), ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ სხვა წერტილი.
y=x, y=2x, y=2x,
x = 1, y = 1; x = 1, y = 2; x = 1, y = 2.
y = kx + b ფორმის ფუნქცია
ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, y = kx,გადაინაცვლებს Y ღერძის გასწვრივ პარალელური გადაყვანით b ერთეულებით, b-ის ნიშნის მიხედვით გვერდზე.
მშენებლობა შეიძლება განხორციელდეს ორი წერტილით ან პარალელური ოფსეტურით.
მაგალითი. დახაზეთ ფუნქცია y = 3x4.
ფუნქცია წრფივია, გრაფიკი არის სწორი ხაზი.
კონსტრუქცია შეიძლება განხორციელდეს სწორი ხაზის პარალელური გადათარგმნით y \u003d 3x 2 ერთეულით Y ღერძის ქვემოთ.
y = b ფორმის ფუნქცია
ფუნქციის გრაფიკი არისსწორი ხაზი X ღერძის პარალელურად, რომელიც გადის წერტილში კოორდინატებით (0; b).
დახაზეთ ფუნქცია y = 3.
ფუნქცია წრფივია, გრაფიკი არის სწორი ხაზი, OX ღერძის პარალელურად, რომელიც გადის წერტილში (0; 3)
სწორი ხაზის განტოლება x \u003d c
წრფე x = c არ არის ფუნქცია. თუმცა, გრაფიკი არის სწორი ხაზი O Y ღერძის პარალელურად და გადის წერტილს კოორდინატებით (c; 0).
