पाइथागोरस प्रमेय के बारे में रोचक तथ्य: हम प्रसिद्ध प्रमेय के बारे में नई बातें सीखेंगे (15 तस्वीरें)। विषय पर एक परियोजना: पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं पाइथागोरस पैंट क्यों बोलते हैं

पाइथागोरस प्रमेय को स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं। एक प्रख्यात गणितज्ञ ने एक महान परिकल्पना साबित की जिसका उपयोग आज बहुत से लोग कर रहे हैं। नियम इस तरह लगता है: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। कई दशकों से कोई भी गणितज्ञ इस नियम पर बहस नहीं कर पाया है। आखिरकार, पाइथागोरस लंबे समय तक अपने लक्ष्य पर चला गया, ताकि परिणामस्वरूप, रोजमर्रा की जिंदगी में चित्र बन सकें।

1. इस प्रमेय के लिए एक छोटी सी कविता, जिसका आविष्कार प्रमाण के तुरंत बाद किया गया था, सीधे परिकल्पना के गुणों को साबित करती है: "पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।" कई लोगों की याद में अटकी यह दो पंक्ति-कविता आज तक गणनाओं में याद की जाती है।
2. इस प्रमेय को "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता था क्योंकि बीच में ड्राइंग करते समय, एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता था, जिसके किनारों पर वर्ग होते थे। दिखने में, यह चित्र पैंट जैसा दिखता था - इसलिए परिकल्पना का नाम।
3. पाइथागोरस को विकसित प्रमेय पर गर्व था, क्योंकि यह परिकल्पना अपने समान लोगों से अधिकतम प्रमाण में भिन्न है। महत्वपूर्ण: 370 सत्य साक्ष्य के कारण समीकरण गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में दर्ज किया गया था।
4. इस परिकल्पना को विभिन्न देशों के गणितज्ञों और प्रोफेसरों की एक बड़ी संख्या ने कई तरीकों से सिद्ध किया था।... अंग्रेजी गणितज्ञ जोन्स ने जल्द ही घोषणा की कि परिकल्पना ने इसे एक अंतर समीकरण का उपयोग करके साबित कर दिया।
5. वर्तमान में पाइथागोरस द्वारा प्रमेय के प्रमाण को कोई नहीं जानता है।... गणितज्ञों के प्रमाणों के बारे में तथ्य आज किसी के लिए भी अज्ञात हैं। यह माना जाता है कि यूक्लिड द्वारा चित्रों का प्रमाण पाइथागोरस का प्रमाण है। हालांकि, कुछ विद्वान इस कथन के साथ तर्क देते हैं: कई लोग मानते हैं कि यूक्लिड ने परिकल्पना के निर्माता की मदद के बिना, अपने दम पर प्रमेय को साबित कर दिया।
6. आज के वैज्ञानिकों ने पता लगाया है कि महान गणितज्ञ इस परिकल्पना की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे।... पाइथागोरस की खोज से बहुत पहले समीकरण ज्ञात था। यह गणितज्ञ केवल परिकल्पना को फिर से जोड़ने में सक्षम था।
7. पाइथागोरस ने समीकरण को "पाइथागोरस प्रमेय" नाम नहीं दिया... यह नाम "जोर से दो-पंक्ति" के बाद अटक गया। गणितज्ञ केवल यही चाहता था कि पूरी दुनिया उसके प्रयासों और खोजों को जाने और उसका उपयोग करे।
8. मोरित्ज़ कैंटर - महान उत्कृष्ट गणितज्ञ ने एक प्राचीन पपीरस पर चित्र के साथ नोटों को पाया और पहचाना... इसके तुरंत बाद, कैंटोर ने महसूस किया कि इस प्रमेय को मिस्रियों को 2300 ईसा पूर्व के रूप में जाना जाता था। तभी किसी ने इसका इस्तेमाल नहीं किया और न ही इसे साबित करने की कोशिश की।
9. वर्तमान वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि इस परिकल्पना को 8वीं शताब्दी ईसा पूर्व के रूप में जाना जाता था... उस समय के भारतीय वैज्ञानिकों ने समकोण वाले त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना की खोज की। सच है, उस समय कोई भी अनुमानित गणना द्वारा समीकरण को निश्चित रूप से साबित करने में सक्षम नहीं था।
10. महान गणितज्ञ बार्टेल वान डेर वेर्डन ने परिकल्पना को सिद्ध करने के बाद एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला: “यूनानी गणितज्ञ की योग्यता को दिशा और ज्यामिति की खोज नहीं, बल्कि उसका औचित्य माना जाता है। पाइथागोरस के हाथों में कम्प्यूटेशनल सूत्र थे जो धारणाओं, सटीक गणनाओं और अस्पष्ट विचारों पर आधारित थे। हालांकि, उत्कृष्ट वैज्ञानिक इसे एक सटीक विज्ञान में बदलने में कामयाब रहे ”।
11. प्रसिद्ध कवि ने कहा कि अपने चित्र के उद्घाटन के दिन, उन्होंने बैलों के लिए एक शानदार यज्ञ किया... इस परिकल्पना की खोज के बाद अफवाहें फैल गईं कि सौ बैलों की बलि "पुस्तकों और प्रकाशनों के पन्नों के माध्यम से भटक गई।" बुद्धि आज तक मजाक करती है कि तब से सभी बैल एक नई खोज से डरते हैं।
12. सबूत है कि पाइथागोरस पैंट के बारे में कविता के साथ नहीं आए थे ताकि उनके द्वारा सामने रखे गए चित्रों को साबित किया जा सके: महान गणितज्ञ के जीवन के दौरान, अभी तक कोई पैंट नहीं थी... उनका आविष्कार कई दशकों बाद हुआ था।
13. पेक्का, लाइबनिज़ और कई अन्य वैज्ञानिकों ने पहले ज्ञात प्रमेय को साबित करने की कोशिश की, लेकिन कोई भी सफल नहीं हुआ।
14. चित्र का नाम "पायथागॉरियन प्रमेय" का अर्थ है "भाषण द्वारा अनुनय"... इस प्रकार पाइथागोरस शब्द का अनुवाद किया गया है, जिसे गणितज्ञ ने छद्म नाम के रूप में लिया था।
15. अपने स्वयं के शासन के बारे में पाइथागोरस के प्रतिबिंब: पृथ्वी पर अस्तित्व का रहस्य संख्याओं में निहित है... आखिरकार, गणितज्ञ ने अपनी परिकल्पना पर भरोसा करते हुए, संख्याओं के गुणों का अध्ययन किया, समता और विषमता को प्रकट किया और अनुपात बनाए।

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रोमन वास्तुकार विट्रुवियस ने पाइथागोरस प्रमेय को "उन कई खोजों से अलग किया, जिन्होंने मानव जीवन के विकास के लिए सेवाएं प्रदान की," और इसे सबसे बड़े सम्मान के साथ व्यवहार करने का आह्वान किया। यह पहली शताब्दी ईसा पूर्व में वापस आ गया था। एन.एस. XVI-XVII सदियों के मोड़ पर, प्रसिद्ध जर्मन खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर ने इसे सोने के माप के बराबर ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। यह संभावना नहीं है कि सभी गणित में एक अधिक वजनदार और महत्वपूर्ण कथन होगा, क्योंकि वैज्ञानिक और व्यावहारिक अनुप्रयोगों की संख्या के संदर्भ में, पाइथागोरस प्रमेय के बराबर नहीं है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की स्थिति के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

विज्ञान और जीवन // चित्र

पाइथागोरस प्रमेय का चित्रण "मापने वाले ध्रुव पर ग्रंथ" (चीन, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) से और इसके आधार पर पुनर्निर्माण किए गए प्रमाण।

विज्ञान और जीवन // चित्र

एस पर्किन्स। पाइथागोरस।

पाइथागोरस के संभावित प्रमाण के लिए एक चित्र।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण में "पाइथागोरस का मोज़ेक" और तीन वर्गों की एक-नैरिज़ी टाइलिंग।

पी डी हूच। आंगन में एक परिचारिका और एक नौकरानी। 1660 के आसपास।

जे ओटरवेल्ट। एक अमीर घर के दरवाजे पर भटकते संगीतकार। 1665 वर्ष।

पायथागॉरियन पैंट

पाइथागोरस की प्रमेय शायद गणित के इतिहास में सबसे अधिक पहचाने जाने योग्य और निस्संदेह सबसे प्रसिद्ध है। ज्यामिति में इसका प्रयोग हर कदम पर शाब्दिक रूप से किया जाता है। इसके निर्माण की सरलता के बावजूद, यह प्रमेय किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है: पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज को देखना a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

अंजीर में दिखाए गए आंकड़े। 1 और 2, वर्गों और उनके समान भागों के सबसे सरल आभूषण से मिलते जुलते हैं - एक ज्यामितीय पैटर्न जो अनादि काल से जाना जाता है। ये प्लेन को पूरी तरह से कवर कर सकते हैं। एक गणितज्ञ बहुभुज लकड़ी की छत, या टाइलिंग द्वारा एक विमान के इस तरह के आवरण को बुलाएगा। पाइथागोरस का इससे क्या लेना-देना है? यह पता चला है कि वह नियमित लकड़ी की छत की समस्या को हल करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिसने विभिन्न सतहों की टाइलिंग का अध्ययन शुरू किया। तो, पाइथागोरस ने दिखाया कि एक बिंदु के चारों ओर के तल को केवल तीन प्रकार के समान नियमित बहुभुजों द्वारा अंतराल के बिना कवर किया जा सकता है: छह त्रिकोण, चार वर्ग और तीन षट्भुज।

4000 साल बाद

पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास प्राचीन काल में वापस चला जाता है। इसका उल्लेख राजा हम्मुराबी (18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) के समय के बेबीलोन के क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में मिलता है, जो कि पाइथागोरस के जन्म से 1200 साल पहले था। प्रमेय का उपयोग कई समस्याओं में एक तैयार नियम के रूप में किया गया था, जिनमें से सबसे सरल एक वर्ग के विकर्ण का पता लगाना है। यह संभव है कि बेबीलोन के लोगों ने समकोण a 2 + a 2 = c 2 को केवल "सामान्यीकृत" करके एक मनमाना समकोण त्रिभुज के लिए अनुपात a 2 + b 2 = c 2 प्राप्त किया हो। लेकिन यह उनके लिए क्षम्य है - पूर्वजों की व्यावहारिक ज्यामिति के लिए, जिसे माप और गणना के लिए कम कर दिया गया था, किसी कठोर औचित्य की आवश्यकता नहीं थी।

अब, लगभग ४००० साल बाद, हम एक प्रमेय के साथ काम कर रहे हैं जो संभावित प्रमाणों की संख्या का रिकॉर्ड रखता है। वैसे इन्हें इकट्ठा करना एक लंबी परंपरा है. पाइथागोरस प्रमेय में रुचि का शिखर 19वीं - 20वीं सदी की शुरुआत के उत्तरार्ध में गिर गया। और यदि पहले संग्रह में दो या तीन दर्जन से अधिक प्रमाण नहीं थे, तो 19 वीं शताब्दी के अंत तक उनकी संख्या 100 के करीब पहुंच गई, और एक और आधी सदी के बाद यह 360 से अधिक हो गई, और ये केवल वे हैं जो विभिन्न स्रोतों से एकत्र किए गए थे। इस चिर-परिचित कार्य का समाधान किसने नहीं किया है - प्रख्यात वैज्ञानिकों और विज्ञान को लोकप्रिय बनाने वालों से लेकर कांग्रेसियों और स्कूली बच्चों तक। और क्या उल्लेखनीय है, समाधान की मौलिकता और सादगी में, कुछ शौकिया पेशेवरों से कम नहीं थे!

पाइथागोरस प्रमेय का सबसे पुराना जीवित प्रमाण लगभग 2300 वर्ष पुराना है। उनमें से एक - सख्त स्वयंसिद्ध - प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड का है, जो ईसा पूर्व चौथी-तीसरी शताब्दी में रहते थे। एन.एस. तत्वों की पुस्तक I में, पाइथागोरस प्रमेय को प्रस्ताव 47 के रूप में सूचीबद्ध किया गया है। सबसे ग्राफिक और सुंदर सबूत "पायथागॉरियन पतलून" के आकार बदलने पर आधारित हैं। वे एक मुश्किल चौकोर काटने वाली पहेली की तरह दिखते हैं। लेकिन टुकड़ों को सही ढंग से आगे बढ़ाएं - और वे आपको प्रसिद्ध प्रमेय का रहस्य बताएंगे।

यहाँ एक प्राचीन चीनी ग्रंथ (चित्र 3) से एक चित्र के आधार पर प्राप्त एक सुरुचिपूर्ण प्रमाण है, और एक वर्ग के क्षेत्रफल को दोगुना करने की समस्या से इसका संबंध तुरंत स्पष्ट हो जाता है।

यह इस बात का प्रमाण था कि अंग्रेजी लेखक एल्डस हक्सले की लघु कहानी "लिटिल आर्किमिडीज" के असामयिक नायक, सात वर्षीय गुइडो ने अपने छोटे दोस्त को समझाने की कोशिश की। यह उत्सुक है कि कथाकार, जिसने इस चित्र का अवलोकन किया, ने प्रमाण की सादगी और अनुनय-विनय पर ध्यान दिया, इसलिए उन्होंने इसका श्रेय स्वयं पाइथागोरस को दिया। और यहां मुख्य चरित्रएवगेनी वेल्टिस्टोव की शानदार कहानी "द इलेक्ट्रॉनिक - द बॉय फ्रॉम द सूटकेस" यूक्लिड द्वारा दिए गए सहित पाइथागोरस प्रमेय के 25 प्रमाणों को जानता था; सच है, उन्होंने गलती से इसे सबसे सरल कहा, हालांकि वास्तव में "एलिमेंट्स" के आधुनिक संस्करण में यह डेढ़ पृष्ठों पर है!

प्रथम गणितज्ञ

समोस के पाइथागोरस (570-495 ईसा पूर्व), जिसका नाम लंबे समय से एक उल्लेखनीय प्रमेय के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है, एक अर्थ में इसे पहला गणितज्ञ कहा जा सकता है। यह उसके साथ है कि गणित के रूप में शुरू होता है बिलकुल विज्ञानजहां कोई भी नया ज्ञान अनुभव से प्राप्त दृश्य अभ्यावेदन और नियमों का परिणाम नहीं है, बल्कि तार्किक तर्क और निष्कर्ष का परिणाम है। किसी भी गणितीय प्रस्ताव की सत्यता को हमेशा के लिए स्थापित करने का यही एकमात्र तरीका है। पाइथागोरस से पहले, निगमन पद्धति का उपयोग केवल प्राचीन यूनानी दार्शनिक और वैज्ञानिक थेल्स ऑफ मिलेटस द्वारा किया जाता था, जो ईसा पूर्व 7वीं-छठी शताब्दी के मोड़ पर रहते थे। एन.एस. उन्होंने सबूत के बारे में बहुत विचार व्यक्त किया, लेकिन इसे व्यवस्थित रूप से, चुनिंदा रूप से, एक नियम के रूप में, स्पष्ट ज्यामितीय बयानों पर लागू किया जैसे "व्यास सर्कल को आधे में विभाजित करता है।" पाइथागोरस बहुत आगे निकल गया। ऐसा माना जाता है कि उन्होंने पहली परिभाषा, स्वयंसिद्ध और सबूत के तरीके पेश किए, और ज्यामिति में पहला पाठ्यक्रम भी बनाया, जिसे प्राचीन यूनानियों को "पाइथागोरस की परंपरा" नाम से जाना जाता है। वह संख्याओं और स्टीरियोमेट्री के सिद्धांत के मूल में भी खड़ा था।

पाइथागोरस की एक और महत्वपूर्ण योग्यता गणितज्ञों के गौरवशाली स्कूल की स्थापना है, जिसने एक सदी से भी अधिक समय तक प्राचीन ग्रीस में इस विज्ञान के विकास को निर्धारित किया था। शब्द "गणित" (ग्रीक शब्द μαθημa - सिद्धांत, विज्ञान से) भी उनके नाम से जुड़ा है, पाइथागोरस और उनके अनुयायियों द्वारा बनाए गए चार संबंधित विषयों को एकजुट करते हुए - पाइथागोरस - ज्ञान की एक प्रणाली: ज्यामिति, अंकगणित, खगोल विज्ञान और हार्मोनिक्स।

पाइथागोरस की उपलब्धियों को उनके छात्रों की उपलब्धियों से अलग करना असंभव है: प्रथा का पालन करते हुए, उन्होंने अपने स्वयं के विचारों और खोजों को अपने शिक्षक के लिए जिम्मेदार ठहराया। प्रारंभिक पाइथागोरस ने कोई रचना नहीं छोड़ी, उन्होंने सभी सूचनाओं को एक दूसरे को मौखिक रूप से प्रेषित किया। तो २,५०० साल बाद, इतिहासकारों के पास अन्य, बाद के लेखकों के प्रतिलेखन से खोए हुए ज्ञान को फिर से बनाने के अलावा कोई विकल्प नहीं है। आइए यूनानियों को श्रद्धांजलि अर्पित करें: हालांकि उन्होंने पाइथागोरस के नाम को कई किंवदंतियों से घेर लिया, लेकिन उन्होंने उसे ऐसा कुछ भी नहीं बताया जिसे वह खोज या सिद्धांत में विकसित नहीं कर सका। और प्रमेय जो उनके नाम को धारण करता है वह कोई अपवाद नहीं है।

इतना सरल प्रमाण

यह ज्ञात नहीं है कि पाइथागोरस ने स्वयं एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं की लंबाई के बीच संबंध की खोज की थी या इस ज्ञान को उधार लिया था। प्राचीन लेखकों ने दावा किया कि वह खुद, और अपनी खोज के सम्मान में, पाइथागोरस ने एक बैल की बलि कैसे दी, इसकी किंवदंती को फिर से बताना पसंद किया। आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि उन्होंने बेबीलोन के गणित से परिचित होकर प्रमेय के बारे में सीखा। हम यह भी नहीं जानते कि पाइथागोरस ने किस रूप में प्रमेय तैयार किया: अंकगणितीय रूप से, जैसा कि आज प्रथागत है, - कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, या ज्यामितीय रूप से, पूर्वजों की भावना में, - ए एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना वर्ग उसके पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

ऐसा माना जाता है कि यह पाइथागोरस था जिसने अपने नाम के प्रमेय का पहला प्रमाण दिया था। बेशक, यह बच नहीं पाया है। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस अपने स्कूल में विकसित अनुपात के सिद्धांत का उपयोग कर सकते थे। उस पर आधारित था, विशेष रूप से, समानता का सिद्धांत, जिस पर तर्क आधारित है। पैरों a और b कर्ण c की ऊंचाई के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाएं। हमें तीन समान त्रिभुज मिलते हैं, जिनमें मूल त्रिभुज भी शामिल है। उनकी संबंधित भुजाएँ समानुपाती हैं, a: c = m: a और b: c = n: b, जहाँ से a 2 = c m और b 2 = c n। तब a 2 + b 2 = = c · (m + n) = c 2 (चित्र 4)।

यह विज्ञान के इतिहासकारों में से एक द्वारा प्रस्तावित सिर्फ एक पुनर्निर्माण है, लेकिन सबूत, आप देखते हैं, काफी सरल है: इसमें केवल कुछ पंक्तियां होती हैं, आपको कुछ भी पूरा करने, फिर से तैयार करने, गणना करने की आवश्यकता नहीं है ... यह आश्चर्य की बात नहीं है कि इसे एक से अधिक बार फिर से खोजा गया था। यह शामिल है, उदाहरण के लिए, पीसा के लियोनार्डो (1220) द्वारा "ज्यामिति का अभ्यास" में, और यह अभी भी पाठ्यपुस्तकों में उद्धृत किया गया है।

इस प्रमाण ने पाइथागोरस के अनुरूपता के बारे में विचारों का खंडन नहीं किया: शुरू में उनका मानना ​​​​था कि किसी भी दो खंडों की लंबाई का अनुपात, और इसलिए रेक्टिलिनियर आंकड़ों के क्षेत्रों को प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। उन्होंने किसी अन्य संख्या पर विचार नहीं किया, यहां तक ​​​​कि अंशों की अनुमति नहीं दी, उन्हें अनुपात 1: 2, 2: 3, आदि के साथ बदल दिया। हालांकि, विडंबना यह है कि पाइथागोरस प्रमेय ने पाइथागोरस को विकर्ण की असंगति की खोज के लिए प्रेरित किया। एक वर्ग और उसकी भुजा का। इस विकर्ण की लंबाई को संख्यात्मक रूप से दर्शाने के सभी प्रयास - इकाई वर्ग के लिए यह √2 के बराबर है - कहीं भी नेतृत्व नहीं किया है। यह साबित करना आसान हो गया कि समस्या अनसुलझी है। ऐसे मामले के लिए, गणितज्ञों के पास एक सिद्ध विधि है - विरोधाभास द्वारा प्रमाण। वैसे, उनका श्रेय पाइथागोरस को भी जाता है।

एक रिश्ते का अस्तित्व जो प्राकृतिक संख्याओं में व्यक्त नहीं किया जाता है, पाइथागोरस के कई विचारों को समाप्त कर देता है। यह स्पष्ट हो गया कि वे जो संख्याएँ जानते थे, वे साधारण समस्याओं को भी हल करने के लिए पर्याप्त नहीं थीं, सभी ज्यामिति को तो छोड़ दें! यह खोज ग्रीक गणित के विकास में एक महत्वपूर्ण मोड़ थी, इसकी केंद्रीय समस्या। सबसे पहले, इसने अतुलनीय मात्राओं के सिद्धांत का विकास किया - तर्कहीनता, और फिर संख्या की अवधारणा के विस्तार के लिए। दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के सेट पर शोध का सदियों पुराना इतिहास उनके साथ शुरू हुआ।

पाइथागोरस की मोज़ेक

यदि आप विमान को दो अलग-अलग आकारों के वर्गों के साथ कवर करते हैं, प्रत्येक छोटे वर्ग के चारों ओर चार बड़े वर्ग के साथ, आपको एक लकड़ी की छत "पाइथागोरस मोज़ेक" मिलती है। पाइथागोरस प्रमेय (इसलिए इसका नाम) के प्राचीन प्रमाणों को याद करते हुए इस तरह के पैटर्न में लंबे समय तक पत्थर के फर्श हैं। लकड़ी की छत पर अलग-अलग तरीकों से एक वर्गाकार ग्रिड लगाकर, आप एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर बने वर्गों के विभाजन प्राप्त कर सकते हैं, जो विभिन्न गणितज्ञों द्वारा प्रस्तावित किए गए थे। उदाहरण के लिए, यदि आप ग्रिड को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि उसके सभी नोड छोटे वर्गों के ऊपरी दाएँ कोने के साथ मेल खाते हैं, तो चित्र के टुकड़े मध्ययुगीन फ़ारसी गणितज्ञ अल-नैरिज़ी के प्रमाण के लिए दिखाई देंगे, जिसे उन्होंने यूक्लिड की टिप्पणियों में रखा था। शुरुआत। यह देखना आसान है कि बड़े और छोटे वर्गों के क्षेत्रों का योग, लकड़ी की छत के मूल तत्व, उस पर लगाए गए ग्रिड के एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और इसका मतलब है कि निर्दिष्ट विभाजन वास्तव में लकड़ी की छत बिछाने के लिए उपयुक्त है: परिणामी बहुभुजों को वर्गों में जोड़कर, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, आप पूरे विमान को बिना अंतराल और ओवरलैप के उनके साथ भर सकते हैं।

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ज़र्ग। शक शटल। पाइथागोरस प्रमेय, जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रों के बीच संबंध स्थापित करता है। बीटीएस, 835 ... रूसी कहावतों का एक बड़ा शब्दकोश

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पायथागॉरियन पैंट- पाइथागोरस प्रमेय का विनोदी नाम, जो कर्ण पर बने वर्गों के क्षेत्रों और एक समकोण त्रिभुज के पैरों के बीच संबंध स्थापित करता है, जो चित्रों में पैंट के कट जैसा दिखता है ... कई भावों का शब्दकोश

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पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं- पाइथागोरस प्रमेय का एक विनोदी प्रमाण; दोस्त की बैगी ट्राउजर का भी मजाक... लोक वाक्यांशविज्ञान का शब्दकोश

उदा।, असभ्य ...

पाइथागोर की पैंट सभी तरफ बराबर है (बटनों की संख्या ज्ञात है। बकवास तंग क्यों है? / इसे साबित करने के लिए, इसे हटाना और दिखाना आवश्यक है)- adj।, असभ्य ... शब्दकोशआधुनिक बोलचाल की वाक्यांशवैज्ञानिक इकाइयाँ और बातें

संज्ञा।, Pl।, Uptr। सीएफ अक्सर आकृति विज्ञान: pl। क्या? पैंट, (नहीं) क्या? पैंट, क्यों? पैंट, (देखें) क्या? पैंट क्या? किस बारे में पैंट? पैंट के बारे में 1. एक पैंट कपड़ों का एक टुकड़ा है जिसमें दो छोटे या लंबे पैर होते हैं और निचले हिस्से को कवर करते हैं ... ... दिमित्रीव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

पुस्तकें

• पाइथागोरस पैंट,. इस किताब में आपको फंतासी और रोमांच, चमत्कार और कल्पना मिलेगी। मजेदार और दुखद, साधारण और रहस्यमय ... एक मनोरंजक पढ़ने के लिए और क्या चाहिए? मुख्य बात यह है कि...
• चमत्कार ऑन व्हील्स, मारकुशा अनातोली। लाखों पहिए पूरी पृथ्वी पर घूमते हैं - वे कारों को घुमाते हैं, घड़ियों में समय मापते हैं, ट्रेनों के नीचे दस्तक देते हैं, मशीन टूल्स और विभिन्न तंत्रों में अनगिनत काम करते हैं। वे…

»वारविक विश्वविद्यालय में गणित के प्रतिष्ठित प्रोफेसर, विज्ञान के प्रसिद्ध लोकप्रिय इयान स्टीवर्ट, मानव जाति के इतिहास में संख्याओं की भूमिका और हमारे समय में उनके अध्ययन की प्रासंगिकता के लिए समर्पित हैं।

पाइथागोरस कर्ण

पाइथागोरस त्रिभुजों में एक समकोण और पूर्णांक भुजाएँ होती हैं। उनमें से सबसे सरल की लंबाई 5 की सबसे लंबी भुजा है, अन्य - 3 और 4। कुल मिलाकर, 5 नियमित पॉलीहेड्रा हैं। पाँचवीं-डिग्री के समीकरण को पाँचवीं-डिग्री की जड़ों - या किसी अन्य जड़ों का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है। समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में जाली में रोटेशन की पांच-लोब वाली समरूपता नहीं होती है; इसलिए, क्रिस्टल में भी ऐसी समरूपता अनुपस्थित हैं। हालांकि, वे चार-आयामी अंतरिक्ष में जाली में और क्वासिक क्रिस्टल के रूप में जाने वाली दिलचस्प संरचनाओं में पाए जा सकते हैं।

सबसे छोटे पाइथागोरस त्रिक का कर्ण Hypo

पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा (कुख्यात कर्ण) इस त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं से बहुत ही सरल और खूबसूरती से संबंधित होती है: कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

परंपरागत रूप से हम इस प्रमेय को पाइथागोरस के नाम से पुकारते हैं, लेकिन वास्तव में इसका इतिहास काफी अस्पष्ट है। मिट्टी की गोलियों से पता चलता है कि प्राचीन बेबीलोन के लोग पाइथागोरस प्रमेय को पाइथागोरस से बहुत पहले से जानते थे; पाइथागोरस के गणितीय पंथ द्वारा खोजकर्ता की महिमा उनके पास लाई गई, जिनके समर्थकों का मानना ​​​​था कि ब्रह्मांड संख्यात्मक कानूनों पर आधारित था। प्राचीन लेखकों ने पाइथागोरस को जिम्मेदार ठहराया - और इसलिए पाइथागोरस के लिए - विभिन्न प्रकार के गणितीय प्रमेय, लेकिन वास्तव में हमें पता नहीं है कि पाइथागोरस स्वयं किस तरह का गणित कर रहा था। हम यह भी नहीं जानते कि पाइथागोरस पायथागॉरियन प्रमेय को सिद्ध कर सकते हैं या यदि वे इसे केवल सत्य मानते हैं। या, सबसे अधिक संभावना है, उनके पास इसकी सच्चाई के पुख्ता सबूत थे, जो फिर भी उस बात के लिए पर्याप्त नहीं होगा जिसे हम आज सबूत मानते हैं।

पाइथागोरस के प्रमाण

पाइथागोरस प्रमेय का पहला ज्ञात प्रमाण हमें यूक्लिड के तत्वों में मिलता है। यह एक ड्राइंग का उपयोग करते हुए एक जटिल सबूत है जिसमें विक्टोरियन स्कूली बच्चे तुरंत "पायथागॉरियन पैंट" को पहचान लेंगे; चित्र वास्तव में एक रस्सी पर सूखने वाले जांघिया जैसा दिखता है। वस्तुतः सैकड़ों अन्य साक्ष्य ज्ञात हैं, जिनमें से अधिकांश दावे के तर्क को और अधिक स्पष्ट करते हैं।

// चावल। 33. पायथागॉरियन पैंट

सबसे सरल प्रमाणों में से एक एक प्रकार की गणित पहेली है। कोई भी समकोण त्रिभुज लें, उसकी चार प्रतियाँ बनाएँ और उन्हें एक वर्ग के अंदर जमा करें। एक स्टैकिंग के साथ, हम कर्ण पर एक वर्ग देखते हैं; दूसरी ओर, त्रिभुज के अन्य दो पक्षों पर वर्ग। साथ ही, यह स्पष्ट है कि दोनों मामलों में क्षेत्र समान हैं।

// चावल। 34. बायां: कर्ण पर वर्ग (प्लस चार त्रिकोण)। दाएँ: अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग (साथ ही समान चार त्रिभुज)। अब त्रिभुजों को हटा दें।

पेरिगल का विच्छेदन एक और सबूत-पहेली है।

// चावल। 35. पेरिगैल का विच्छेदन

समतल में वर्गों की पैकिंग का उपयोग करते हुए प्रमेय का एक प्रमाण भी है। शायद इसी तरह पाइथागोरस या उनके अज्ञात पूर्ववर्तियों ने इस प्रमेय की खोज की। यदि आप देखते हैं कि कैसे तिरछा वर्ग अन्य दो वर्गों को ओवरलैप करता है, तो आप देख सकते हैं कि एक बड़े वर्ग को टुकड़ों में कैसे काटें और फिर उनमें से दो छोटे वर्गों को मोड़ें। आप समकोण त्रिभुज भी देख सकते हैं, जिनकी भुजाएँ तीन सम्मिलित वर्गों के आयाम देती हैं।

// चावल। 36. फ़र्श का सबूत

त्रिकोणमिति में समरूप त्रिभुजों का उपयोग करने के दिलचस्प प्रमाण हैं। साक्ष्य के कम से कम पचास अलग-अलग टुकड़े ज्ञात हैं।

पाइथागोरस त्रिक

संख्या सिद्धांत में, पाइथागोरस प्रमेय एक उपयोगी विचार का स्रोत बन गया: बीजीय समीकरणों के पूर्णांक समाधान खोजने के लिए। एक पायथागॉरियन ट्रिपल पूर्णांक ए, बी और सी का एक सेट है जैसे कि

ज्यामितीय रूप से, ऐसा त्रिक पूर्णांक पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज को परिभाषित करता है।

पाइथागोरस त्रिक का सबसे छोटा कर्ण 5 है।

इस त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ 3 और 4 हैं। यहाँ

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

अगला सबसे बड़ा कर्ण 10 है क्योंकि

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

हालाँकि, यह अनिवार्य रूप से एक ही त्रिभुज है जिसमें दोगुने भुजाएँ हैं। अगला सबसे बड़ा और सही मायने में भिन्न कर्ण 13 है, इसके लिए

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

यूक्लिड जानता था कि पाइथागोरस त्रिक के विभिन्न रूपों की एक अनंत संख्या है, और उन सभी को खोजने के लिए एक सूत्र कहा जा सकता है। बाद में, अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस ने एक साधारण नुस्खा प्रस्तावित किया जो मूल रूप से यूक्लिडियन के साथ मेल खाता था।

कोई दो प्राकृत संख्याएँ लीजिए और परिकलित कीजिए :

उनका दोगुना काम;

उनके वर्गों के बीच का अंतर;

उनके वर्गों का योग।

तीन परिणामी संख्याएँ पाइथागोरस त्रिभुज की भुजाएँ होंगी।

उदाहरण के लिए, संख्या 2 और 1 लें। गणना करें:

दोहरा उत्पाद: 2 × 2 × 1 = 4;

वर्गों का अंतर: 22 - 12 = 3;

वर्गों का योग: 22 + 12 = 5,

और हमें प्रसिद्ध त्रिभुज 3-4-5 प्राप्त हुआ। यदि हम इसके स्थान पर संख्या 3 और 2 लेते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

दोहरा उत्पाद: 2 × 3 × 2 = 12;

वर्गों का अंतर: 32 - 22 = 5;

वर्गों का योग: 32 + 22 = 13,

और हमें अगला सबसे प्रसिद्ध त्रिभुज 5 - 12 - 13 मिलता है। आइए 42 और 23 की संख्याएँ लेने का प्रयास करें और प्राप्त करें:

दोहरा उत्पाद: 2 × 42 × 23 = 1932;

वर्गों का अंतर: 422 - 232 = 1235;

वर्गों का योग: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 त्रिभुज के बारे में किसी ने कभी नहीं सुना।

लेकिन ये नंबर भी काम करते हैं:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

डायोफैंटाइन नियम में एक और विशेषता है, जिस पर पहले ही संकेत दिया जा चुका है: तीन संख्याएँ प्राप्त करने के बाद, हम एक और मनमाना संख्या ले सकते हैं और उन सभी को इससे गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, एक ३-४-५ त्रिभुज को ६-८-१० त्रिभुज में सभी पक्षों को २ से गुणा करके, या १५-२०-२५ त्रिभुज में सभी को ५ से गुणा करके बदला जा सकता है।

यदि हम बीजगणित की भाषा पर स्विच करते हैं, तो नियम निम्नलिखित रूप लेता है: मान लें कि u, v और k प्राकृत संख्याएँ हैं। फिर भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज

2kuv और k (u2 - v2) में एक कर्ण है

मुख्य विचार को प्रस्तुत करने के अन्य तरीके भी हैं, लेकिन वे सभी ऊपर वर्णित एक तक ही सीमित हैं। यह विधि आपको सभी पाइथागोरस त्रिक प्राप्त करने की अनुमति देती है।

नियमित पॉलीहेड्रा

ठीक पाँच नियमित पॉलीहेड्रा हैं। एक नियमित पॉलीहेड्रॉन (या पॉलीहेड्रॉन) एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें सीमित संख्या में फ्लैट चेहरे होते हैं। चेहरे किनारों नामक रेखाओं पर अभिसरण करते हैं; किनारे उन बिंदुओं पर मिलते हैं जिन्हें शीर्ष कहते हैं।

यूक्लिडियन "बिगिनिंग्स" की परिणति इस बात का प्रमाण है कि केवल पांच नियमित पॉलीहेड्रा हो सकते हैं, यानी पॉलीहेड्रा जिसमें प्रत्येक चेहरा एक नियमित बहुभुज (समान पक्ष, समान कोण) होता है, सभी चेहरे समान होते हैं और सभी कोने एक से घिरे होते हैं। समान दूरी वाले चेहरों की समान संख्या। यहाँ पाँच नियमित पॉलीहेड्रा हैं:

चार त्रिकोणीय चेहरे, चार कोने और छह किनारों के साथ एक चतुष्फलक;

एक घन, या हेक्साहेड्रोन, जिसमें 6 वर्गाकार फलक, 8 कोने और 12 किनारे हों;

8 त्रिभुजाकार फलकों, 6 शीर्षों और 12 किनारों वाला अष्टफलक;

12 पंचकोणीय फलकों, 20 शीर्षों और 30 किनारों के साथ डोडेकाहेड्रोन;

20 त्रिकोणीय चेहरे, 12 कोने और 30 किनारों वाला एक इकोसाहेड्रोन।

// चावल। 37. पांच नियमित पॉलीहेड्रा

नियमित पॉलीहेड्रा प्रकृति में भी पाया जा सकता है। १९०४ में अर्नस्ट हेकेल ने छोटे जीवों के चित्र प्रकाशित किए जिन्हें रेडियोलेरियन कहा जाता है; उनमें से कई आकार में बहुत ही पाँच नियमित पॉलीहेड्रा से मिलते जुलते हैं। शायद, हालांकि, उन्होंने प्रकृति को थोड़ा ठीक किया, और चित्र विशिष्ट जीवित प्राणियों के आकार को पूरी तरह से प्रतिबिंबित नहीं करते हैं। क्रिस्टल में पहले तीन संरचनाएं भी देखी जाती हैं। आपको क्रिस्टल में डोडेकाहेड्रॉन और इकोसैहेड्रॉन नहीं मिलेंगे, हालांकि अनियमित डोडेकेहेड्रॉन और इकोसाहेड्रोन कभी-कभी वहां आते हैं। सच्चे डोडेकाहेड्रोन क्वासिक क्रिस्टल के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं, जो हर तरह से क्रिस्टल के समान होते हैं, सिवाय इसके कि उनके परमाणु एक आवधिक जाली नहीं बनाते हैं।

// चावल। 38. हेकेल के चित्र: नियमित पॉलीहेड्रा के रूप में रेडियोलेरियन

// चावल। 39. नियमित पॉलीहेड्रा का स्वीप

पहले से जुड़े चेहरों के एक सेट को काटकर कागज से नियमित पॉलीहेड्रा के मॉडल बनाना दिलचस्प हो सकता है - इसे पॉलीहेड्रॉन अनफोल्डिंग कहा जाता है; रिएमर को किनारों के साथ मोड़ा जाता है और संबंधित किनारों को एक साथ चिपकाया जाता है। ऐसी प्रत्येक जोड़ी के किनारों में से एक में अतिरिक्त गोंद पैड जोड़ना उपयोगी है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 39. यदि ऐसा कोई क्षेत्र नहीं है, तो आप चिपकने वाली टेप का उपयोग कर सकते हैं।

पांचवीं डिग्री का समीकरण

5वीं डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए कोई बीजीय सूत्र नहीं है।

सामान्य शब्दों में, पाँचवीं डिग्री का समीकरण इस तरह दिखता है:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + पूर्व + f = 0।

समस्या इस तरह के समीकरण के समाधान के लिए एक सूत्र खोजने की है (इसमें अधिकतम पांच समाधान हो सकते हैं)। द्विघात और घन समीकरणों के साथ-साथ चौथी डिग्री के समीकरणों के साथ व्यवहार करने का अनुभव बताता है कि ऐसा सूत्र पांचवीं डिग्री के समीकरणों के लिए भी मौजूद होना चाहिए, और, सिद्धांत रूप में, पांचवीं, तीसरी और दूसरी डिग्री की जड़ें उसमें दिखना चाहिए। फिर, हम सुरक्षित रूप से यह मान सकते हैं कि ऐसा सूत्र, यदि यह मौजूद है, तो बहुत, बहुत कठिन हो जाएगा।

यह धारणा अंत में गलत निकली। वास्तव में, ऐसा कोई सूत्र मौजूद नहीं है; कम से कम ए, बी, सी, डी, ई और एफ के गुणांकों का कोई सूत्र नहीं है, जो जोड़, घटाव, गुणा और भाग और जड़ों के निष्कर्षण का उपयोग करके बनाया गया है। तो 5 अंक के बारे में कुछ बहुत ही खास है। पांचों के इस असामान्य व्यवहार के कारण बहुत गहरे हैं, और उन्हें समझने में काफी समय लगा।

समस्या का पहला संकेत यह था कि गणितज्ञों ने इस तरह के सूत्र को खोजने की कितनी भी कोशिश की हो, चाहे वे कितने भी स्मार्ट क्यों न हों, वे हमेशा असफल रहे। कुछ समय के लिए, सभी का मानना ​​​​था कि इसका कारण सूत्र की अविश्वसनीय जटिलता है। यह माना जाता था कि कोई भी इस बीजगणित को ठीक से नहीं समझ सकता है। हालांकि, समय के साथ, कुछ गणितज्ञों को संदेह होने लगा कि ऐसा कोई सूत्र मौजूद है, और 1823 में नील्स हेंड्रिक एबेल इसके विपरीत साबित करने में सक्षम थे। ऐसा कोई सूत्र नहीं है। इसके तुरंत बाद, एवरिस्टे गैलोइस ने यह निर्धारित करने का एक तरीका खोजा कि क्या एक डिग्री या किसी अन्य का समीकरण - 5 वीं, 6 वीं, 7 वीं, सामान्य रूप से, कोई भी - इस तरह के सूत्र का उपयोग करके हल करने योग्य था।

इस सब से निष्कर्ष सरल है: संख्या 5 विशेष है। आप बीजीय समीकरणों को हल कर सकते हैं ( का उपयोग करके) nth . की जड़ेंडिग्री n के विभिन्न मानों के लिए) डिग्री 1, 2, 3, और 4 के लिए, लेकिन 5वीं डिग्री के लिए नहीं। यह वह जगह है जहाँ स्पष्ट पैटर्न समाप्त होता है।

यह किसी के लिए कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि 5 से अधिक घात वाले समीकरण और भी खराब व्यवहार करते हैं; विशेष रूप से, वही कठिनाई उनके साथ जुड़ी हुई है: नहीं सामान्य सूत्रउन्हें हल करने के लिए। इसका यह अर्थ नहीं है कि समीकरणों का कोई हल नहीं है; इसका यह भी अर्थ नहीं है कि इन समाधानों के बहुत सटीक संख्यात्मक मान ज्ञात करना असंभव है। यह सब पारंपरिक बीजगणित उपकरणों की सीमाओं के बारे में है। यह एक शासक और कंपास के साथ कोण को ट्राइसेक्ट करने की असंभवता की याद दिलाता है। उत्तर मौजूद है, लेकिन सूचीबद्ध विधियां अपर्याप्त हैं और आपको यह निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती हैं कि यह क्या है।

क्रिस्टलोग्राफिक सीमा

दो और तीन आयामों में क्रिस्टल में 5-बीम घूर्णी समरूपता नहीं होती है।

क्रिस्टल में परमाणु एक जाली बनाते हैं, यानी एक संरचना जो समय-समय पर कई स्वतंत्र दिशाओं में दोहराती है। उदाहरण के लिए, वॉलपेपर पर पैटर्न को रोल की लंबाई के साथ दोहराया जाता है; इसके अलावा, यह आमतौर पर क्षैतिज रूप से दोहराया जाता है, कभी-कभी वॉलपेपर के एक टुकड़े से दूसरे में बदलाव के साथ। मूलतः, वॉलपेपर एक द्वि-आयामी क्रिस्टल है।

फ्लैट वॉलपेपर की 17 किस्में हैं (अध्याय 17 देखें)। वे समरूपता के प्रकारों में भिन्न होते हैं, अर्थात्, ड्राइंग को सख्ती से स्थानांतरित करने के तरीकों में ताकि यह बिल्कुल अपनी मूल स्थिति में हो। समरूपता के प्रकारों में, विशेष रूप से, रोटेशन की समरूपता के विभिन्न प्रकार शामिल हैं, जहां चित्र को एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक निश्चित कोण से घुमाया जाना चाहिए - समरूपता का केंद्र।

रोटेशन समरूपता क्रम यह है कि शरीर को एक पूर्ण सर्कल में कितनी बार घुमाया जा सकता है ताकि ड्राइंग के सभी विवरण अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएं। उदाहरण के लिए, 90 ° रोटेशन एक चौथा क्रम रोटेशन समरूपता है *। क्रिस्टल जाली में संभावित प्रकार के रोटेशन समरूपता की सूची फिर से संख्या 5 की असामान्यता की ओर इशारा करती है: यह वहां नहीं है। 2, 3, 4 और 6 वें क्रम की घूर्णी समरूपताएँ हैं, लेकिन किसी भी वॉलपेपर में 5 वें क्रम की घूर्णी समरूपता नहीं है। क्रिस्टल में 6 से अधिक क्रम की कोई रोटेशन समरूपता नहीं है, लेकिन अनुक्रम का पहला उल्लंघन अभी भी संख्या 5 पर होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में क्रिस्टलोग्राफिक सिस्टम के साथ भी ऐसा ही होता है। यहां ग्रिड तीन स्वतंत्र दिशाओं में खुद को दोहराता है। समरूपता के 219 विभिन्न प्रकार हैं, या 230 यदि आप गिनें तो दर्पण प्रतिबिंबइसके एक अलग संस्करण के रूप में ड्राइंग - इस तथ्य के बावजूद कि इस मामले में कोई दर्पण समरूपता नहीं है। फिर से, क्रम 2, 3, 4, और 6 की रोटेशन समरूपता देखी जाती है, लेकिन 5 नहीं। इस तथ्य को क्रिस्टलोग्राफिक बाधा कहा जाता है।

चार-आयामी अंतरिक्ष में, 5 वें क्रम समरूपता वाले जाली मौजूद हैं; सामान्य तौर पर, पर्याप्त रूप से उच्च आयाम के जाली के लिए, रोटेशन समरूपता का कोई पूर्व निर्धारित क्रम संभव है।

// चावल। 40. टेबल नमक की क्रिस्टल जाली। डार्क बॉल सोडियम परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, हल्के वाले - क्लोरीन परमाणु

क्वासिक क्रिस्टल

यद्यपि २डी और ३डी जाली में ५वें क्रम की घूर्णी समरूपता संभव नहीं है, यह थोड़े कम नियमित संरचनाओं में मौजूद हो सकता है जिन्हें क्वासिक क्रिस्टल कहा जाता है। केप्लर के रेखाचित्रों का उपयोग करते हुए, रोजर पेनरोज़ ने अधिक सामान्य प्रकार की पाँच गुना समरूपता के साथ प्लानर सिस्टम की खोज की। उन्हें क्वासिक क्रिस्टल कहा जाता है।

प्रकृति में क्वासिक क्रिस्टल मौजूद हैं। 1984 में, डैनियल शेचमैन ने पाया कि एल्यूमीनियम और मैंगनीज का एक मिश्र धातु क्वासिक क्रिस्टल बना सकता है; प्रारंभ में, क्रिस्टलोग्राफरों ने कुछ संदेह के साथ उनके संदेश का स्वागत किया, लेकिन बाद में इस खोज की पुष्टि हुई, और 2011 में शेखतमैन को सम्मानित किया गया। नोबेल पुरुस्काररसायन विज्ञान में। 2009 में, लुका बिंदी के नेतृत्व में वैज्ञानिकों की एक टीम ने रूसी कोर्याक हाइलैंड्स से एक खनिज में क्वासिक क्रिस्टल की खोज की - एल्यूमीनियम, तांबा और लोहे का एक संयोजन। आज इस खनिज को icosahedrite कहा जाता है। एक मास स्पेक्ट्रोमीटर के साथ खनिज में विभिन्न ऑक्सीजन समस्थानिकों की सामग्री को मापने के बाद, वैज्ञानिकों ने दिखाया है कि इस खनिज की उत्पत्ति पृथ्वी पर नहीं हुई थी। यह लगभग ४.५ अरब साल पहले बना था, ऐसे समय में जब सौर मंडल अभी नवजात था, और अधिकांश समय सूर्य की परिक्रमा करते हुए, क्षुद्रग्रह बेल्ट में बिताया, जब तक कि कुछ गड़बड़ी ने इसकी कक्षा को बदल नहीं दिया और अंततः इसे पृथ्वी पर ले गया।

// चावल। 41. वामपंथी: ठीक पांच गुना समरूपता के साथ दो अर्ध-क्रिस्टलीय जाली में से एक। दाएं: एक आइकोसाहेड्रल एल्यूमीनियम-पैलेडियम-मैंगनीज क्वासिक क्रिस्टल का परमाणु मॉडल

रचनात्मकता की संभावना को आमतौर पर मानविकी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, प्राकृतिक विज्ञान को विश्लेषण, एक व्यावहारिक दृष्टिकोण और सूत्रों और संख्याओं की एक सूखी भाषा के साथ छोड़ दिया जाता है। गणित को मानवीय विषयों के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है। लेकिन "सभी विज्ञानों की रानी" में रचनात्मकता के बिना आप दूर नहीं जाएंगे - लोग इस बारे में लंबे समय से जानते हैं। पाइथागोरस के समय से, उदाहरण के लिए।

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें, दुर्भाग्य से, आमतौर पर यह नहीं समझाती हैं कि गणित में न केवल प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और सूत्रों को रटना महत्वपूर्ण है। इसके मूल सिद्धांतों को समझना और महसूस करना महत्वपूर्ण है। और साथ ही अपने मन को क्लिच और प्राथमिक सत्य से मुक्त करने का प्रयास करें - केवल ऐसी स्थितियों में ही सभी महान खोजें पैदा होती हैं।

इन खोजों में वह शामिल है जिसे हम आज पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जानते हैं। इसकी मदद से हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि गणित न केवल रोमांचक हो सकता है, बल्कि रोमांचक भी होना चाहिए। और यह कि यह साहसिक कार्य न केवल मोटे चश्मे वाले नर्ड के लिए उपयुक्त है, बल्कि उन सभी के लिए उपयुक्त है जो दिमाग से मजबूत और आत्मा में मजबूत हैं।

मुद्दे के इतिहास से

कड़ाई से बोलते हुए, हालांकि प्रमेय को "पाइथागोरस प्रमेय" कहा जाता है, पाइथागोरस ने स्वयं इसकी खोज नहीं की थी। समकोण त्रिभुज और इसके विशेष गुणों का अध्ययन इसके बहुत पहले किया गया था। इस मुद्दे पर दो विपरीत दृष्टिकोण हैं। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का पूर्ण प्रमाण खोजने वाला पहला व्यक्ति था। दूसरे के अनुसार, सबूत पाइथागोरस से संबंधित नहीं है।

आज आप यह नहीं देख सकते कि कौन सही है और कौन गलत। यह केवल ज्ञात है कि पाइथागोरस का प्रमाण, यदि वह कभी अस्तित्व में था, नहीं बच पाया है। हालांकि, ऐसे सुझाव हैं कि यूक्लिड के "एलिमेंट्स" का प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस का हो सकता है, और यूक्लिड ने केवल इसे रिकॉर्ड किया है।

आज यह भी ज्ञात है कि प्राचीन भारतीय ग्रंथ "सुलवा सूत्र" में राजा हम्मुराबी के शासनकाल की बेबीलोनियन मिट्टी की गोलियों पर फिरौन अमेनेमहट I के समय के मिस्र के स्रोतों में एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याएं पाई जाती हैं। प्राचीन चीनी रचना "झोउ-बी सुआन जिन"।

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से गणितज्ञों के दिमाग पर कब्जा कर लिया है। लगभग 367 विभिन्न साक्ष्य हैं जो आज भी मौजूद हैं। इसमें कोई अन्य प्रमेय इसका मुकाबला नहीं कर सकता। उल्लेखनीय प्रमाण लेखकों में लियोनार्डो दा विंची और संयुक्त राज्य अमेरिका के बीसवें राष्ट्रपति जेम्स गारफील्ड शामिल हैं। यह सब गणित के लिए इस प्रमेय के अत्यधिक महत्व की बात करता है: ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे या किसी न किसी तरह से जुड़े हुए हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण

स्कूली पाठ्यपुस्तकों में ज्यादातर बीजीय प्रमाण दिए जाते हैं। लेकिन प्रमेय का सार ज्यामिति में है, तो आइए सबसे पहले प्रसिद्ध प्रमेय के उन सभी प्रमाणों पर विचार करें, जो इस विज्ञान पर आधारित हैं।

सबूत १

एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के सरलतम प्रमाण के लिए, आपको आदर्श स्थितियाँ निर्धारित करने की आवश्यकता है: त्रिभुज को न केवल समकोण, बल्कि समद्विबाहु भी होने दें। यह मानने का कारण है कि इस त्रिभुज को मूल रूप से पुरातनता के गणितज्ञों द्वारा माना जाता था।

कथन "एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना एक वर्ग उसके पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है"निम्नलिखित चित्र द्वारा सचित्र किया जा सकता है:

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को देखें: कर्ण AC पर, आप मूल ABC के बराबर चार त्रिभुजों से मिलकर बना एक वर्ग बना सकते हैं। और पैरों AB और BC पर इसे एक वर्ग में बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक में दो समान त्रिभुज हैं।

वैसे, इस ड्राइंग ने पाइथागोरस प्रमेय को समर्पित कई उपाख्यानों और कार्टूनों का आधार बनाया। सबसे प्रसिद्ध है शायद "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं":

सबूत 2

यह विधि बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है और इसे गणितज्ञ भास्करी के प्राचीन भारतीय प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।

भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनाइए ए, बी और सी(चित्र .1)। फिर दोनों पैरों की लंबाई के योग के बराबर भुजाओं वाले दो वर्ग बनाएं, - (ए + बी)... प्रत्येक वर्ग में, आकृति 2 और 3 के अनुसार बनाइए।

पहले वर्ग में, चार समान त्रिभुजों का निर्माण करें जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। परिणामस्वरूप, आपको दो वर्ग मिलते हैं: एक भुजा a के साथ, दूसरा भुजा वाला बी.

दूसरे वर्ग में, चार निर्मित समरूप त्रिभुज एक वर्ग बनाते हैं जिसकी भुजा कर्ण के बराबर होती है सी.

चित्र 2 में निर्मित वर्गों के क्षेत्रफलों का योग उस वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है जिसे हमने चित्र 3 में भुजा c से बनाया है। इसे अंजीर में वर्गों के क्षेत्रों की गणना करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। 2 सूत्र द्वारा। और चित्र 3 में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल एक वर्ग समकोण त्रिभुजों में अंकित चार बराबर क्षेत्रफलों को एक भुजा वाले बड़े वर्ग के क्षेत्रफल से घटाकर (ए + बी).

यह सब लिखते हुए, हमारे पास है: ए 2 + बी 2 = (ए + बी) 2 - 2ab... कोष्ठक का विस्तार करें, सभी आवश्यक बीजगणितीय गणना करें और प्राप्त करें ए 2 + बी 2 = ए 2 + बी 2... इस मामले में, अंजीर में अंकित क्षेत्र। 3. वर्ग की गणना पारंपरिक सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है एस = सी 2... वे। ए 2 + बी 2 = सी 2- आपने पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध कर दिया।

सबूत 3

उसी प्राचीन भारतीय प्रमाण का वर्णन बारहवीं शताब्दी में "द क्राउन ऑफ नॉलेज" ("सिद्धांत शिरोमणि") ग्रंथ में किया गया है और मुख्य तर्क के रूप में लेखक गणितीय प्रतिभाओं और छात्रों और अनुयायियों के अवलोकन को संबोधित अपील का उपयोग करता है: " नज़र!"

लेकिन हम इस प्रमाण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे:

वर्ग के अंदर, चार समकोण त्रिभुज बनाएं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। बड़े वर्ग की भुजा, यह कर्ण भी है, हम निरूपित करते हैं साथ... त्रिभुज की टाँगें कहलाती हैं लेकिनतथा बी... चित्र के अनुसार, भीतरी वर्ग की भुजा है (ए-बी).

एक वर्ग सूत्र के क्षेत्रफल का प्रयोग करें एस = सी 2बाहरी वर्ग के क्षेत्र की गणना करने के लिए। और साथ ही, आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल और चारों समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर समान राशि की गणना करें: (ए-बी) 2 2 + 4 * 1 \ 2 * ए * बी.

आप यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे एक ही परिणाम देते हैं, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना के लिए दोनों विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। और यह आपको यह लिखने का अधिकार देता है कि सी 2 = (ए-बी) 2 + 4 * 1 \ 2 * ए * बी... समाधान के परिणामस्वरूप, आपको पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र प्राप्त होगा सी 2 = ए 2 + बी 2... प्रमेय सिद्ध होता है।

सबूत 4

इस जिज्ञासु प्राचीन चीनी प्रमाण को "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता है - सभी निर्माणों के परिणामस्वरूप प्राप्त कुर्सी जैसी आकृति के कारण:

यह उस चित्र का उपयोग करता है जिसे हमने पहले ही दूसरे प्रमाण में चित्र 3 में देखा था। और साइड c वाला भीतरी वर्ग उसी तरह बनाया गया है जैसे ऊपर दिए गए प्राचीन भारतीय प्रमाण में।

यदि आप मानसिक रूप से दो हरे समकोण त्रिभुजों को चित्र 1 में चित्र से काटते हैं, तो उन्हें वर्ग के विपरीत पक्षों पर ले जाएँ, c और कर्ण, बकाइन त्रिभुजों के कर्ण से संलग्न करें, आपको "दुल्हन की कुर्सी" नामक एक आकृति मिलती है " (रेखा चित्र नम्बर 2)। स्पष्टता के लिए, आप पेपर वर्गों और त्रिकोणों के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं। आप देखेंगे कि "दुल्हन की कुर्सी" दो वर्गों द्वारा बनाई गई है: एक तरफ के साथ छोटा बीऔर एक पक्ष के साथ बड़ा ए.

इन निर्माणों ने प्राचीन चीनी गणितज्ञों को अनुमति दी और हम उनका अनुसरण करते हुए इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सी 2 = ए 2 + बी 2.

सबूत 5

यह पाइथागोरस प्रमेय का समाधान खोजने का एक और तरीका है, जो ज्यामिति पर निर्भर करता है। इसे गारफील्ड विधि कहा जाता है।

एक समकोण त्रिभुज की रचना करें एबीसी... हमें यह साबित करना होगा कि बीसी 2 = एसी 2 + एबी 2.

ऐसा करने के लिए, पैर जारी रखें जैसाऔर एक खंड बनाएं सीडीजो पैर के बराबर है अब... लंबवत नीचे करें विज्ञापनरेखा खंड ईडी... सेगमेंट ईडीतथा जैसाबराबर हैं। बिंदुओं को मिलाओ इतथा में, साथ ही साथ इतथा साथऔर नीचे दिए गए चित्र के अनुसार एक चित्र प्राप्त करें:

टावर को साबित करने के लिए, हम फिर से उस विधि का सहारा लेते हैं जिसे हमने पहले ही आजमाया है: परिणामी आकृति का क्षेत्रफल दो तरह से ज्ञात करें और भावों को एक-दूसरे से समान करें।

बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तरइसे बनाने वाले तीन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर यह संभव है। और उनमें से एक, ईआरयू, न केवल आयताकार है, बल्कि समद्विबाहु भी है। हम यह भी नहीं भूलते एबी = सीडी, एसी = ईडीतथा ईसा पूर्व = सीई- यह हमें रिकॉर्डिंग को सरल बनाने और इसे अधिभारित करने की अनुमति नहीं देगा। इसलिए, एस एबीईडी = 2 * 1/2 (एबी * एसी) + 1/2बीसी 2.

इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि एक बिस्तरएक समलम्ब है। इसलिए, हम इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा करते हैं: एस एबीईडी = (डीई + एबी) * 1/2AD... हमारी गणना के लिए, खंड का प्रतिनिधित्व करना अधिक सुविधाजनक और स्पष्ट है विज्ञापनखंडों के योग के रूप में जैसातथा सीडी.

आइए एक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए दोनों तरीकों को लिखें, उनके बीच एक समान चिन्ह लगाएं: एबी * एसी + 1/2बीसी 2 = (डीई + एबी) * 1/2 (एसी + सीडी)... हम पहले से ज्ञात और ऊपर वर्णित खंडों की समानता का उपयोग अंकन के दाहिने हाथ को सरल बनाने के लिए करते हैं: एबी * एसी + 1/2बीसी 2 = 1/2 (एबी + एसी) 2... आइए अब कोष्ठकों का विस्तार करें और समानता को रूपांतरित करें: एबी * एसी + 1/2BC 2 = 1/2AC 2 + 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2AB 2... सभी परिवर्तनों को पूरा करने के बाद, हमें वही मिलता है जो हमें चाहिए: बीसी 2 = एसी 2 + एबी 2... हमने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

बेशक, सबूतों की यह सूची पूरी तरह से दूर है। पाइथागोरस प्रमेय को वैक्टर, कॉम्प्लेक्स नंबर, डिफरेंशियल इक्वेशन, स्टीरियोमेट्री आदि का उपयोग करके भी साबित किया जा सकता है। और यहां तक ​​​​कि भौतिकी: यदि, उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए समान वर्ग और त्रिकोणीय संस्करणों में तरल डाला जाता है। तरल डालने से, एक परिणाम के रूप में क्षेत्रों और प्रमेय की समानता को साबित कर सकता है।

पाइथागोरस ट्रिपलेट्स के बारे में कुछ शब्द

यह मुद्दा स्कूली पाठ्यक्रम में बहुत कम पढ़ाया जाता है या नहीं पढ़ा जाता है। और फिर भी यह बहुत ही रोचक और ज्यामिति में बहुत महत्व रखता है। कई गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए पाइथागोरस त्रिक का उपयोग किया जाता है। उनका विचार आपकी आगे की शिक्षा में आपके काम आ सकता है।

तो पाइथागोरस ट्रिपल क्या हैं? तथाकथित प्राकृत संख्याएँ, तीन में एकत्रित, जिनमें से दो के वर्गों का योग तीसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है।

पाइथागोरस त्रिक हो सकते हैं:

• आदिम (तीनों संख्याएँ परस्पर अभाज्य हैं);
• आदिम नहीं (यदि ट्रिपल की प्रत्येक संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको एक नया ट्रिपल मिलता है, जो कि आदिम नहीं है)।

हमारे युग से पहले भी, प्राचीन मिस्रवासी पायथागॉरियन ट्रिपल की संख्या के उन्माद से मोहित थे: समस्याओं में उन्होंने ३,४ और ५ इकाइयों के पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज माना। वैसे, कोई भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस त्रिक से संख्याओं के बराबर होती हैं, डिफ़ॉल्ट रूप से आयताकार होता है।

पाइथागोरस त्रिक के उदाहरण: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (१४, ४८, ५०), (३०, ४०, ५०), आदि।

प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला और निर्माण, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि साहित्य में भी लागू होता है।

सबसे पहले, निर्माण के बारे में: पाइथागोरस प्रमेय समस्याओं में इसमें व्यापक आवेदन पाता है अलग - अलग स्तरकठिनाइयाँ। उदाहरण के लिए, रोमनस्क्यू विंडो पर एक नज़र डालें:

आइए विंडो की चौड़ाई को इस प्रकार निरूपित करें बी, तो अर्धवृत्त की त्रिज्या को के रूप में दर्शाया जा सकता है आरऔर व्यक्त करें बी: आर = बी / 2... छोटे अर्धवृत्तों की त्रिज्या को के रूप में भी व्यक्त किया जाता है बी: आर = बी / 4... इस समस्या में, हम विंडो के आंतरिक वृत्त की त्रिज्या में रुचि रखते हैं (चलो इसे कहते हैं पी).

पाइथागोरस प्रमेय गणना करने के काम आता है आर... ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हैं, जिसे आकृति में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। एक त्रिभुज के कर्ण में दो त्रिज्याएँ होती हैं: बी / 4 + पी... एक पैर त्रिज्या है बी 4, एक और बी / 2-पी... पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (बी / 4 + पी) 2 = (बी / 4) 2 + (बी / 2-पी) 2... अगला, हम कोष्ठक खोलते हैं और प्राप्त करते हैं बी 2/16 + बीपी / 2 + पी 2 = बी 2/16 + बी 2/4-बीपी + पी 2... हम इस अभिव्यक्ति को . में बदलते हैं बीपी / 2 = बी 2/4-बीपी... और फिर हम सभी पदों को से विभाजित करते हैं बी, हम प्राप्त करने के लिए समान देते हैं 3/2 * पी = बी / 4... और अंत में हम पाएंगे कि पी = बी / 6- जो हमें चाहिए था।

प्रमेय का उपयोग करके, आप एक विशाल छत के लिए बाद की लंबाई की गणना कर सकते हैं। निर्धारित करें कि सिग्नल को एक निश्चित बस्ती तक पहुंचने के लिए मोबाइल टॉवर की कितनी ऊँचाई की आवश्यकता है। और यहां तक ​​कि टाउन स्क्वायर में स्थायी रूप से एक क्रिसमस ट्री स्थापित करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह प्रमेय न केवल पाठ्यपुस्तकों के पन्नों पर रहता है, बल्कि वास्तविक जीवन में अक्सर उपयोगी होता है।

साहित्य के लिए, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से लेखकों को प्रेरित किया है और हमारे समय में भी ऐसा करना जारी रखता है। उदाहरण के लिए, उन्नीसवीं सदी के जर्मन लेखक एडेलबर्ट वॉन चामिसो को एक सॉनेट लिखने के लिए प्रेरित किया गया था:

सत्य का प्रकाश शीघ्र नहीं बुझेगा
लेकिन, चमकते हुए, यह शायद ही विलुप्त हो जाएगा
और, सहस्राब्दी पहले की तरह,
संदेह और विवाद का कारण नहीं बनेगा।

सबसे बुद्धिमान जब यह आंख को छूता है
सत्य का प्रकाश, देवताओं को धन्यवाद दिया जाता है;
और सौ बैल, छुरा घोंपा, झूठ -
भाग्यशाली पाइथागोरस की ओर से एक पारस्परिक उपहार।

तब से, बैल बुरी तरह दहाड़ रहे हैं:
बैल जनजाति द्वारा हमेशा के लिए चिंतित
यहां बताई गई घटना।

उन्हें ऐसा लगता है: समय आने वाला है
और फिर उनकी बलि दी जाएगी
कुछ महान प्रमेय।

(विक्टर टोपोरोव द्वारा अनुवाद)

और बीसवीं शताब्दी में, सोवियत लेखक येवगेनी वेल्टिस्टोव ने अपनी पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए एक पूरा अध्याय समर्पित किया। और आधा अध्याय दो-आयामी दुनिया की कहानी के लिए, जो अस्तित्व में हो सकता है यदि पाइथागोरस प्रमेय एक ही दुनिया के लिए मौलिक कानून और यहां तक ​​​​कि धर्म भी बन जाता है। इसमें रहना बहुत आसान होगा, लेकिन बहुत अधिक उबाऊ भी होगा: उदाहरण के लिए, कोई भी "गोल" और "शराबी" शब्दों का अर्थ नहीं समझता है।

और पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में लेखक, गणित के शिक्षक तातार के मुंह के माध्यम से कहते हैं: "गणित में मुख्य बात विचार, नए विचारों का आंदोलन है।" यह विचार की रचनात्मक उड़ान है जो पाइथागोरस प्रमेय उत्पन्न करती है - यह व्यर्थ नहीं है कि इसके इतने सारे अलग-अलग प्रमाण हैं। यह परिचित की सीमाओं से परे जाने और परिचित चीजों को नए तरीके से देखने में मदद करता है।

निष्कर्ष

यह लेख इसलिए बनाया गया था ताकि आप गणित में स्कूली पाठ्यक्रम से परे देख सकें और न केवल पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों का पता लगा सकें, जो पाठ्यपुस्तकों "ज्यामिति 7-9" (एल.एस. अतानासियन, वी। एन। रुडेंको) और "ज्यामिति 7" में दिए गए हैं। -11 "(एवी पोगोरेलोव), लेकिन प्रसिद्ध प्रमेय को साबित करने के अन्य दिलचस्प तरीके भी। और यह भी देखें कि पाइथागोरस प्रमेय को दैनिक जीवन में कैसे लागू किया जा सकता है।

सबसे पहले, यह जानकारी आपको गणित के पाठों में उच्च स्कोर के लिए अर्हता प्राप्त करने की अनुमति देगी - अतिरिक्त स्रोतों से विषय पर जानकारी की हमेशा सराहना की जाती है।

दूसरे, हम आपको यह समझने में मदद करना चाहते हैं कि गणित कितना दिलचस्प है। विशिष्ट उदाहरणों के साथ सुनिश्चित करें कि इसमें रचनात्मकता के लिए हमेशा जगह है। हमें उम्मीद है कि पाइथागोरस प्रमेय और यह लेख आपको गणित और अन्य विज्ञानों में अपनी खोज और रोमांचक खोजों के लिए प्रेरित करेगा।

हमें टिप्पणियों में बताएं कि क्या आपको इस लेख में सबूत दिलचस्प लगे। क्या यह जानकारी आपके अध्ययन में उपयोगी थी? हमें लिखें कि आप पाइथागोरस प्रमेय और इस लेख के बारे में क्या सोचते हैं - हमें आपके साथ इस सब पर चर्चा करने में खुशी होगी।

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