बेबीलोनिया में दशमलव अंशों की उपस्थिति। भिन्न: भिन्नों का इतिहास। साधारण भिन्नों की उत्पत्ति का इतिहास। भिन्न: बाबुल में भिन्नों का इतिहास

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बाबुल, मिस्र, रोम में अंश। दशमलव भिन्नों की खोज उत्कृष्ट गतिविधियों में एक दृश्य मार्गदर्शिका के रूप में उपयोग के लिए प्रस्तुति
मार्केलोवा जी.वी., गणित के शिक्षक, एमबीओयू माध्यमिक विद्यालय की ग्रेमाचिंस्की शाखा पी। चांबियाँ

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भिन्नों की उत्पत्ति के बारे में
भिन्नात्मक संख्याओं की आवश्यकता मानव अभ्यास के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुई। शिकार के बाद शिकार को विभाजित करते समय हमारे पूर्वजों में एक इकाई के शेयरों को खोजने की आवश्यकता दिखाई दी। भिन्नात्मक संख्याओं के प्रकट होने का दूसरा महत्वपूर्ण कारण माप की चयनित इकाई का उपयोग करके मात्राओं का मापन माना जाना चाहिए। इस प्रकार अंश उत्पन्न हुए।

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अधिक सटीक माप की आवश्यकता ने इस तथ्य को जन्म दिया कि माप की प्रारंभिक इकाइयों को 2, 3 या अधिक भागों में विभाजित किया जाने लगा। माप की छोटी इकाई, जिसे विखंडन के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया था, को एक व्यक्तिगत नाम दिया गया था, और मूल्यों को इस छोटी इकाई द्वारा मापा गया था। इस आवश्यक कार्य के संबंध में, लोगों ने अभिव्यक्तियों का उपयोग करना शुरू किया: आधा, तीसरा, ढाई कदम। जहाँ से यह निष्कर्ष निकालना संभव हुआ कि मात्राओं को मापने के परिणामस्वरूप भिन्नात्मक संख्याएँ उत्पन्न हुईं। आधुनिक लेखन में आने तक राष्ट्र भिन्नों को लिखने के कई अलग-अलग तरीकों से गुज़रे।

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भिन्नात्मक संख्या के विकास के इतिहास में, हम तीन प्रकार के भिन्न पाते हैं:
1) भिन्न या इकाई अंश, जिनमें अंश एक है, हर कोई पूर्णांक हो सकता है; 2) व्यवस्थित भिन्न, जिसमें अंश कोई भी संख्या हो सकते हैं, जबकि हर किसी विशेष प्रकार की संख्याएँ होती हैं, उदाहरण के लिए, दस या साठ की घातें;
3) सामान्य भिन्न, जिसमें अंश और हर कोई भी संख्या हो सकती है। इन तीन अलग-अलग प्रकार के भिन्नों के आविष्कार ने मानवता के लिए कठिनाई के विभिन्न अंश प्रस्तुत किए, इसलिए भिन्न-भिन्न युगों में भिन्न-भिन्न प्रकार के अंश दिखाई दिए।

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बाबुल में अंश
बेबीलोन के लोग केवल दो संख्याओं का प्रयोग करते थे। लंबवत बार एक इकाई का प्रतिनिधित्व करता है, और दो अतिव्यापी सलाखों का कोण दस का प्रतिनिधित्व करता है। उन्हें ये पंक्तियाँ वेजेज के रूप में मिलीं, क्योंकि बेबीलोनियों ने नम मिट्टी की गोलियों पर एक तेज छड़ी के साथ लिखा था, जिसे बाद में सुखाकर जला दिया गया था।

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प्राचीन मिस्र में अंश
प्राचीन मिस्र में, वास्तुकला विकास के उच्च स्तर पर पहुंच गई। भव्य पिरामिडों और मंदिरों के निर्माण के लिए, आकृतियों की लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने के लिए, अंकगणित जानना आवश्यक था। पपीरी पर गूढ़ जानकारी से, वैज्ञानिकों ने सीखा कि 4,000 साल पहले मिस्रवासियों के पास एक दशमलव (लेकिन स्थितीय नहीं) संख्या प्रणाली थी, जो निर्माण, व्यापार और सैन्य मामलों की जरूरतों से संबंधित कई समस्याओं को हल करने में सक्षम थे।

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हेक्साडेसिमल अंश
प्राचीन बाबुल में, 60 के निरंतर हर को प्राथमिकता दी जाती थी। बाबुल से विरासत में मिले साठ के दशक का उपयोग ग्रीक और अरबी गणितज्ञों और खगोलविदों द्वारा किया गया था। शोधकर्ता बेबीलोनियाई लोगों के बीच छ: अंकीय संख्या प्रणाली की उपस्थिति की अलग-अलग व्याख्या करते हैं। सबसे अधिक संभावना है, आधार 60 को ध्यान में रखा गया था, जो 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60 का गुणक है, जो किसी भी गणना को बहुत सुविधाजनक बनाता है। इस संबंध में, सेक्सजेसिमल अंशों की तुलना हमारे दशमलव अंशों से की जा सकती है। "साठ के दशक," "तीन हजार छह सौवें" शब्दों के बजाय छोटे शब्दों में बोले: "पहले छोटे हिस्से", "दूसरे छोटे हिस्से"। इससे हमारे शब्द "मिनट" ("कम" के लिए लैटिन) और "सेकंड" ("सेकंड" के लिए लैटिन) आए। इसलिए भिन्नों को निरूपित करने के बेबीलोन के तरीके ने आज तक अपना अर्थ बरकरार रखा है।

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"मिस्र के अंश"
प्राचीन मिस्र में, कुछ अंशों के अपने विशेष नाम थे - अर्थात्, अक्सर अभ्यास 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 और 1/8 में उत्पन्न होते हैं। इसके अलावा, मिस्रवासी 1 / n प्रकार के तथाकथित विभाज्य अंशों (लैटिन विभाज्य से - कई) के साथ काम करना जानते थे - इसलिए उन्हें कभी-कभी "मिस्र" भी कहा जाता है; इन अंशों की अपनी वर्तनी थी: एक लम्बी क्षैतिज अंडाकार और इसके नीचे हर का पदनाम। उन्होंने शेष अंशों को शेयरों के योग के रूप में लिखा। अंश 7/8 को भिन्न के रूप में दर्ज किया गया था: ½ + 1/4 + 1/8।

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प्राचीन रोम में अंश
प्राचीन रोम में भिन्नों की एक दिलचस्प प्रणाली थी। यह वजन की इकाई के 12 भागों से विभाजित करने पर आधारित था, जिसे गधा कहा जाता था। गधे के बारहवें भाग को आउंस कहा जाता था। और जिस तरह, समय और अन्य मात्राओं की तुलना एक दृश्य चीज़ - वजन से की गई। उदाहरण के लिए, एक रोमन कह सकता है कि वह सात-औंस पथ पर चला, या पाँच-औंस की किताब पढ़ी। इस मामले में, निश्चित रूप से, यह किसी पथ या पुस्तक को तोलने के बारे में नहीं था। इसका मतलब था कि रास्ते का 7/12 पास हो गया था या किताब का 5/12 पढ़ा जा चुका था। और 12 के हर के साथ अंशों को कम करके या बारहवें हिस्से को छोटे में विभाजित करके प्राप्त अंशों के लिए, विशेष नाम थे।
1 ट्रॉय औंस सोना - कीमती धातुओं के वजन का एक माप

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दशमलव अंशों को खोलना
कई सहस्राब्दियों से, मानव जाति भिन्नात्मक संख्याओं का उपयोग कर रही है, लेकिन उन्हें सुविधाजनक दशमलव स्थानों के साथ लिखने का विचार बहुत बाद में आया। आज हम दशमलव का प्रयोग स्वाभाविक और स्वतंत्र रूप से करते हैं। पश्चिमी यूरोप में, 16वीं शताब्दी। पूर्ण संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए व्यापक दशमलव प्रणाली के साथ, बेबीलोनियाई लोगों की प्राचीन परंपरा से डेटिंग, गणनाओं में हर जगह सेक्सजेसिमल अंशों का उपयोग किया जाता था।

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डच गणितज्ञ साइमन स्टीविन के उज्ज्वल दिमाग को पूर्ण और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के अंकन को एक प्रणाली में लाने के लिए लिया गया था।

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दशमलव भिन्नों का उपयोग करना
17वीं शताब्दी की शुरुआत से, विज्ञान और अभ्यास में दशमलव अंशों की गहन पैठ शुरू होती है। इंग्लैंड में, एक अवधि को पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने के संकेत के रूप में पेश किया गया था। अल्पविराम, अवधि की तरह, 1617 में गणितज्ञ नेपियर द्वारा विभाजक के रूप में प्रस्तावित किया गया था। सामान्य अंशों की तुलना में बहुत अधिक बार।
उद्योग और व्यापार, विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विकास के लिए अधिक से अधिक बोझिल गणनाओं की आवश्यकता थी, जो दशमलव अंशों की सहायता से करना आसान था। 1 9वीं शताब्दी में माप और वजन के निकट से संबंधित मीट्रिक प्रणाली की शुरूआत के बाद दशमलव अंशों का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। उदाहरण के लिए, हमारे देश में कृषि और उद्योग में, दशमलव अंश और उनके विशेष रूप - प्रतिशत - सामान्य अंशों की तुलना में बहुत अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

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दशमलव भिन्नों का उपयोग करना
17वीं शताब्दी की शुरुआत से, विज्ञान और अभ्यास में दशमलव अंशों की गहन पैठ शुरू होती है। इंग्लैंड में, एक अवधि को पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने के संकेत के रूप में पेश किया गया था। अल्पविराम, अवधि की तरह, 1617 में गणितज्ञ नेपियर द्वारा विभाजक के रूप में प्रस्तावित किया गया था। उद्योग और व्यापार, विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विकास के लिए अधिक से अधिक बोझिल गणनाओं की आवश्यकता थी, जो दशमलव अंशों की सहायता से करना आसान था। 1 9वीं शताब्दी में माप और वजन के निकट से संबंधित मीट्रिक प्रणाली की शुरूआत के बाद दशमलव अंशों का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। उदाहरण के लिए, हमारे देश में कृषि और उद्योग में, दशमलव अंश और उनके विशेष रूप - प्रतिशत - सामान्य अंशों की तुलना में बहुत अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

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सूत्रों की सूची
M.Ya। वायगोडस्की "प्राचीन विश्व में अंकगणित और बीजगणित"। जीआई ग्लेज़र "स्कूल में गणित का इतिहास"। I.Ya.Depman "अंकगणित का इतिहास"। विलेनकिन एन। वाई। "फ्रैक्शंस के इतिहास से" फ्रिडमैन एल.एम. "गणित सीखना"। बाबुल, मिस्र, रोम में अंश। दशमलव अंशों की खोज ... prezentacii.com ›इतिहास> दशमलव अंशों की खोज ... गणित "बेबीलोन, मिस्र, रोम में भिन्न। दशमलव की खोज ... पीपीटी4वेब.ru› ... drobi ... rime .. . desjatichnykh-drobejj.html बेबीलोन, मिस्र, रोम में भिन्न। दशमलव भिन्नों की खोज "... powerpt.ru› ... drobi-v ... rime ... desyatichnyh-drobey.html मिस्र, प्राचीन रोम, बेबीलोन . दशमलव अंशों की खोज। "... uchportal.ru› कार्यप्रणाली विकास › दशमलव अंशों की खोज। गणित का इतिहास: ... रोम, बेबीलोन। दशमलव अंशों की खोज ... rusedu.ru› विवरण_23107.html 9प्रस्तुति: .. प्राचीन रोम, बेबीलोन दशमलव भिन्नों की खोज ... prezentacii-powerpoint.ru ›... drobi ... vavilone ... drobej / भिन्न बाबुल, मिस्र, रोम में। दशमलव की खोज ... prezentacia.ucoz.ru › ... drobi_v ... desjatichnykh_drobej ...

निबंध

अनुशासन से: "गणित"

इस विषय पर: "असामान्य साधारण अंश"

प्रदर्शन किया:

पांचवी कक्षा का छात्र

फ्रोलोवा नतालिया

पर्यवेक्षक:

ड्रशचेंको ई.ए.

गणित शिक्षक

स्ट्रेज़ेवॉय शहर, टॉम्स्क क्षेत्र

परिचय

इस साल हमने सामान्य भिन्नों का अध्ययन करना शुरू किया। बहुत ही असामान्य संख्याएं, जो उनके असामान्य लेखन से शुरू होती हैं और उनसे निपटने के लिए जटिल नियमों पर समाप्त होती हैं। यद्यपि उनके साथ पहले परिचित से यह स्पष्ट था कि हम सामान्य जीवन में भी उनके बिना नहीं कर सकते, क्योंकि हर दिन हमें पूरे को भागों में विभाजित करने की समस्या से निपटना पड़ता है, और एक निश्चित क्षण में भी मुझे ऐसा लगता था कि हम अब पूर्णांकों से नहीं, बल्कि भिन्नात्मक संख्याओं से घिरे हुए थे। उनके साथ की दुनिया अधिक जटिल हो गई, लेकिन साथ ही साथ अधिक दिलचस्प भी। मेरे कुछ सवाल है। क्या आपको अंशों की आवश्यकता है? क्या वे महत्वपूर्ण हैं? मैं जानना चाहता था कि भिन्न कहां से आए, उनके साथ काम करने के नियम कौन लेकर आए। यद्यपि आविष्कार किया गया शब्द शायद बहुत उपयुक्त नहीं है, क्योंकि गणित में हर चीज की जाँच की जानी चाहिए, क्योंकि हमारे जीवन के सभी विज्ञान और उद्योग स्पष्ट गणितीय कानूनों पर आधारित हैं जो पूरी दुनिया में प्रभावी हैं। ऐसा नहीं हो सकता है कि हमारे देश में भिन्नों का योग एक नियम के अनुसार किया जाता है, और कहीं इंग्लैंड में यह भिन्न होता है।

सार पर काम के दौरान, मुझे कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ा: नए नियमों और अवधारणाओं के साथ, मुझे अपना सिर तोड़ना पड़ा, समस्याओं को हल करना और प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा प्रस्तावित समाधान का विश्लेषण करना पड़ा। इसके अलावा, टाइप करते समय, मुझे पहली बार भिन्न और भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को मुद्रित करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ा।

मेरे निबंध का उद्देश्य: एक साधारण अंश की अवधारणा के विकास के इतिहास का पता लगाने के लिए, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में साधारण अंशों का उपयोग करने की आवश्यकता और महत्व को दिखाने के लिए। जो कार्य मैंने स्वयं निर्धारित किए हैं: सार और उसके व्यवस्थितकरण के विषय पर सामग्री एकत्र करना, पुरानी समस्याओं का अध्ययन करना, संसाधित सामग्री का सामान्यीकरण करना, सामान्यीकृत सामग्री तैयार करना, प्रस्तुति तैयार करना, सार प्रस्तुत करना।

मेरे काम में तीन अध्याय हैं। मैंने 7 स्रोतों से सामग्री का अध्ययन और प्रसंस्करण किया है, जिसमें शैक्षिक, वैज्ञानिक और विश्वकोश साहित्य, एक इंटरनेट साइट शामिल है। मैंने एक एप्लिकेशन डिज़ाइन किया है जिसमें प्राचीन स्रोतों से समस्याओं का चयन होता है, साधारण अंशों के साथ कुछ मनोरंजक समस्याएं होती हैं, और पावर प्वाइंट संपादक में एक प्रस्तुति भी तैयार की जाती है।

I. साधारण भिन्नों के इतिहास से

भिन्नों का उद्भव

कई ऐतिहासिक और गणितीय अध्ययनों से पता चलता है कि प्राचीन काल में विभिन्न लोगों के बीच भिन्नात्मक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के तुरंत बाद दिखाई देती हैं। भिन्नों की उपस्थिति व्यावहारिक आवश्यकताओं से जुड़ी है: भागों में विभाजन से जुड़े कार्य बहुत आम थे। इसके अलावा, जीवन में, एक व्यक्ति को न केवल वस्तुओं को गिनना था, बल्कि मात्राओं को भी मापना था। लोग लंबाई, भूमि भूखंडों के क्षेत्रों, आयतन, पिंडों के द्रव्यमान के माप से मिले। इस मामले में, ऐसा हुआ कि माप की इकाई मापा मूल्य में पूर्णांक संख्या में फिट नहीं हुई। उदाहरण के लिए, चरणों में एक खंड की लंबाई को मापते समय, एक व्यक्ति निम्नलिखित घटना से मिला: लंबाई में दस कदम फिट होते हैं, और शेष एक कदम से कम रहता है। इसलिए, भिन्नात्मक संख्याओं के प्रकट होने का दूसरा महत्वपूर्ण कारण माप की चयनित इकाई का उपयोग करके मात्राओं का माप माना जाना चाहिए।

इस प्रकार, सभी सभ्यताओं में, अंश की अवधारणा संपूर्ण को समान भागों में विभाजित करने की प्रक्रिया से उत्पन्न हुई। रूसी शब्द "अंश", अन्य भाषाओं में अपने समकक्षों की तरह, लैट से आता है। फ्रैक्चुरा, जो बदले में, अरबी शब्द का एक ही अर्थ के साथ अनुवाद है: टूटना, बिखरना। इसलिए, शायद, हर जगह पहले अंश 1 / n के रूप के अंश थे। आगे का विकास स्वाभाविक रूप से इन भिन्नों को इकाइयों के रूप में मानने की दिशा में जाता है, जिससे भिन्न m / n - परिमेय संख्याएँ - की रचना की जा सकती है। हालांकि, यह मार्ग सभी सभ्यताओं द्वारा नहीं चलाया गया था: उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र के गणित में इसे कभी भी महसूस नहीं किया गया था।

लोगों को मिलने वाला पहला अंश आधा था। हालाँकि निम्नलिखित सभी भिन्नों के नाम उनके हर (तीन - "तीसरे", चार - "तिमाही", आदि) के नामों से जुड़े हैं, आधे के लिए ऐसा नहीं है - सभी भाषाओं में इसका नाम कुछ भी नहीं है "दो" शब्द के साथ करो।

भिन्नों को दर्ज करने की प्रणाली, उनके साथ व्यवहार करने के नियम, अलग-अलग लोगों के बीच और एक ही लोगों के बीच अलग-अलग समय पर अलग-अलग थे। विभिन्न सभ्यताओं के सांस्कृतिक संपर्कों के दौरान विचारों के कई उधार ने भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

प्राचीन मिस्र में अंश

प्राचीन मिस्र में, केवल सबसे सरल अंशों का उपयोग किया जाता था, जिसमें अंश एक के बराबर होता है (जिन्हें हम "अंश" कहते हैं)। गणितज्ञ ऐसे अंशों को विभाज्य कहते हैं (लैटिन विभाज्य से - कई)। नाम का उपयोग मूल अंशों या इकाई अंशों के लिए भी किया जाता है।

इसके अलावा, मिस्रवासियों ने चित्रलिपि-आधारित संकेतन रूपों का इस्तेमाल किया Horus की आँख (Wadget)... पूर्वजों को सूर्य और आंख की छवि के आपस में जुड़ने की विशेषता है। मिस्र की पौराणिक कथाओं में, देवता होरस का अक्सर उल्लेख किया जाता है, जो पंखों वाले सूर्य का प्रतीक है और सबसे आम पवित्र प्रतीकों में से एक है। सूर्य के शत्रुओं के साथ युद्ध में, सेट के रूप में अवतरित, होरस पहले पराजित होता है। सेठ आंख को चीरता है - एक अद्भुत आंख - और उसे फाड़ देता है। थॉथ - सीखने, तर्क और न्याय के देवता - ने फिर से आंख के हिस्सों को एक पूरे में डाल दिया, जिससे "होरस की स्वस्थ आंख" बन गई। कटे हुए आँख के हिस्सों की छवियों का इस्तेमाल प्राचीन मिस्र में लिखित रूप में 1/2 से 1/64 तक के अंशों को दर्शाने के लिए किया जाता था।

विजेट में शामिल छह वर्णों का योग, और एक सामान्य हर में घटाया गया: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

मिस्र के भिन्नों को विभाजित करने के लिए लिखने के अन्य रूपों के संयोजन में इस तरह के अंशों का उपयोग किया गया था हेकाटे, प्राचीन मिस्र में आयतन का मुख्य माप। इस संयुक्त रिकॉर्डिंग का उपयोग अनाज, ब्रेड और बीयर की मात्रा को मापने के लिए भी किया गया था। यदि, होरस की आंख के अंश के रूप में राशि दर्ज करने के बाद, कुछ अवशेष रह गए, तो इसे सामान्य रूप में आरओ के गुणक के रूप में दर्ज किया गया, माप की एक इकाई हेकेट के 1/320 के बराबर।

इस मामले में, "मुंह" को सभी चित्रलिपि के सामने रखा गया था।

हेकेटीजौ: 1/2 + 1/4 + 1/32 (अर्थात जौ के 25/32 बर्तन)।

हेकेटीलगभग 4.785 लीटर के बराबर।

मिस्रवासियों ने किसी अन्य भिन्न को विभाज्य भिन्नों के योग के रूप में दर्शाया, उदाहरण के लिए, 9/16 = 1/2 + 1/16; 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 इत्यादि।

यह इस प्रकार लिखा गया था: / 2/16; / 2/4/8.

कुछ मामलों में, यह काफी आसान लगता है। उदाहरण के लिए, 2/7 = 1/7 + 1/7। लेकिन मिस्रवासियों का एक और नियम भिन्नों की एक श्रृंखला में संख्याओं की पुनरावृत्ति का अभाव था। यानी उनकी राय में 2/7 1/4 + 1/28 था।

कई aliquots के योग को अब एक मिस्री अंश कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, योग के प्रत्येक अंश में एक के बराबर एक अंश और एक हर होता है, जो एक प्राकृतिक संख्या है।

निश्चित रूप से, सभी भिन्नों को एकता के रूप में व्यक्त करते हुए, विभिन्न गणनाएँ करना बहुत कठिन और समय लेने वाला था। इसलिए, मिस्र के विद्वानों ने मुंशी के काम को आसान बनाने का ध्यान रखा। उन्होंने भिन्नों के अपघटन की विशेष तालिकाओं को सरलतम में संकलित किया। प्राचीन मिस्र के गणितीय दस्तावेज गणित पर वैज्ञानिक ग्रंथ नहीं हैं, बल्कि जीवन से लिए गए उदाहरणों के साथ व्यावहारिक पाठ्यपुस्तकें हैं। स्क्रिब स्कूल के छात्र को जिन कार्यों को हल करना था, उनमें खलिहान की क्षमता, और टोकरी की मात्रा, और क्षेत्र का क्षेत्र, और उत्तराधिकारियों के बीच संपत्ति का विभाजन दोनों की गणना थी। और दूसरे। मुंशी को इन पैटर्नों को याद रखना था और गणना के लिए उन्हें जल्दी से लागू करने में सक्षम होना था।

मिस्र के अंशों के लिए सबसे पहले ज्ञात संदर्भों में से एक रिंडा गणितीय पेपिरस है। तीन पुराने ग्रंथ जो मिस्र के अंशों का उल्लेख करते हैं, वे हैं मिस्र के गणितीय चमड़ा स्क्रॉल, मॉस्को गणितीय पेपिरस और अहमिम की लकड़ी की गोली।

मिस्र के गणित का सबसे प्राचीन स्मारक, तथाकथित "मॉस्को पेपिरस", 19वीं शताब्दी ईसा पूर्व का एक दस्तावेज है। इसे 1893 में प्राचीन खजाने के संग्रहकर्ता गोलेनिश्चेव द्वारा अधिग्रहित किया गया था, और 1912 में यह मास्को के ललित कला संग्रहालय की संपत्ति बन गया। इसमें 25 अलग-अलग कार्य शामिल थे।

उदाहरण के लिए, यह 37 को (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7) के रूप में दी गई संख्या से विभाजित करने की समस्या पर विचार करता है। इस भिन्नात्मक संख्या को क्रमिक रूप से दोगुना करके और 37 और जो हुआ उसके बीच के अंतर को व्यक्त करने के साथ-साथ एक ऐसी प्रक्रिया का उपयोग करना जो अनिवार्य रूप से समान भाजक को खोजने के समान है, आपको उत्तर मिलता है: भागफल 16 + 1/56 + 1/679 है + 1/776।

सबसे बड़ा गणितीय दस्तावेज - मुंशी अहम्स की गणना के लिए मैनुअल पर पेपिरस - 1858 में अंग्रेजी कलेक्टर रेंड द्वारा पाया गया था। पपीरस को 17वीं शताब्दी ईसा पूर्व में संकलित किया गया था। इसकी लंबाई 20 मीटर, चौड़ाई 30 सेंटीमीटर है। इसमें 84 गणितीय समस्याएं, उनके समाधान और उत्तर मिस्र के अंशों के रूप में लिखे गए हैं।

अहम्स पेपिरस एक तालिका से शुरू होता है जिसमें 2/5 से 2/99 तक के फॉर्म 2 \ n के सभी अंशों को विभाज्य के योग के रूप में लिखा जाता है। मिस्रवासी भिन्नों को गुणा और भाग करना भी जानते थे। लेकिन गुणा करने के लिए, आपको भिन्नों को भिन्नों से गुणा करना होगा, और फिर, शायद, फिर से तालिका का उपयोग करें। विभाजन की स्थिति और भी जटिल थी। उदाहरण के लिए, यहां बताया गया है कि कैसे 5 को 21 से विभाजित किया गया था:

अहम्स पेपिरस की एक आम समस्या: “तुम से कहा जाए, जौ के दस नाप 10 लोगों में बाँट दो; प्रत्येक व्यक्ति और उसके पड़ोसी के बीच का अंतर एक माप का 1/8 है। औसत हिस्सा एक उपाय है। 10 में से एक घटाएं; शेष 9. आधा अंतर करें; यह 1/16 है। इसे 9 बार लें। इसे मध्य लोब पर लागू करें; अंत तक पहुंचने तक प्रत्येक व्यक्ति के लिए माप का 1/8 घटाएं।"

एलिकोट्स के उपयोग को प्रदर्शित करने वाली अहम्स पेपिरस की एक और समस्या: "7 रोटियों को 8 लोगों के बीच बाँट दो।"
यदि आप प्रत्येक पाव को 8 टुकड़ों में काटते हैं, तो आपको 49 कट बनाने होंगे।
और मिस्र में इस समस्या को इस प्रकार हल किया गया था। 7/8 अंश को भिन्न के रूप में दर्ज किया गया: 1/2 + 1/4 + 1/8। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक व्यक्ति को आधी रोटी, एक चौथाई रोटी और आठवीं रोटी दी जानी चाहिए; इसलिए, हम चार रोटियों को आधा, दो रोटियों को 4 भागों में और एक पाव रोटी को 8 भागों में काटते हैं, जिसके बाद हम उनमें से प्रत्येक को एक भाग देते हैं।

मिस्र की भिन्नों की तालिकाएँ और विभिन्न बेबीलोनियाई तालिकाएँ गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए सबसे पुराने उपकरण हैं जिन्हें हम जानते हैं।

मिस्र के अंशों का उपयोग प्राचीन ग्रीस में और बाद में दुनिया भर के गणितज्ञों द्वारा मध्य युग तक किया जाता रहा, इसके बारे में प्राचीन गणितज्ञों की टिप्पणियों के बावजूद। उदाहरण के लिए, क्लॉडियस टॉलेमी ने बेबीलोनियाई प्रणाली (स्थितीय संख्या प्रणाली) की तुलना में मिस्र के अंशों के उपयोग की असुविधा के बारे में बात की। मिस्र के अंशों के अध्ययन पर एक महत्वपूर्ण कार्य 13 वीं शताब्दी के गणितज्ञ फिबोनाची ने अपने काम "लिबर अबासी" में किया था - ये दशमलव और साधारण अंशों का उपयोग करके गणना हैं, जिन्होंने समय के साथ मिस्र के अंशों को बदल दिया। फाइबोनैचि ने भिन्नों के लिए एक जटिल संकेतन का उपयोग किया, जिसमें मिश्रित मूलांक के साथ संख्याओं का अंकन और अंशों के योग के रूप में अंकन शामिल थे, और मिस्र के अंशों का भी अक्सर उपयोग किया जाता था। साधारण अंशों से मिस्र के अंशों में परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम भी पुस्तक में दिए गए थे।

प्राचीन बाबुल में अंश।

यह ज्ञात है कि प्राचीन बेबीलोन में छ: अंकीय संख्या प्रणाली का उपयोग किया जाता था। वैज्ञानिक इस तथ्य को इस तथ्य से जोड़ते हैं कि माप की बेबीलोन की मौद्रिक और वजन इकाइयों को ऐतिहासिक परिस्थितियों के कारण 60 बराबर भागों में विभाजित किया गया था: 1 प्रतिभा = 60 मिनट; 1 मेरा = 60 शेकेल। बेबीलोन के जीवन में साठ का दशक आम था। यही कारण है कि उन्होंने सेक्सेजिमल अंशों का इस्तेमाल किया, जिनमें हमेशा संख्या 60 या इसकी शक्तियां हर के रूप में होती हैं: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000, आदि। ये दुनिया के पहले व्यवस्थित भिन्न हैं, अर्थात्। भिन्न जिनमें हर एक ही संख्या की घात है। ऐसे भिन्नों का उपयोग करते हुए, बेबीलोनियों को लगभग कई भिन्नों का प्रतिनिधित्व करना था। यह नुकसान है और साथ ही इन अंशों का लाभ भी है। ये अंश 15वीं शताब्दी तक ग्रीक और फिर अरबी-भाषी और मध्ययुगीन यूरोपीय विद्वानों की वैज्ञानिक गणना का एक स्थायी उपकरण बन गए, जब उन्होंने दशमलव अंशों को रास्ता दिया। लेकिन 17वीं शताब्दी तक सभी देशों के वैज्ञानिकों द्वारा खगोल विज्ञान में साठ के अंशों का उपयोग किया जाता था, उन्हें खगोलीय अंश कहा जाता था।

सिक्सेजिमल संख्या प्रणाली ने विभिन्न तालिकाओं के बेबीलोन के गणित में एक बड़ी भूमिका पूर्वनिर्धारित की। एक पूर्ण बेबीलोनियन गुणन तालिका में 1x1 से 59x59 तक के उत्पाद शामिल होने चाहिए, यानी 1770 संख्याएं, न कि 45 हमारी गुणन तालिका के रूप में। ऐसी तालिका को याद रखना लगभग असंभव है। रिकॉर्डेड फॉर्म में भी यह काफी बोझिल होगा। इसलिए, गुणा और भाग के लिए, विभिन्न तालिकाओं का एक विस्तृत सेट था। बेबीलोन के गणित में विभाजन संक्रिया को "समस्या नंबर एक" कहा जा सकता है। बेबीलोनियों ने संख्या m के विभाजन को संख्या n से घटाकर संख्या m के गुणन 1 \ n से घटा दिया, और उनके पास "विभाजित" शब्द भी नहीं था। उदाहरण के लिए, जब हम गणना करते हैं कि हम x = m: n के रूप में क्या लिखेंगे, तो उन्होंने हर बार तर्क दिया: n का व्युत्क्रम लें, आप 1 \ n देखेंगे, m को 1 \ n से गुणा करेंगे, और आप x देखेंगे। बेशक, हमारे पत्रों के बजाय, बाबुल के लोग विशिष्ट संख्याओं को बुलाते थे। इस प्रकार, पारस्परिक की कई तालिकाओं ने बेबीलोन के गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

इसके अलावा, भिन्नों के साथ गणना के लिए, बेबीलोनियों ने हेक्साडेसिमल अंशों में मूल अंशों को व्यक्त करने वाली सबसे व्यापक तालिकाएँ संकलित कीं। उदाहरण के लिए:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

बेबीलोनियों द्वारा भिन्नों का जोड़ और घटाव हमारी स्थितीय संख्या प्रणाली में पूर्णांकों और दशमलव भिन्नों के साथ संगत संक्रियाओं के समान तरीके से किया गया था। लेकिन एक भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा किया गया? ज्यामिति (सर्वेक्षण, क्षेत्र माप) को मापने के काफी उच्च विकास से पता चलता है कि बेबीलोनियों ने ज्यामिति की मदद से इन कठिनाइयों पर काबू पा लिया: रेखीय पैमाने में 60 गुना परिवर्तन क्षेत्र के पैमाने में 60 × 60 गुना परिवर्तन देता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बेबीलोन में प्राकृतिक संख्याओं की सीमा का विस्तार सकारात्मक परिमेय संख्याओं की सीमा तक नहीं हुआ, क्योंकि बेबीलोनियों ने केवल परिमित सेक्सेजिमल अंशों पर विचार किया, जिसकी सीमा में विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है। इसके अलावा, बेबीलोनियों ने रोजमर्रा की जिंदगी में भिन्न 1 \ 2.1 \ 3.2 \ 3.1 \ 4.1 \ 5.1 \ 6.5 \ 6 का उपयोग किया, जिसके लिए व्यक्तिगत संकेत थे।

समय और कोणों को मापते समय आधुनिक विज्ञान में बेबीलोनियाई सेक्सजेसिमल संख्या प्रणाली के निशान बने रहे। घंटे को 60 मिनट में, मिनट को 60 सेकंड में, एक वृत्त को 360 डिग्री से, डिग्री को 60 मिनट से, मिनट को 60 सेकंड में विभाजित किया गया है। लैटिन में एक मिनट का अर्थ है "छोटा हिस्सा", दूसरा - "दूसरा"

(छोटा सा हिस्सा)।

प्राचीन रोम में अंश।

रोमनों ने मुख्य रूप से केवल ठोस अंशों का उपयोग किया, जो अमूर्त भागों को उपयोग किए गए उपायों के उपखंडों के साथ बदल दिया। भिन्नों की यह प्रणाली वजन की इकाई के 12 भागों द्वारा विभाजन पर आधारित थी, जिसे गधा कहा जाता था। इस प्रकार रोमन डुओडेसिमल अंश उत्पन्न हुए, अर्थात्। भिन्न जिनका हर हमेशा बारह होता था। गधे के बारहवें भाग को आउंस कहा जाता था। 1/12 के बजाय, रोमनों ने कहा "एक औंस", 5/12 - "पांच औंस," और इसी तरह। तीन औंस को एक चौथाई कहा जाता था, चार औंस को एक तिहाई कहा जाता था, छह औंस को आधा कहा जाता था।

और जिस तरह, समय और अन्य मूल्यों की तुलना एक दृश्य चीज़ - वजन से की गई। उदाहरण के लिए, एक रोमन कह सकता है कि वह सात-औंस पथ पर चला, या पाँच-औंस की किताब पढ़ी। इस मामले में, निश्चित रूप से, यह किसी पथ या पुस्तक को तोलने के बारे में नहीं था। इसका मतलब था कि रास्ते का 7/12 पास हो गया था या किताब का 5/12 पढ़ा जा चुका था। और 12 के हर के साथ अंशों को कम करके या बारहवें हिस्से को छोटे में विभाजित करके प्राप्त अंशों के लिए, विशेष नाम थे। भिन्नों के लिए कुल 18 विभिन्न नामों का प्रयोग किया गया। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित नाम उपयोग में थे:

"स्क्रूपुलस" - 1/288 गधा,

"सेमिस" - आधा गधा,

"सेक्सटेंस" - इसका छठा हिस्सा,

"सेमी-औंस" - आधा औंस, यानी 1/24 गधा, आदि।

ऐसे भिन्नों के साथ कार्य करने के लिए, किसी को इन भिन्नों के लिए योग तालिका और गुणन तालिका याद रखनी पड़ती है। इसलिए, रोमन व्यापारियों को निश्चित रूप से पता था कि जब ट्रिएन्स (1/3 गधा) और सेक्स्टन जोड़ते हैं, तो सेवन प्राप्त होते हैं, और जब सेस्कंट्स (2/3 औंस, यानी 1/8 गधा) से छोटा सा भूत (2/3 गधा) गुणा करते हैं, एक औंस प्राप्त होता है। ... काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष टेबल तैयार किए गए थे, जिनमें से कुछ हमारे पास आ गए हैं।

एक औंस को एक रेखा -, आधा गधा (6 औंस) - अक्षर S (लैटिन शब्द सेमी-हाफ में पहला) द्वारा निरूपित किया गया था। इन दो वर्णों का उपयोग किसी भी ग्रहणी अंश को रिकॉर्ड करने के लिए किया गया था, जिनमें से प्रत्येक का अपना नाम था। उदाहरण के लिए, 7 \ 12 इस तरह लिखा गया था: एस-।

पहली शताब्दी ईसा पूर्व में, उत्कृष्ट रोमन वक्ता और लेखक सिसरो ने कहा: "भिन्न के ज्ञान के बिना, किसी को भी अंकगणित जानने के रूप में पहचाना नहीं जा सकता है!"।

पहली शताब्दी ईसा पूर्व होरेस के प्रसिद्ध रोमन कवि के काम से विशेषता निम्नलिखित अंश है, उस युग के रोमन स्कूलों में से एक में एक शिक्षक और एक छात्र के बीच बातचीत के बारे में:

शिक्षक: अल्बिन के बेटे को कहने दो कि पांच औंस में से एक औंस घटाने पर कितना शेष रहेगा!

शिष्य: एक तिहाई।

शिक्षक: यह सही है, आप भिन्नों को अच्छी तरह जानते हैं और अपनी संपत्ति को बचाने में सक्षम होंगे।

प्राचीन ग्रीस में अंश।

प्राचीन ग्रीस में, अंकगणित - संख्याओं के सामान्य गुणों का अध्ययन - रसद से अलग किया गया था - कलन की कला। यूनानियों का मानना ​​​​था कि अंशों का उपयोग केवल रसद में किया जा सकता है। यूनानियों ने सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को भिन्नों के साथ स्वतंत्र रूप से संचालित किया, लेकिन उन्होंने उन्हें संख्याओं के रूप में नहीं पहचाना। गणित पर ग्रीक लेखन में अंश नहीं पाए गए। यूनानी वैज्ञानिकों का मानना ​​था कि गणित को केवल पूर्ण संख्याओं का ही अध्ययन करना चाहिए। उन्होंने व्यापारियों, कारीगरों, साथ ही खगोलविदों, सर्वेक्षकों, यांत्रिकी और अन्य "काले लोगों" के लिए अंशों के साथ छेड़छाड़ करना छोड़ दिया। "यदि आप इकाई को विभाजित करना चाहते हैं, तो गणितज्ञ आपका उपहास करेंगे और आपको ऐसा करने की अनुमति नहीं देंगे," एथेनियन अकादमी के संस्थापक प्लेटो ने लिखा।

लेकिन सभी प्राचीन यूनानी गणितज्ञ प्लेटो से सहमत नहीं थे। तो ग्रंथ में "एक वृत्त के माप पर" आर्किमिडीज भिन्नों का उपयोग करता है। अलेक्जेंड्रिया का बगुला भी भिन्नों का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र था। वह, मिस्रवासियों की तरह, एक अंश को आधार अंशों के योग में विभाजित करता है। 12 \ 13 के बजाय वह 1 \ 2 + 1 \ 3 + 1 \ 13 + 1 \ 78 लिखता है, 5 \ 12 के बजाय वह 1 \ 3 + 1 \ 12, आदि लिखता है। यहां तक ​​​​कि पाइथागोरस, जिन्होंने संगीत के पैमाने के सिद्धांत का निर्माण करते हुए प्राकृतिक संख्याओं को पवित्र विस्मय के साथ माना, मूल संगीत अंतराल को अंशों से जोड़ा। सच है, पाइथागोरस और उनके छात्रों ने भिन्न की अवधारणा का उपयोग नहीं किया। उन्होंने खुद को केवल पूर्णांकों के संबंध के बारे में बात करने की अनुमति दी।

चूंकि यूनानियों ने सामान्य अंशों के साथ केवल छिटपुट रूप से काम किया, इसलिए उन्होंने विभिन्न पदनामों का उपयोग किया। हेरॉन और डायोफैंटस ने भिन्नों को वर्णानुक्रम में लिखा, जिसमें अंश हर के नीचे था। कुछ अंशों के लिए, अलग-अलग पदनामों का उपयोग किया गया था, उदाहरण के लिए, 1 \ 2 - L ′ के लिए, लेकिन सामान्य तौर पर, उनकी वर्णानुक्रमिक संख्या ने भिन्नों को नामित करना मुश्किल बना दिया।

इकाई अंशों के लिए, एक विशेष अंकन का उपयोग किया गया था: अंश का हर दाईं ओर एक स्ट्रोक के साथ था, अंश नहीं लिखा गया था। उदाहरण के लिए, वर्णमाला प्रणाली में इसका मतलब 32 था, और "- अंश 1 \ 32। साधारण अंशों के ऐसे रिकॉर्ड होते हैं जिनमें एक अभाज्य के साथ अंश और दो स्ट्रोक वाले डबल-प्राइम हर एक में एक साथ लिखे जाते हैं। इस तरह, उदाहरण के लिए, अलेक्जेंड्रिया के बगुला ने अंश 3 \4: लिखा।

भिन्नात्मक संख्याओं के लिए ग्रीक पदनाम के नुकसान इस तथ्य के कारण हैं कि यूनानियों ने "संख्या" शब्द को इकाइयों के एक समूह के रूप में समझा, इसलिए, जिसे अब हम एक एकल परिमेय संख्या के रूप में मानते हैं - एक अंश - यूनानियों को अनुपात के रूप में समझा जाता है दो पूर्ण संख्याओं का। यह बताता है कि ग्रीक अंकगणित में साधारण अंश दुर्लभ क्यों थे। एकल अंश या साठ दशमलव अंश वाले अंशों को वरीयता दी गई थी। एक ऐसा क्षेत्र जिसमें व्यावहारिक गणना के लिए सटीक अंशों की सबसे बड़ी आवश्यकता थी, खगोल विज्ञान था, और यहां बेबीलोन की परंपरा इतनी मजबूत थी कि ग्रीस समेत सभी लोगों द्वारा इसका इस्तेमाल किया गया था।

रूस में अंश

पहला रूसी गणितज्ञ, जो हमारे नाम से जाना जाता है, नोवगोरोड मठ के भिक्षु, किरिक, कालक्रम और कैलेंडर के मुद्दों से निपटते हैं। अपनी हस्तलिखित पुस्तक में "उसे सभी वर्षों की संख्या जानने के लिए शिक्षण" (1136), अर्थात्। "एक व्यक्ति वर्षों की गणना कैसे जान सकता है, इस पर निर्देश", घंटे के विभाजन को पाँचवें, पच्चीसवें आदि में उपयोग किया जाता है। शेयर, जिसे उन्होंने "आंशिक घंटे" या "घंटे" कहा। वह सातवें भिन्नात्मक घंटों तक पहुँचता है, जिसमें दिन या रात में 937,500 होते हैं, और वह कहता है कि सातवें भिन्नात्मक घंटों में से कुछ भी नहीं आता है।

गणित (सातवीं शताब्दी) की पहली पाठ्यपुस्तकों में, अंशों को भिन्न कहा जाता था, बाद में "टूटी हुई संख्या"। रूसी में, अंश शब्द आठवीं शताब्दी में दिखाई दिया, यह क्रिया "विभाजित" से आया है - तोड़ना, टुकड़ों में तोड़ना। संख्या लिखते समय क्षैतिज रेखा का प्रयोग किया जाता था।

पुराने नियमावली में रूस में भिन्नों के लिए निम्नलिखित नाम हैं:

1/2 - आधा, आधा

1/3 - तीसरा

1/4 - विषम

1/6 - आधा तिहाई

1/8 - आधा

1/12 - आधा आधा

1/16 - आधा आधा

1/24 - आधा आधा (छोटा तिहाई)

1/32 - आधा आधा आधा (छोटा जोड़ा)

1/5 - प्यतिना

1/7 - सप्ताह

1/10 दशमांश है।

रूस में एक चौथाई और छोटे भूमि माप का उपयोग किया गया था -

एक चौथाई प्राप्त करें, जिसे ऑक्टोपस कहा जाता था। ये विशिष्ट अंश थे, पृथ्वी के क्षेत्र को मापने के लिए इकाइयाँ, लेकिन अष्टक समय या गति आदि को नहीं माप सकते थे। बहुत बाद में, ऑक्टोपस का अर्थ 1/8 का एक अमूर्त अंश होने लगा, जिसका उपयोग किसी भी मूल्य को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। .

आप 17 वीं शताब्दी में वी। बेलस्टिन की पुस्तक "कैसे लोग धीरे-धीरे वास्तविक अंकगणित में आए" में रूस में अंशों के उपयोग के बारे में पढ़ सकते हैं: "17 वीं शताब्दी की पांडुलिपि में। "डिक्री के सभी भागों पर संख्यात्मक क़ानून" अंशों के लिखित पदनाम और अंश और हर के संकेत के साथ सीधे शुरू होता है। भिन्नों का उच्चारण करते समय, निम्नलिखित विशेषताएं दिलचस्प होती हैं: चौथे भाग को चेट कहा जाता था, जबकि 5 से 11 तक के हर वाले अंशों को "इना" के अंत के साथ शब्दों में व्यक्त किया जाता था, ताकि 1/7 एक सप्ताह हो, 1/ 5 पांच दिन है, 1/10 दशमांश है; 10 से अधिक हर वाले शेयरों को "कोल्ट्स" शब्दों का उपयोग करके उच्चारित किया गया था, उदाहरण के लिए 5/13 - पांच तेरहवें लॉट। अंशों की संख्या सीधे पश्चिमी स्रोतों से उधार ली गई थी ... अंश को ऊपरी संख्या कहा जाता था, भाजक को निचला कहा जाता था। "

रूस में 16वीं शताब्दी के बाद से, बोर्ड की गिनती बहुत लोकप्रिय रही है - एक उपकरण का उपयोग करके गणना जो रूसी खातों का प्रोटोटाइप था। इसने जटिल अंकगणितीय कार्यों को जल्दी और आसानी से करना संभव बना दिया। बिलबोर्ड बिल व्यापारियों, मॉस्को के आदेशों के कर्मचारियों, "मापने वालों" - भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं, मठवासी अर्थशास्त्रियों आदि के बीच बहुत व्यापक था।

अपने मूल रूप में, बोर्ड स्कोर को विशेष रूप से बोर्ड अंकगणित की जरूरतों के अनुकूल बनाया गया था। यह 15-17वीं शताब्दी में रूस में कराधान की एक प्रणाली है, जिसमें जोड़, घटाव, गुणा और पूर्णांकों के विभाजन के साथ, अंशों के साथ समान संचालन करना आवश्यक था, क्योंकि कराधान की पारंपरिक इकाई, हल , भागों में विभाजित किया गया था।

बिलबोर्ड में दो तह बक्से होते थे। प्रत्येक बॉक्स को दो भागों में विभाजित किया गया था (बाद में केवल तल पर); नकद खाते की ख़ासियत के कारण दूसरा बॉक्स आवश्यक था। बॉक्स के अंदर, हड्डियों को खींची गई डोरियों या तार पर टांगा गया था। दशमलव संख्या प्रणाली के अनुसार, पूर्णांकों की पंक्तियों में प्रत्येक में 9 या 10 पासे थे; अपूर्ण पंक्तियों पर अंशों के साथ ऑपरेशन किए गए: तीन हड्डियों की एक पंक्ति तीन-तिहाई थी, चार हड्डियों की एक पंक्ति चार-चौथाई (चेट्स) थी। नीचे ऐसी पंक्तियाँ थीं जिनमें एक हड्डी थी: प्रत्येक हड्डी उस अंश के आधे हिस्से का प्रतिनिधित्व करती थी जिसके नीचे वह स्थित था (उदाहरण के लिए, तीन हड्डियों की एक पंक्ति के नीचे स्थित हड्डी एक तिहाई की आधी थी, उसके नीचे की हड्डी आधी थी एक तिहाई, आदि)। दो समान "सोशनी" भिन्नों का योग अगले उच्चतम क्रम का अंश देता है, उदाहरण के लिए, 1/12 + 1/12 = 1/6, आदि। खातों में, दो ऐसे अंशों का जोड़ निकटतम श्रेष्ठ पोर में संक्रमण से मेल खाता है।

अंशों को एक सामान्य हर में लाए बिना संक्षेप किया गया था, उदाहरण के लिए, "डेढ़ डेढ़, और आधा आधा" (1/4 + 1/6 + 1/16)। कभी-कभी अंशों के साथ संक्रियाओं को पूर्णांकों के रूप में पूर्ण (हल) को एक निश्चित राशि के बराबर करके किया जाता था। उदाहरण के लिए, यदि हल = 48 मौद्रिक इकाइयाँ, उपरोक्त अंश 12 + 8 + 3 = 23 मौद्रिक इकाइयाँ होंगी।

सामान्य अंकगणित में, किसी को छोटे अंशों से निपटना पड़ता था। कुछ पांडुलिपियों में "गणना करने वाली लड़कियों" के चित्र और विवरण हैं, जैसा कि अभी माना जाता है, लेकिन एक हड्डी के साथ बड़ी संख्या में पंक्तियों के साथ, ताकि उन्हें 1/128 और 1/96 तक के अंशों को अलग रखा जा सके। निस्संदेह, संबंधित उपकरण भी बनाए गए थे। कैलकुलेटर की सुविधा के लिए "छोटी हड्डियों के सेट" के कई नियम दिए गए, अर्थात्। खाते में उपयोग किए गए अंशों का जोड़, जैसे: तीन जोड़ी हल और आधा हल और आधा आधा हल, आदि। आधा-आधा-आधा-आधा-आधा-आधा हल बिना आधा-आधा-आधा-आधा हल बनाते हैं, अर्थात। 3/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, आदि।

लेकिन भिन्नों में से, केवल 1/2 और 1/3 पर विचार किया गया था, साथ ही उन लोगों को 2 से क्रमिक विभाजन द्वारा प्राप्त किया गया था। अन्य श्रृंखलाओं के अंशों के साथ क्रियाओं के लिए, "बोर्ड गिनती" को अनुकूलित नहीं किया गया था। उनके साथ काम करते समय, विशेष तालिकाओं का उल्लेख करना आवश्यक था जिसमें भिन्नों के विभिन्न संयोजनों के परिणाम दिए गए थे।

बी1703 गणित "अंकगणित" पर पहली रूसी मुद्रित पाठ्यपुस्तक प्रकाशित हुई है। लेखक मैग्निट्स्की लियोन्टी फ़िलिपोविच। इस पुस्तक के दूसरे भाग में, "टूटी हुई रेखाओं की संख्या या भागों के साथ," भिन्नों पर शिक्षण को विस्तार से प्रस्तुत किया गया है।

मैग्निट्स्की का लगभग आधुनिक चरित्र है। मैग्निट्स्की आधुनिक पाठ्यपुस्तकों की तुलना में शेयरों की गणना के बारे में अधिक विस्तार से बताता है। मैग्निट्स्की भिन्नों को नामित संख्याओं के रूप में मानता है (न केवल 1/2, बल्कि 1/2 रूबल, पूड, आदि), और समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में अंशों के साथ क्रियाओं का अध्ययन करता है। कि एक टूटी हुई संख्या है, मैग्निट्स्की उत्तर देता है: "टूटी हुई संख्या और कुछ नहीं है, संख्या में घोषित वस्तु का केवल एक हिस्सा है, अर्थात आधा रूबल आधा रूबल है, और यह एक रूबल या रूबल के साथ लिखा जाता है। , या एक रूबल, या दो-पांचवां और सभी प्रकार की चीजें, या तो एक संख्या के रूप में घोषित भाग, यानी एक टूटी हुई संख्या। " मैग्निट्स्की 2 से 10 तक हर के साथ सभी सही अंशों का नाम देता है। उदाहरण के लिए, हर 6 के साथ अंश: एक छः, दो छः, तीन छः, चार छः, पांच छः।

मैग्निट्स्की नाम अंश, हर का उपयोग करता है, अनुचित अंशों, मिश्रित संख्याओं पर विचार करता है, सभी कार्यों के अलावा, वह एक अनुचित अंश से पूरे भाग का चयन करता है।

भिन्नों का शिक्षण हमेशा अंकगणित का सबसे कठिन खंड रहा है, लेकिन साथ ही, पिछले किसी भी युग में, लोगों ने अंशों के अध्ययन के महत्व को महसूस किया, और कविता और गद्य में शिक्षकों ने अपने छात्रों को खुश करने की कोशिश की। एल मैग्निट्स्की ने लिखा:

लेकिन कोई अंकगणित नहीं है,

पूरे प्रतिवादी के रूप में इज़ो,

और इन शेयरों में कुछ भी नहीं है,

उत्तर संभव है।

कृपया अपने बारे में भी

भागों में होने में सक्षम हो।

प्राचीन चीन में अंश

चीन में, साधारण भिन्नों के साथ लगभग सभी अंकगणितीय संक्रियाएं दूसरी शताब्दी तक पहले ही स्थापित कर ली गई थीं। ईसा पूर्व इ ।; उनका वर्णन प्राचीन चीन के गणितीय ज्ञान के मूल निकाय में किया गया है - "गणित नौ पुस्तकों में", जिसका अंतिम संस्करण झांग कांग का है। यूक्लिड के एल्गोरिथ्म (अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक) के समान नियम के आधार पर गणना करते हुए, चीनी गणितज्ञों ने अंशों को रद्द कर दिया। भिन्नों के गुणन को एक आयताकार भूमि भूखंड के क्षेत्र को खोजने के रूप में दर्शाया गया था, जिसकी लंबाई और चौड़ाई भिन्नात्मक संख्याओं में व्यक्त की जाती है। विभाजन को विभाजन के विचार का उपयोग करते हुए माना जाता था, जबकि चीनी गणितज्ञ इस तथ्य से शर्मिंदा नहीं थे कि विभाजन में प्रतिभागियों की संख्या भिन्नात्मक हो सकती है, उदाहरण के लिए, 3⅓ लोग।

प्रारंभ में, चीनियों ने सबसे सरल अंशों का उपयोग किया, जिन्हें बान चित्रलिपि का उपयोग करके नामित किया गया था:

स्नान ("आधा") -1 \ 2;

शाओ प्रतिबंध ("छोटा आधा") -1 \ 3;

ताई प्रतिबंध ("बड़ा आधा") -2 \ 3.

अगला चरण भिन्नों की सामान्य समझ का विकास और उनके साथ संचालन के लिए नियमों का निर्माण था। यदि प्राचीन मिस्र में केवल विभाज्य अंशों का उपयोग किया जाता था, तो चीन में, उन्हें अंश-फेन माना जाता था, उन्हें भिन्नों की किस्मों में से एक माना जाता था, न कि केवल संभव वाले। चीनी गणित प्राचीन काल से मिश्रित संख्याओं से निपटता रहा है। जल्द से जल्द गणितीय पाठ, झोउ बी जुआन जिंग (द कैनन ऑफ कैलकुलेशन ऑफ द झोउ ग्नोमन / मैथमैटिकल ट्रीटीज ऑन द ग्नोमन), में गणनाएं होती हैं जो 247 933/1460 जैसी संख्याओं को एक शक्ति तक बढ़ाती हैं।

"तज़्यू झांग ज़ुआन शू" ("नौ खंडों में नियमों की गिनती") में, एक अंश को एक पूरे के एक भाग के रूप में माना जाता है, जिसे इसके अंशों की nth संख्या में व्यक्त किया जाता है-फेन - एम (एन< m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Например, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь 2\5.

सामान्य रूप से क्षेत्रों के मापन के लिए समर्पित "त्स्ज़्यू झांग ज़ुआन शू" के पहले खंड में, अंशों की कमी, जोड़, घटाव, विभाजन और गुणा के साथ-साथ उनकी तुलना और "समीकरण" के नियम अलग से दिए गए हैं। तीन भिन्नों की ऐसी तुलना, जिसमें उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना आवश्यक हो (पुस्तक में दो संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए एक सरल नियम नहीं दिया गया है)।

उदाहरण के लिए, इस निबंध में भिन्नों का योग प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित निर्देश दिया गया है: “हरों द्वारा अंकों को बारी-बारी से गुणा करें। जोड़ें लाभांश (शि) है। हर को गुणा करें - यह भाजक (एफए) है। भाजक को भाजक के साथ एक (ओं) में जोड़ें। यदि कोई शेष है, तो उसे भाजक के साथ जोड़िए।" इस निर्देश का अर्थ है कि यदि कई भिन्न जोड़े जाते हैं, तो प्रत्येक भिन्न के अंश को अन्य सभी भिन्नों के हर से गुणा किया जाना चाहिए। जब भाजक (इस तरह के गुणन के परिणामों के योग के रूप में) को भाजक (सभी हरों के गुणनफल) के साथ "कनेक्ट" करते हैं, तो एक अंश प्राप्त होता है, जिसे कम किया जाना चाहिए, यदि आवश्यक हो, और जिसमें से पूरा भाग होना चाहिए विभाजन द्वारा अलग किया जाता है, तो "शेष" अंश होता है, और संक्षिप्त भाजक हर होता है। भिन्नों के समुच्चय का योग ऐसे विभाजन का परिणाम होता है, जिसमें एक पूर्णांक और एक भिन्न होता है। कथन "हरों को गुणा करें" का अर्थ है, संक्षेप में, भिन्नों को सबसे बड़े आम भाजक में लाना।

"त्ज़ीउ झांग ज़ुआन शू" में अंशों को कम करने के नियम में अंश और हर के सामान्य सबसे बड़े भाजक को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म होता है, जो तथाकथित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म के साथ मेल खाता है, जिसे दो संख्याओं के सामान्य सबसे बड़े भाजक को निर्धारित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। लेकिन यदि उत्तरार्द्ध, जैसा कि आप जानते हैं, "तत्वों" में एक ज्यामितीय सूत्रीकरण में दिया गया है, तो चीनी एल्गोरिथ्म को विशुद्ध रूप से अंकगणितीय रूप से प्रस्तुत किया जाता है। सामान्य सबसे बड़ा भाजक खोजने के लिए चीनी एल्गोरिथ्म

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अब भी, कभी-कभी कहा जाता है: "उन्होंने इस मुद्दे का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया।" इसका मतलब है कि इस मुद्दे का अंत तक अध्ययन किया गया है, कि एक भी छोटी सी अस्पष्टता नहीं रह गई है। और रोमन नाम 1/288 ass - "scrupulus" से एक अजीब शब्द "स्क्रूपुलस" है। निम्नलिखित नाम भी प्रयोग में थे: "सेमिस" - गधे का आधा, "सेक्स्टन्स" - इसका छठा हिस्सा, "सेमी-औंस" - आधा औंस, यानी। 1/24 गधा, आदि। भिन्नों के लिए कुल 18 विभिन्न नामों का प्रयोग किया गया। भिन्नों के साथ कार्य करने के लिए, किसी को इन भिन्नों के लिए योग तालिका और गुणन तालिका याद रखनी पड़ती है। इसलिए, रोमन व्यापारियों को निश्चित रूप से पता था कि जब ट्रिएन्स (1/3 गधा) और सेक्स्टन जोड़ते हैं, तो सेवन प्राप्त होते हैं, और जब सेस्कंट्स (2/3 औंस, यानी 1/8 गधा) से छोटा सा भूत (2/3 गधा) गुणा करते हैं, एक औंस प्राप्त होता है। ... काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष टेबल तैयार किए गए थे, जिनमें से कुछ हमारे पास आ गए हैं। अब भी, कभी-कभी कहा जाता है: "उन्होंने इस मुद्दे का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया।" इसका मतलब है कि इस मुद्दे का अंत तक अध्ययन किया गया है, कि एक भी छोटी सी अस्पष्टता नहीं रह गई है। और रोमन नाम 1/288 ass - "scrupulus" से एक अजीब शब्द "स्क्रूपुलस" है। निम्नलिखित नाम भी प्रयोग में थे: "सेमिस" - गधे का आधा, "सेक्स्टन्स" - इसका छठा हिस्सा, "सेमी-औंस" - आधा औंस, यानी। 1/24 गधा, आदि। भिन्नों के लिए कुल 18 विभिन्न नामों का प्रयोग किया गया। भिन्नों के साथ कार्य करने के लिए, किसी को इन भिन्नों के लिए योग तालिका और गुणन तालिका याद रखनी पड़ती है। इसलिए, रोमन व्यापारियों को निश्चित रूप से पता था कि जब ट्रिएन्स (1/3 गधा) और सेक्स्टन जोड़ते हैं, तो सेवन प्राप्त होते हैं, और जब सेस्कंट्स (2/3 औंस, यानी 1/8 गधा) से छोटा सा भूत (2/3 गधा) गुणा करते हैं, एक औंस प्राप्त होता है। ... काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष टेबल तैयार किए गए थे, जिनमें से कुछ हमारे पास आ गए हैं।

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इस तथ्य के कारण कि डुओडेसिमल प्रणाली में 10 या 100 के साथ कोई अंश नहीं हैं, रोमनों को 10, 100, आदि से विभाजित करना मुश्किल लगता है। 1001 एसेस को 100 से विभाजित करते समय, एक रोमन गणितज्ञ ने पहले 10 एसेस प्राप्त किए, फिर विभाजित किया इक्का औंस में, आदि। लेकिन उसने शेष से छुटकारा नहीं पाया। ऐसी गणनाओं से निपटने से बचने के लिए, रोमियों ने प्रतिशत का उपयोग करना शुरू कर दिया। इस तथ्य के कारण कि डुओडेसिमल प्रणाली में 10 या 100 के साथ कोई अंश नहीं हैं, रोमनों को 10, 100, आदि से विभाजित करना मुश्किल लगता है। 1001 एसेस को 100 से विभाजित करते समय, एक रोमन गणितज्ञ ने पहले 10 एसेस प्राप्त किए, फिर विभाजित किया इक्का औंस में, आदि। लेकिन उसने शेष से छुटकारा नहीं पाया। ऐसी गणनाओं से निपटने से बचने के लिए, रोमियों ने प्रतिशत का उपयोग करना शुरू कर दिया। चूँकि लैटिन में "एक सौ" शब्द "लगभग एक सेंटम" लगता था, इसलिए सौवें भाग को प्रतिशत कहा जाता था।

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3.1.1. अंशों की उत्पत्ति के बारे में।

भिन्नात्मक संख्याओं की आवश्यकता मानव अभ्यास के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुई। शिकार के बाद शिकार को विभाजित करते समय हमारे पूर्वजों में एक इकाई के शेयरों को खोजने की आवश्यकता दिखाई दी। भिन्नात्मक संख्याओं के प्रकट होने का दूसरा महत्वपूर्ण कारण माप की चयनित इकाई का उपयोग करके मात्राओं का मापन माना जाना चाहिए।

इस प्रकार अंश उत्पन्न हुए।

भिन्नात्मक संख्या के विकास के इतिहास में, हम तीन प्रकार के भिन्न पाते हैं:

1) भिन्न या इकाई अंश, जिनमें अंश एक है, हर कोई पूर्णांक हो सकता है;

2) व्यवस्थित भिन्न, जिसमें अंश कोई भी संख्या हो सकते हैं, जबकि हर किसी विशेष प्रकार की संख्याएँ होती हैं, उदाहरण के लिए, दस या साठ की घातें;

3) सामान्य भिन्न, जिसमें अंश और हर कोई भी संख्या हो सकती है।

इन तीन अलग-अलग प्रकार के भिन्नों के आविष्कार ने मानवता के लिए कठिनाई के विभिन्न अंश प्रस्तुत किए, इसलिए भिन्न-भिन्न युगों में भिन्न-भिन्न प्रकार के अंश दिखाई दिए।

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ मानव का परिचय छोटे हर वाले एकल भिन्नों से हुआ।

अवधारणाएं "आधा", "तीसरा", "तिमाही", "ऑक्टोपस" अक्सर उन लोगों द्वारा उपयोग की जाती हैं जिन्होंने कभी भी भिन्नात्मक संख्याओं का अंकगणित नहीं सीखा है। इन साधारण अंशों का आविष्कार प्रत्येक राष्ट्र ने अपने विकास के दौरान स्वतंत्र रूप से किया था।

लोगों को मिलने वाला पहला अंश आधा था। हालाँकि निम्नलिखित सभी भिन्नों के नाम उनके हर (तीन - "तीसरे", चार - "तिमाही", आदि) के नामों से जुड़े हैं, आधे के लिए ऐसा नहीं है - सभी भाषाओं में इसका नाम कुछ भी नहीं है "दो" शब्द के साथ करो। अगला अंश एक तिहाई था।

इस प्रकार, पहला भिन्न जो इतिहास से हमारा परिचय कराता है, वे इस रूप के भिन्न हैं - - तथाकथित एकल भिन्न या विभाज्य (लैटिन विभाज्य से - "कई")।

एकल अंश सबसे पुराने गणितीय ग्रंथों में पाए जाते हैं जो हमारे पास आए हैं, जो 5,000 साल से भी पहले संकलित हैं - प्राचीन मिस्र के पपीरी और बेबीलोनियन क्यूनिफॉर्म टैबलेट।

प्राचीन काल में, भारत में सामान्य अंश अपने सबसे बड़े विकास तक पहुँचे। चौथी शताब्दी ईसा पूर्व की पांडुलिपियों में, न केवल एकल अंश, बल्कि मनमाने अंश वाले अंश भी पाए जाते हैं। 7वीं शताब्दी की शुरुआत में, भारतीय सामान्य भिन्नों पर कार्रवाई के लिए नियमों को जानते और तैयार करते थे। पश्चिमी यूरोप में साधारण भिन्नों का निश्चित रूप से स्थापित और स्पष्ट सिद्धांत 1585 में फ्लेमिश इंजीनियर साइमन स्टीविन द्वारा दिया गया था।

3.1.2. प्राचीन मिस्र में अंश।

प्राचीन मिस्र में, वास्तुकला विकास के उच्च स्तर पर पहुंच गई। भव्य पिरामिडों और मंदिरों के निर्माण के लिए, आकृतियों की लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने के लिए, अंकगणित जानना आवश्यक था। पपीरी पर गूढ़ जानकारी से, वैज्ञानिकों ने सीखा कि 4,000 साल पहले मिस्रवासियों के पास एक दशमलव (लेकिन स्थितीय नहीं) संख्या प्रणाली थी, जो निर्माण, व्यापार और सैन्य मामलों की जरूरतों से संबंधित कई समस्याओं को हल करने में सक्षम थे। कई शताब्दियों तक, मिस्रवासी भिन्नों को "टूटी हुई संख्या" कहते थे, और उन्हें मिलने वाला पहला अंश 1/2 था। इसके बाद 1/4, 1/8, 1/16, ..., फिर 1/3, 1/6, ..., यानी। सरलतम अंशों को इकाइयाँ कहा जाता है। इनका अंश सदैव एक होता है।

मिस्रवासियों ने सभी भिन्नों को इकाई भिन्नों (अंश) के योग के रूप में लिखने का प्रयास किया। उदाहरण के लिए, उन्होंने इसके बजाय लिखा। अंश को भिन्न के रूप में दर्ज किया गया था:। संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ करना बहुत असुविधाजनक है, हर बार उन्हें इकाई अंशों के योग में विस्तारित करना। क्या मिस्र में अलगाववादियों की लत का कोई स्पष्टीकरण है?

आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं। निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: "7 रोटियों को 8 लोगों के बीच बाँटें।"

यहां बताया गया है कि रिंडा पेपिरस पर समस्या का समाधान कैसे किया जाता है - 1650 ईसा पूर्व के आसपास फिर से लिखा गया एक प्राचीन मिस्र का गणितीय पाठ। लेखक अहम्स द्वारा।

जहां तक ​​कि । इसलिए प्रत्येक व्यक्ति को आधी, सवा आठवीं रोटी देनी चाहिए। अब यह स्पष्ट है कि आपको 4 रोटियों को आधा, 2 रोटियों को 4 भागों में और केवल एक पाव को 8 भागों में काटने की आवश्यकता है।

इकाइयों के योग में गैर-इकाई अंशों के अपघटन के लिए, तैयार टेबल थे, जिनका उपयोग मिस्र के लेखकों द्वारा आवश्यक गणना के लिए किया जाता था।

यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक सकारात्मक परिमेय संख्या को मिस्र के अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार के योग का उपयोग गणितज्ञों द्वारा प्राचीन मिस्र के समय से लेकर मध्य युग तक भिन्नों की परिभाषा के रूप में किया गया है। आधुनिक गणित में, मिस्र के अंशों के बजाय सरल और दशमलव अंशों का उपयोग किया जाता है, लेकिन मिस्र के अंशों का अध्ययन संख्या सिद्धांत और प्राचीन गणित के इतिहास में जारी है।

3.1.3. प्राचीन रोम में अंश।

प्राचीन रोम में भिन्नों की एक दिलचस्प प्रणाली थी। रोमनों ने मुख्य रूप से केवल ठोस अंशों का उपयोग किया, जो अमूर्त भागों को उपयोग किए गए उपायों के उपखंडों के साथ बदल दिया। भिन्नों की यह प्रणाली वजन की इकाई के 12 भागों द्वारा विभाजन पर आधारित थी, जिसे गधा कहा जाता था। इस प्रकार रोमन डुओडेसिमल अंश उत्पन्न हुए, अर्थात्। भिन्न जिनका हर हमेशा बारह होता था। गधे के बारहवें भाग को आउंस कहा जाता था। और जिस तरह, समय और अन्य मूल्यों की तुलना एक दृश्य चीज़ - वजन से की गई। उदाहरण के लिए, एक रोमन कह सकता है कि वह सात-औंस पथ पर चला, या पाँच-औंस की किताब पढ़ी। इस मामले में, निश्चित रूप से, यह किसी पथ या पुस्तक को तोलने के बारे में नहीं था। इसका मतलब था कि रास्ते का 7/12 पास हो गया था या किताब का 5/12 पढ़ा जा चुका था। और 12 के हर के साथ अंशों को कम करके या बारहवें हिस्से को छोटे में विभाजित करके प्राप्त अंशों के लिए, विशेष नाम थे।

अब भी, वे कभी-कभी कहते हैं: "उन्होंने इस मुद्दे का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया।" इसका मतलब है कि इस मुद्दे का अंत तक अध्ययन किया गया है, कि एक भी छोटी सी अस्पष्टता नहीं रह गई है। और रोमन नाम 1/288 ass - "scrupulus" से एक अजीब शब्द "स्क्रूपुलस" है। निम्नलिखित नाम भी प्रयोग में थे: "सेमिस" - गधे का आधा, "सेक्स्टन्स" - इसका छठा हिस्सा, "सेमी-औंस" - आधा औंस, यानी। 1/24 गधा, आदि। भिन्नों के लिए कुल 18 विभिन्न नामों का प्रयोग किया गया। भिन्नों के साथ कार्य करने के लिए, किसी को इन भिन्नों के लिए योग तालिका और गुणन तालिका याद रखनी पड़ती है। इसलिए, रोमन व्यापारियों को निश्चित रूप से पता था कि जब ट्रिएन्स (1/3 गधा) और सेक्स्टन जोड़ते हैं, तो सेवन प्राप्त होते हैं, और जब सेस्कंट्स (2/3 औंस, यानी 1/8 गधा) से छोटा सा भूत (2/3 गधा) गुणा करते हैं, एक औंस प्राप्त होता है। ... काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष टेबल तैयार किए गए थे, जिनमें से कुछ हमारे पास आ गए हैं।

पहली शताब्दी ईसा पूर्व में, उत्कृष्ट रोमन वक्ता और लेखक सिसरो ने कहा: "भिन्न के ज्ञान के बिना, किसी को भी अंकगणित जानने के रूप में पहचाना नहीं जा सकता है!"।

पहली शताब्दी ईसा पूर्व के प्रसिद्ध रोमन कवि होरेस के काम से निम्नलिखित अंश उस युग के रोमन स्कूलों में से एक में एक शिक्षक और एक छात्र के बीच बातचीत के बारे में विशेषता है:

शिक्षक: अल्बिन के बेटे को कहने दो कि पांच औंस में से एक औंस घटाने पर कितना शेष रहेगा!

शिष्य: एक तिहाई।

शिक्षक: यह सही है, आप भिन्नों को अच्छी तरह जानते हैं और अपनी संपत्ति को बचाने में सक्षम होंगे।

अब "गधा" एक फार्मास्युटिकल पाउंड है।

3.1.4. बेबीलोनियन सेक्सजेसिमल अंश।

Sexagesimal प्रणाली की उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है। शायद यह ग्रहणी संख्या प्रणाली (60 = 5 × 12, जहाँ 5 हाथ पर उंगलियों की संख्या है) से जुड़ा है। ओ। नेउगेबॉयर की एक परिकल्पना भी है कि लंबे समय तक सुमेरियन राज्य की अक्कादियन विजय के बाद एक साथ दो मौद्रिक इकाइयाँ मौजूद थीं: शेकेल (शेकेल) और मेरा, और उनका अनुपात स्थापित किया गया था: 1 खदान = 60 शेकेल। बाद में, यह विभाजन प्रथागत हो गया और किसी भी संख्या को रिकॉर्ड करने के लिए इसी प्रणाली को जन्म दिया।

मेसोपोटामिया के दक्षिणी भाग में प्राचीन शहरों के खंडहरों के बीच बीसवीं शताब्दी में किए गए उत्खनन से बड़ी संख्या में कीलाकार गणितीय गोलियों का पता चला। वैज्ञानिकों ने इनका अध्ययन करते हुए पाया कि 2000 ई.पू. इ। बेबीलोनियों के बीच, गणित विकास के उच्च स्तर पर पहुंच गया है।

बेबीलोनियाई लोगों की लिखित छह अंकगणित संख्या दो प्रतीकों से जुड़ी हुई थी: ऊर्ध्वाधर पच्चर ▼, एक को दर्शाता है, और पारंपरिक संकेत ◄, दस को दर्शाता है।

बेबीलोनियाई क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में पहली बार स्थितीय संख्या प्रणाली का सामना करना पड़ा है। ऊर्ध्वाधर पच्चर न केवल 1 को दर्शाता है, बल्कि 60, 602, 603, आदि को भी दर्शाता है। सबसे पहले, बेबीलोनियाई लोगों के पास स्थितीय सेक्सजेसिमल प्रणाली में शून्य के लिए कोई संकेत नहीं था। बाद में, अंकों को एक दूसरे से अलग करने के लिए, आधुनिक शून्य की जगह èè चिन्ह पेश किया गया।

जैसा कि वैज्ञानिकों का मानना ​​है, बेबीलोनियाई लोगों के बीच सिक्सेजिमल संख्या प्रणाली की उत्पत्ति इस तथ्य से जुड़ी हुई है कि ऐतिहासिक परिस्थितियों के कारण, माप की बेबीलोनियाई मौद्रिक और वजन इकाइयों को 60 बराबर भागों में विभाजित किया गया था: 1 प्रतिभा = 60 मिनट; 1 मेरा = 60 शेकेल। बेबीलोन के जीवन में साठ का दशक आम था। यही कारण है कि उन्होंने छ: अंकीय भिन्नों का उपयोग किया, जिनमें हमेशा संख्या 60 या हर के रूप में इसकी शक्तियाँ होती हैं: 602 = 3600, 603 = 216000, आदि। इस संबंध में, सेक्सजेसिमल अंशों की तुलना हमारे दशमलव अंशों से की जा सकती है। बेबीलोन के गणित ने यूनानी गणित को प्रभावित किया। समय और कोणों को मापते समय आधुनिक विज्ञान में बेबीलोनियाई सेक्सजेसिमल संख्या प्रणाली के निशान बने रहे। घंटे को 60 मिनट से, मिनट को 60 सेकंड से, एक वृत्त को 360 डिग्री से, डिग्री को 60 मिनट से, मिनट को 60 सेकंड से विभाजित किया जाता है। बेबीलोनियों ने खगोल विज्ञान के विकास में बहुमूल्य योगदान दिया। सभी देशों के वैज्ञानिकों ने 17वीं शताब्दी तक खगोल विज्ञान में छ: दशमलव अंशों का प्रयोग किया, उन्हें खगोलीय अंश कहा। इसके विपरीत, हम जिन सामान्य भिन्नों का उपयोग करते हैं, उन्हें साधारण कहा जाता है।

3.1.5. प्राचीन ग्रीस में नंबरिंग और अंश।

छठी शताब्दी ईसा पूर्व तक। इ। ग्रीक गणित कुछ भी उत्कृष्ट के लिए प्रसिद्ध नहीं था। हमेशा की तरह, गिनती और माप में महारत हासिल थी। ग्रीक नंबरिंग (संख्याओं का अंकन), बाद में रोमन की तरह, योगात्मक था, अर्थात संख्याओं के संख्यात्मक मान जोड़े गए थे। इसके पहले संस्करण (अटारी, या हेरोडियन) में 1, 5, 10, 50, 100 और 1000 के लिए अक्षर चिह्न थे। तदनुसार, कंकड़ के साथ एक गिनती बोर्ड (अबेकस) की व्यवस्था की गई थी। वैसे, गणना (गणना) शब्द कलन से आया है - एक कंकड़। छिद्रों के साथ एक विशेष कंकड़ शून्य को दर्शाता है।

बाद में, अटारी नंबरिंग के बजाय, वर्णमाला क्रमांकन को अपनाया गया - ग्रीक वर्णमाला के पहले 9 अक्षरों में 1 से 9 तक की संख्याएँ, अगले 9 अक्षर - दहाई, बाकी - सैकड़ों। संख्याओं और अक्षरों को भ्रमित न करने के लिए, संख्याओं पर एक डैश खींचा गया था। एक विशेष स्ट्रोक (नीचे बाएं) के साथ अतिरिक्त अंकों को चिह्नित करते हुए, 1000 से अधिक की संख्या को स्थितिगत रूप से दर्ज किया गया था। विशेष चिह्नों ने 10,000 से बड़ी संख्याओं को चित्रित करना संभव बना दिया।

छठी शताब्दी ईसा पूर्व में। इ। "ग्रीक चमत्कार" शुरू होता है: दो वैज्ञानिक स्कूल एक ही बार में दिखाई देते हैं - आयनियन (थेल्स ऑफ मिलेटस, एनाक्सिमेन्स, एनाक्सिमेंडर) और पाइथागोरस। हम प्रारंभिक ग्रीक गणितज्ञों की उपलब्धियों के बारे में मुख्य रूप से बाद के लेखकों, मुख्य रूप से यूक्लिड, प्लेटो और अरस्तू की टिप्पणियों से जानते हैं।

थेल्स, एक धनी व्यापारी, ने जाहिर तौर पर अपनी व्यापारिक यात्राओं के दौरान बेबीलोन के गणित और खगोल विज्ञान को अच्छी तरह से सीखा। आयनियों ने ज्यामितीय प्रमेयों के प्रथम प्रमाण दिए।

हालाँकि, प्राचीन गणित के निर्माण में मुख्य भूमिका पाइथागोरस की है।

प्राचीन ग्रीस में, अंकगणित - संख्याओं के सामान्य गुणों का अध्ययन - रसद से अलग किया गया था - कलन की कला। यूनानियों का मानना ​​​​था कि अंशों का उपयोग केवल रसद में किया जा सकता है। यहां, पहली बार, हम एम / एन के रूप के एक अंश की सामान्य अवधारणा से मिलते हैं। इस प्रकार, हम यह मान सकते हैं कि पहली बार प्राकृतिक संख्याओं के क्षेत्र का विस्तार प्राचीन ग्रीस में अतिरिक्त परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद हुआ था। इ। यूनानियों ने सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को भिन्नों के साथ स्वतंत्र रूप से संचालित किया, लेकिन उन्होंने उन्हें संख्याओं के रूप में नहीं पहचाना।

यूनानियों ने एकवचन, "मिस्र के" अंशों और सामान्य साधारण अंशों के साथ प्रयोग किया। विभिन्न प्रविष्टियों में, निम्नलिखित का भी उपयोग किया गया था: सबसे ऊपर हर है, इसके नीचे भिन्न का अंश है।

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* * http://aida.ucoz.ru कविता के विज्ञान से होरेस "अल्बिन का बेटा! मुझे बताओ: अगर हम, पांच औंस लेते हुए, एक घटाते हैं, तो क्या बचा है?" - "गधे का तीसरा भाग"। "आश्चर्यजनक! खैर, आप अपनी संपत्ति बर्बाद नहीं करेंगे! और अगर हम पिछले पांच में एक जोड़ दें, तो सब क्या होगा?" - "आधा"। (एम। दिमित्रीव द्वारा अनुवादित।) Http://aida.ucoz.ru

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* http://aida.ucoz.ru * युवा रोमन सही थे! इस समस्या को हल करते हुए, हमें यह भी मिला: 5 / 12-1 / 12 = 1/3; 5/12 + 1/12 = 1/2। http://aida.ucoz.ru

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* http://aida.ucoz.ru "स्क्रूपुलसली" समानार्थक शब्द: सटीक, सूक्ष्म, संपूर्ण, साफ-सुथरा, कर्तव्यनिष्ठ, गहना, समय का पाबंद, पांडित्य, फिलाग्री, निरंतर। और यह अजीब शब्द "स्क्रूपुलस" रोमन नाम 1/288 ass - "scrupulus" से आया है। http://aida.ucoz.ru

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* http://aida.ucoz.ru * निम्नलिखित नामों का भी इस्तेमाल किया गया: "सेमिस" - आधा गधा, "सेक्सटैन" - इसका छठा हिस्सा, "सेमी-औंस" - आधा औंस, यानी 1/ 24 गधा, आदि। डी। भिन्नों के लिए कुल 18 विभिन्न नामों का प्रयोग किया गया। भिन्नों के साथ काम करने के लिए, आपको जोड़ तालिका और गुणन तालिका याद रखनी होगी। इसलिए, रोमन व्यापारियों को निश्चित रूप से पता था कि जब ट्रिएन्स (1 / 3ass) और सेक्स्टन्स को जोड़ते हैं, तो सेवन्स प्राप्त होते हैं, और जब डेविल (2/3 गधा) को सेस्कंट्स (2/3 औंस, यानी 1/8 गधा) से गुणा करते हैं। , एक औंस प्राप्त होता है। काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष टेबल तैयार किए गए थे, जिनमें से कुछ हमारे पास आ गए हैं। http://aida.ucoz.ru

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जीत के बाद, गयुस जूलियस सीजर ने अपने मोहरा को पुरस्कृत करने का फैसला किया और उन्हें पहले 24 औंस और फिर 36 औंस आवंटित किया। टुकड़ी को कितने इक्के मिले? समाधान: 24 औंस 2 गधे हैं, और 36 औंस 3 गधे हैं, 3 + 2 = 5 गधे दस्ते द्वारा प्राप्त किए गए हैं। उत्तर: 5 गधे। मिशा इवानोव की समस्या

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एंजेलीना ग्लिबिना का कार्य प्राचीन रोम में, युद्ध में ताकत और साहस दिखाने वाले सैनिकों को सम्मानजनक रूप से सम्मानित किया जाता था। 6 योद्धाओं को पुरस्कार देने में कितने इक्के लगे, यदि प्रत्येक को 2 इक्के और 6 औंस दिए गए। समाधान: हम 6 को 2 गधों से गुणा करते हैं, हमें 12 गधे मिलते हैं - यह केवल 6 योद्धाओं द्वारा दिया जाता है, फिर हम 6 से 6 गुणा करते हैं, हमें 36 औंस मिलते हैं, और एक गधे में - 12 औंस, हमें 3 गधे मिलते हैं, इसमें 3 जोड़ते हैं 12, हमें 15 गधे मिलते हैं ... उत्तर: 15 गधा।