Рассмотрим два вида несобственных интервалов:
- 1. Несобственные интегралы I-го рода с бесконечными пределами интегрирования;
- 2. Несобственные интегралы II-го рода от функций с бесконечными разрывами.
Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования
Определение: Интегралы вида: называются несобственными интегралами I-го рода с бесконечными пределами, которые определяются с помощью пределов:
Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются.
Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные.
Действительно, пусть функция f(x) определена и непрерывна при любом значении x=в из полубесконечного отрезка функций имеем:
Он сходится к 1. Тогда согласно теореме 1 несобственный интеграл от меньшей функции: также сходится и его значение меньше 1.
Теорема 2. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0?g(x)?f(x), при любых х? а, несобственный интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и несобственный интеграл от большей функции.
Пример. Исследовать сходимость интеграла:
Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией. Для знакоположительных на интервале . Определяются несобственные интегралы второго рода по-разному, в зависимости от расположения точек разрыва на промежутке [a ; b ].
1) Предположим, что функция f (x ) имеет бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке области интегрирования (c Î(a ; b )) В остальных точках отрезка [a ; b ] функция предполагается непрерывной.
Тогда, если существуют и конечны пределы и , то говорят, что интеграл сходится и равен
. (8.22)
2) Пусть единственная точка разрыва функции f
(x
) совпадает с точкой а
. (8.23)
3) Пусть единственная точка разрыва функции f
(x
) совпадает с точкой b
. Тогда, если существует и конечен предел , то говорят, что интеграл сходится, и равен
. (8.24)
Всюду предполагается, что e > 0 и d > 0.
Задача 8.12. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. x = 2. Следовательно,
Задача 8.13. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Подынтегральная функция имеет разрыв второго рода в точке x = 0 (внутри области интегрирования). Следовательно,
Первый предел существует и конечен, но второй предел равен бесконечности ( при ). Следовательно, данный интеграл расходится.
Глава 9. Функции нескольких переменных
§9.1. Определение n -мерного евклидова пространства R n .
Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных полезно ввести понятие n -мерного пространства для любого n = 1, 2, 3,… .
2 Точкой x n -мерного пространства (вектором) называется упорядоченная совокупность n действительных чисел .
Число называется i -ой координатой вектора .
2 Расстояние между двумя точками n -мерного пространства и определяется по формуле:
Расстояние от точки до точки x называется модулем вектора x и обозначается . Из формулы (9.1) следует, что .
В n -мерном пространстве естественным образом вводится понятие скалярного произведения:
Угол между векторами x и y можно определить по формуле:
По прежнему, векторы x и y перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
2Совокупность всех точек n -мерного пространства, в котором определено расстояние согласно формуле (9.1) и скалярное произведение, называется n -мерным евклидовым векторным пространством и обозначается через .
В случае n = 1 пространство совпадает с прямой, в случае n = 2 – с плоскостью, а в случае n = 3 – с пространством.
2 Пусть и . Совокупность всех точек таких, что , называется n -мерным шаром с центром в точке x или e -окрестностью точки x в пространстве и обозначается .
В координатной форме это определение выглядит так:
В случае прямой, т.е. при n = 1, окрестность точки представляет из себя интервал с центром в точке радиуса e . В случае плоскости, т.е. при n = 2, окрестность точки представляет из себя открытый круг с центром в точке радиуса e . В случае пространства, т.е. при n = 3 окрестность точки представляет из себя открытый шар с центром в точке радиуса e .
§9.2. Область определения функции нескольких переменных. Непрерывность
2 Функцией n переменных называется такое правило (закон), по которому каждому набору, состоящему из n переменных , взятому из некоторой области D n -мерного пространства , ставится в соответствие единственное число z . В наиболее простом случае .
2 Функцией 2-х переменных называется такое правило (закон), по которому каждой точке M (x ; y ), принадлежащей некоторой области D плоскости xOy , ставится в соответствие единственное число z .
Множество точек в пространстве с координатами образуют некоторую поверхность (рис. 9.1), возвышающуюся над областью D (геометрический смысл функции двух переменных).
2 Область D , для которой построено указанное выше соответствие, называется областью определения функции .
Задача 9.1. Найти область определения функции
Решение. Искомая область определения является множеством точек на плоскости xOy , удовлетворяющих системе неравенств . Неравенства и меняют свой знак на противоположный (соответственно) при пересечении следующих линий: x = y и x = 0, y = 0. Эти линии разбивают плоскость xOy на 6 областей. Последовательно, подставляя произвольные точки, из каждой области в систему , убеждаемся в том, что объединение областей (1) и (3) является областью определения исходной функции. Причем прямая x = y , за исключением точки (0; 0), входит в область определения, а прямые x = 0, и y = 0 – не входят (рис. 9.2).
2 Замыканием области называется множество точек пространства , в любой окрестности каждой из которых содержатся точки области D .
Пусть, например, D – некоторая открытая (граница не включается) область на плоскости xOy . Тогда замыкание области получится, если к области D присоединить ее границу Г .
2 Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана функция , и пусть – некоторая точка замыкания области D (). Число А называется пределом функции в точке М 0 , если для любого числа e > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех точек , отличных от точки М 0 и удаленных от нее меньше, чем на δ , выполнено неравенство .
2 Функция называется непрерывной в точке если она определена в этой точке () и имеет место равенство .
§9.3. Линии уровня функции двух переменных
2 Линии на плоскости xOy , заданные уравнениями , где С – произвольная константа, называются линиями уровня функции .
Линии уровня являются линиями пересечения поверхности, заданной функцией и плоскости z = C , параллельной плоскости xOy . С помощью линий уровня можно изучать форму поверхности, заданной функцией .
Пример 9.2. Найти линии уровня и определить форму поверхности, заданной уравнением .
Уравнения линий уровня в данном случае имеют вид . При C < 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy ). При C = 0 уравнению линии уровня удовлетворяет только одна точка x = 0, y = 0 (с плоскостью xOy поверхность пересекается только вначале координат). При C > 0 линии уровня являются эллипсами , с полуосями и . Линии уровня, соответствующие различным значениям С , изображены на рис. 9.3. Поверхность, заданная уравнением , называется эллиптическим параболоидом (рис. 9.4).
§9.4. Частные производные первого порядка
Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана функция , и – некоторая точка области D .
x
, (9.2)
2 Частной производной функции в точке по переменной y (обозначается или ) называется
, (9.3)
если данный предел существует и конечен.
2 Частной производной функции n переменных в точке по переменной x i называется
, (9.4)
если данный предел существует и конечен.
Как видно из формул (9.2) – (9.4), частные производные определяются аналогично тому, как определялась производная функции одной переменной. При вычислении предела приращение получает только одна из переменных, остальные переменные приращения не получают и остаются постоянными. Следовательно, частные производные можно вычислять по тем же правилам, что и обычные производные, обращаясь со всеми свободными переменными (кроме той, по которой производится дифференцирование) как с константами.
Задача 9.3. Найти частные производные функции
Решение. .
Задача 9.4. Найти частные производные функции .
Решение. При дифференцировании данной функции по переменной x мы пользуемся правилом дифференцирования степенной функции, а при нахождении частной производной по переменной y – правилом дифференцирования показательной функции:
Задача 9.5. Вычислить частные производные функции в точке .
Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции, найдем частные производные
Подставляя в частные производные координаты точки М , получим
§9.5. Градиент функции нескольких переменных.
Производная по направлению
2 Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных данной функции, вычисленных в данной точке:
2 Производной функции в точке по направлению вектора называется проекция вектора градиента данной функции, вычисленного в точке М 0 , на данное направление
Вычисляя проекцию вектора на вектор в соответствие с формулой (2.6), получим
. (9.7)
Замечая, что , где a
– угол, который вектор образует с осью OX
, получим еще одну формулу для вычисления производной по направлению вектора
Задача 9.6. Найти градиент функции в точке М 0 (4; 2) и производную по направлению вектора
Решение. Найдем частные производные
Вычислим значения частных производных в точке М 0:
Градиент функции в точке М 0 найдем по формуле (9.5):
Задача 9.7. В точке М 0 (0; 1) вычислить производную функции по направлению биссектрисы второго координатного угла.
Решение. Найдем частные производные функции :
Вычислим значения частных производных и градиент функции в точке М 0:
Производную функции в точке М 0 по направлению биссектрисы второго координатного угла (данное направление составляет с осью OX угол a = 135°) найдем по формуле (9.8):
§9.6. Дифференциал функции нескольких переменных
и его применение к приближенным вычислениям
1 Если в точке функция имеет непрерывные частные производные и , то ее полное приращение при переходе от точки М 0 к точке может быть представлено в виде:
, (9.9)
где при , .
2 Выражение называется полным дифференциалом функции в точке .
Из формулы (9.9) следует, что дифференциал функции является главной линейной частью полного приращения функции . При достаточно млых Dx и Dy выражение существенно меньше дифференциала и им можно пренебречь. Таким образом, мы приходим к следующей приближенной формуле:
. (9.10)
Замечание.
Формулой (9.10) можно пользоваться для приближенного вычисления значений функций только в точках , достаточно близких к точке . Чем меньше значение , тем точнее значение , найденное по формуле (9.9).
Пример 9.8. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала.
Рассмотрим функцию . Требуется вычислить значение z 1 этой функции в точке (x 1 ; y 1) = (0,09; 6,95). Воспользуемся приближенной формулой (9.9), выбрав в качестве точки точку (0; 7). Тогда Dx = x 1 – x 0 = 0,09 – 0 = 0,09, Dy = y 1 – y 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.
Следовательно,
§9.7. Частные производные высших порядков
Пусть в области D задана функция , имеющая в этой области непрерывные частные производные и . Таким образом, в области D мы получили две новые непрерывные функции двух переменных и . Если в некоторой точке области D функции и имеют частные производные как по переменной x , так и по переменой y , то эти производные называются производными второго порядка функции . Они обозначаются следующим образом:
1 Если в некоторой точке области D функция имеет непрерывные смешанные производные и , то в точке эти производные равны: . D , необходимо выполнение условий: D = 32 – 9 = 23.
Так как дискриминант больше нуля, то в точке М функция имеет экстремум. А именно, локальный минимум, поскольку А и С больше нуля. При этом
