მწვავე სამკუთხედის თვისებები. რა არის სამკუთხედი. Რა არიან ისინი

228. ამ თავში ძირითადად გავიგებთ მათი რიცხვების გამომხატველი AB, AC და სხვ სეგმენტების აღნიშვნით.

ჩვენ ვიცით (გვ. 226), რომ თუ ორი a და b სეგმენტი მოცემულია გეომეტრიულად, მაშინ შეგვიძლია ავაშენოთ საშუალო პროპორციული მათ შორის. მოდით, სეგმენტები იყოს მოცემული არა გეომეტრიულად, არამედ რიცხვებით, ანუ a და b-ში ვგულისხმობთ 2 მოცემული სეგმენტის გამომხატველ რიცხვებს. შემდეგ საშუალო პროპორციული სეგმენტის პოვნა შემცირდება x რიცხვის პოვნამდე a / x = x / b პროპორციიდან, სადაც a, b და x რიცხვებია. ამ პროპორციიდან გვაქვს:

x 2 = აბ
x = √ab

229. ვთქვათ, გვაქვს მართკუთხა სამკუთხედი ABC (სურ. 224).

მოდით, პერპენდიკულარული BD მისი მართი კუთხის წვეროდან (∠B სწორი) AC ჰიპოტენუზამდე ჩამოვაგდოთ. შემდეგ 225-ე პუნქტიდან ჩვენ ვიცით:

1) AC / AB = AB / AD და 2) AC / BC = BC / DC.

აქედან ვიღებთ:

AB 2 = AC AD და BC 2 = AC DC.

მიღებული ტოლობები ნაწილების მიხედვით დავამატებთ, მივიღებთ:

AB 2 + BC 2 = AC AD + AC DC = AC (AD + DC).

ე.ი. ჰიპოტენუზის გამომხატველი რიცხვის კვადრატი ტოლია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების გამომხატველი რიცხვების კვადრატების ჯამს.

მოკლედ ამბობენ: მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას კვადრატი უდრის წვივების კვადრატების ჯამს.

თუ მიღებულ ფორმულას მივცემთ გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, მაშინ მივიღებთ უკვე ცნობილ პითაგორას თეორემას (გვ. 161):

მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამს.

AB 2 + BC 2 = AC 2 განტოლებიდან ზოგჯერ საჭიროა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის პოვნა ჰიპოტენუზასა და მეორე ფეხის მიხედვით. ჩვენ ვიღებთ, მაგალითად:

AB 2 = AC 2 - BC 2 და შემდეგ,

230. მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის ნაპოვნი რიცხვითი თანაფარდობა მრავალი გამოთვლითი ამოცანის ამოხსნის საშუალებას იძლევა. მოდით გადავჭრათ რამდენიმე მათგანი:

1. გამოთვალეთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი მოცემული გვერდისთვის.

დავუშვათ ∆ABC (სურ. 225) ტოლგვერდა და მისი თითოეული მხარე გამოიხატება a რიცხვით (AB = BC = AC = a). ამ სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად ჯერ უნდა იცოდეთ მისი სიმაღლე BD, რომელსაც დავარქმევთ h-ით. ჩვენ ვიცით, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედში BD სიმაღლე ყოფს AC ფუძეს შუაზე, ანუ AD = DC = a / 2. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედიდან DBC გვაქვს:

BD 2 = BC 2 - DC 2,

h 2 = a 2 - a 2/4 = 3a 2/4 (გამოკლება).

აქედან გამომდინარე გვაქვს:

(ფესვის ქვემოდან ამოვიღებთ ფაქტორს).

ამიტომ, დავასახელოთ რიცხვი, რომელიც გამოხატავს ჩვენი სამკუთხედის ფართობს Q-ით და ვიცით, რომ ფართობი ∆ABC = (AC BD) / 2, ვპოულობთ:

ჩვენ შეგვიძლია შევხედოთ ამ ფორმულას, როგორც ერთ-ერთ გზას ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობის გასაზომად: უნდა გავზომოთ მისი გვერდი წრფივი ერთეულებით, კვადრატში ნაპოვნი რიცხვი, გავამრავლოთ მიღებული რიცხვი √3-ზე და გავყოთ 4-ზე - ჩვენ მიიღეთ ფართობის გამოხატულება კვადრატული (შესაბამისი) ერთეულებით.
2. სამკუთხედის გვერდები არის 10, 17 და 21 ხაზი. ერთი. გამოთვალეთ მისი ფართობი.

მოდით, h სიმაღლე ჩვენს სამკუთხედში (შავი 226) დავწიოთ უფრო დიდ მხარეს - ის აუცილებლად გაივლის სამკუთხედის შიგნით, რადგან სამკუთხედში ბლაგვი კუთხე შეიძლება განთავსდეს მხოლოდ უფრო დიდი მხარის მიმართ. შემდეგ დიდი მხარე, = 21, იყოფა 2 სეგმენტად, რომელთაგან ერთს აღვნიშნავთ x-ით (იხ. ნახაზი) ​​- შემდეგ მეორე = 21 - x. ვიღებთ ორ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელთაგან გვაქვს:

h 2 = 10 2 - x 2 და h 2 = 17 2 - (21 - x) 2

ვინაიდან ამ განტოლებების მარცხენა მხარეები იგივეა, მაშინ

10 2 - x 2 = 17 2 - (21 - x) 2

ჩვენ ვიღებთ მოქმედებების შესრულებას:

10 2 - x 2 = 289 - 441 + 42x - x 2

ამ განტოლების გამარტივებით, ჩვენ ვპოულობთ:

შემდეგ h 2 = 10 2 - x 2 განტოლებიდან ვიღებთ:

სთ 2 = 10 2 - 6 2 = 64

და, შესაბამისად

შემდეგ მოიძებნება საჭირო ფართობი:

Q = (21 8) / 2 კვად. ერთი. = 84 კვ. ერთი.

3. თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ ზოგადი პრობლემა:

როგორ გამოვთვალოთ სამკუთხედის ფართობი მისი გვერდებით?

სამკუთხედის ABC გვერდები გამოვხატოთ BC = a, AC = b და AB = c რიცხვებით (სურ. 227). დავუშვათ AC არის დიდი მხარე; მაშინ სიმაღლე BD შევა ∆ABC შიგნით. დავარქვათ: BD = h, DC = x და შემდეგ AD = b - x.

∆BDC-დან გვაქვს: h 2 = a 2 - x 2.

∆ABD-დან გვაქვს: h 2 = c 2 - (b - x) 2,

საიდანაც a 2 - x 2 = c 2 - (b - x) 2.

ამ განტოლების ამოხსნით, თანმიმდევრულად ვიღებთ:

2bx = a 2 + b 2 - c 2 და x = (a 2 + b 2 - c 2) / 2b.

(ეს უკანასკნელი იწერება იმის საფუძველზე, რომ მრიცხველი 4a 2 b 2 - (a 2 + b 2 - c 2) 2 შეიძლება ჩაითვალოს ტოლ კვადრატებად, რომლებსაც ვანაწილებთ ჯამისა და სხვაობის ნამრავლად).

ეს ფორმულა გარდაიქმნება სამკუთხედის პერიმეტრის შემოღებით, რომელსაც აღვნიშნავთ 2p-ით, ე.ი.

ტოლობის ორივე მხარეს გამოვაკლოთ 2c, მივიღებთ:

a + b + c - 2c = 2p - 2c ან a + b - c = 2 (p - c):

ჩვენ ასევე ვიპოვით:

c + a - b = 2 (p - b) და c - a + b = 2 (p - a).

შემდეგ მივიღებთ:

(p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი).
ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად მისი სამი მხარის გასწვრივ.

231. Სავარჯიშოები.

232. 229-ე პუნქტში ვიპოვეთ მიმართება მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ მსგავსი დამოკიდებულება ირიბი სამკუთხედის გვერდებზე (სხვა სეგმენტის დამატებით).

ჯერ გვაქვს ∆ABC (სურ. 228) ისეთი, რომ ∠A იყოს მკვეთრი. შევეცადოთ ვიპოვოთ გამოხატულება BC გვერდის კვადრატისთვის, რომელიც მდებარეობს ამ მწვავე კუთხის მოპირდაპირედ (ისევე, როგორც 229-ე პუნქტში ვიპოვეთ გამოხატულება ჰიპოტენუზის კვადრატისთვის).

BD ⊥ AC აგებისას, მართკუთხა სამკუთხედიდან BDC ვიღებთ:

BC 2 = BD 2 + DC 2

ჩაანაცვლეთ BD2, განსაზღვრეთ იგი ABD-დან, საიდანაც გვაქვს:

BD 2 = AB 2 - AD 2,

ხოლო სეგმენტი DC იცვლება AC - AD-ით (აშკარაა, რომ DC = AC - AD). შემდეგ მივიღებთ:

BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC - AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 - 2AC AD + AD 2

ასეთი წევრების ჩამორთმევის შემდეგ ვხვდებით:

BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AC AD.

ეს ფორმულა ნათქვამია: სამკუთხედის გვერდის კვადრატი, რომელიც მდებარეობს მახვილი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს, უდრის მისი ორი სხვა გვერდის კვადრატების ჯამს, გამოკლებული ამ გვერდის ორმაგი ნამრავლი მისი სეგმენტით მახვილი კუთხის მწვერვალიდან სიმაღლემდე..

233. ახლა ∠A და ∆ABC (ნახაზი 229) ბლაგვი იყოს. მოდით ვიპოვოთ გამოხატულება BC გვერდის კვადრატისთვის, რომელიც მდებარეობს ბლაგვი კუთხის მოპირდაპირედ.

BD სიმაღლის აშენების შემდეგ ის ახლა ცოტა განსხვავებულად განთავსდება: 228-ზე სადაც ∠A არის მკვეთრი, D და C წერტილები განლაგებულია A-ს ერთ მხარეს და აქ, სადაც ∠A ბლაგვია, D და C წერტილები იქნება. მდებარეობს A-ს მოპირდაპირე მხარეს. შემდეგ მართკუთხა ∆BDC-დან ვიღებთ:

BC 2 = BD 2 + DC 2

ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ BD2 მართკუთხა ∆BDA-დან მისი განსაზღვრით:

BD 2 = AB 2 - AD 2,

და სეგმენტი DC = AC + AD, რაც აშკარაა. ჩანაცვლებით ვიღებთ:

BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2

ასეთი წევრების არჩევით ჩვენ ვხვდებით:

BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,

ე.ი. ბლაგვი კუთხის მოპირდაპირე მდებარე სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის მისი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს, პლუს ერთი მათგანის ორმაგი ნამრავლი მის სეგმენტზე ბლაგვი კუთხის მწვერვალიდან სიმაღლემდე..
ეს ფორმულა, ისევე როგორც 232-ე გვ., იძლევა გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, რომლის პოვნაც ადვილია.

234. აბზაცების თვისებების გამოყენება. 229, 232, 233, ჩვენ შეგვიძლია, თუ სამკუთხედის გვერდები რიცხვებში გვეძლევა, გავარკვიოთ, აქვს თუ არა ამ სამკუთხედს მართი თუ ბლაგვი კუთხე.

სამკუთხედში მართი ან ბლაგვი კუთხე შეიძლება განთავსდეს მხოლოდ უფრო დიდი მხარის მიმართ, რა არის მის მიმართ კუთხე, ადვილი გასარკვევია: ეს კუთხე არის მწვავე, სწორი ან ბლაგვი, იმისდა მიხედვით, არის თუ არა დიდი გვერდის კვადრატი. ნაკლები, ტოლი ან მეტი, ვიდრე დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამი ...

გაარკვიეთ, არის თუ არა მართი ან ბლაგვი კუთხე შემდეგ სამკუთხედებში, რომლებიც განისაზღვრება მათი გვერდებით:

1) 15 დმ., 13 დმ. და 14 დმ.; 2) 20, 29 და 21; 3) 11, 8 და 13; 4) 7, 11 და 15.

235. ვთქვათ გვაქვს პარალელოგრამი ABCD (შავი. 230); ააგეთ მისი დიაგონალები AC და BD და მისი სიმაღლეები BK ⊥ AD და CL ⊥ AD.

მაშინ, თუ ∠A (∠BAD) მკვეთრია, მაშინ ∠D (∠ADC) ნამდვილად მოსაწყენია (რადგან მათი ჯამი = 2d). ∆ABD-დან, სადაც ∠A ითვლება მკვეთრად, გვაქვს:

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2AD AK,

და ∆ACD-დან, სადაც ∠D ბლაგვია, გვაქვს:

AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.

ბოლო ფორმულაში შევცვალოთ AD სეგმენტი BC ტოლი სეგმენტით და DL ტოლი AK (DL = AK, რადგან ∆ABK = ∆DCL, რომლის დანახვა ადვილია). შემდეგ მივიღებთ:

AC2 = BC2 + CD2 + 2AD AK.

BD2-ის გამოსახულების დამატება AC 2-ის ბოლო გამოსახულებით, ჩვენ ვპოულობთ:

BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,

ვინაიდან წევრები –2AD · AK და + 2AD · AK ურთიერთგანადგურდებიან. ჩვენ შეგვიძლია წავიკითხოთ მიღებული თანასწორობა:

პარალელოგრამის დიაგონალების კვადრატების ჯამი მისი გვერდების კვადრატების ჯამის ტოლია.

236. სამკუთხედის შუასა და ბისექტრის გამოთვლა მის გვერდებზე... მოდით, შუამავალი BM აგებული იყოს სამკუთხედში ABC (ნახაზი 231) (ანუ AM = MC). ∆ABC გვერდების ცოდნა: BC = a, AC = b და AB = c, გამოთვალეთ მედიანა BM.

გავაგრძელოთ BM და გადავდოთ სეგმენტი MD = BM. D-ს A-ს და D-ს C-თან შერწყმით მივიღებთ პარალელოგრამს ABCD (ამის გარკვევა ადვილია, ვინაიდან ∆AMD = ∆BMC და ∆AMB = ∆DMC).

მედიანური BM-ის გამოძახებით m-ით, მივიღებთ BD = 2m და შემდეგ, წინა ელემენტის გამოყენებით, გვაქვს:

237. წრის სამკუთხედის გარშემო აღწერილი რადიუსის გამოთვლა. წრე O იყოს შემოხაზული ∆ABC (სურ. 233) ავაშენოთ BD წრის დიამეტრი, AD აკორდი და BH სამკუთხედის სიმაღლე.

შემდეგ ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d არის სწორი ხაზის A კუთხე, რადგან ის ჩაწერილია BD დიამეტრის საფუძველზე და ∠D = ∠C, როგორც ჩაწერილია, ერთ რკალზე დაფუძნებული AB). ამიტომ გვაქვს:

ან, OB რადიუსს R-მდე ვუწოდოთ, სიმაღლე BH h-მდე და გვერდები AB და BC, როგორც ადრე, შესაბამისად c და a-მდე:

მაგრამ ფართობი არის ∆ABC = Q = bh / 2, საიდანაც h = 2Q / b.

ამიტომ, R = (abc) / (4Q).

ჩვენ შეგვიძლია (გვ. 230 ასო. 3) გამოვთვალოთ Q სამკუთხედის ფართობი მისი გვერდების გასწვრივ. აქედან შეგვიძლია გამოვთვალოთ R სამკუთხედის სამი გვერდის გასწვრივ.

238. სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსის გამოთვლა. მოდით, ∆ABC-ში, რომლის გვერდები მოცემულია (ნახაზი 234) ჩავწეროთ წრე O. ვაკავშირებთ მის O ცენტრს სამკუთხედის წვეროებთან და გვერდების D, E და F წერტილებთან წრეზე. დაადგინეთ, რომ OD, OE და OF წრის რადიუსი ემსახურება BOC, COA და AOB სამკუთხედების სიმაღლეებს.

ჩაწერილი წრის რადიუსის გამოძახებით r-ით, გვაქვს:

ყველაზე მარტივი მრავალკუთხედი, რომელიც სკოლაში ისწავლება, არის სამკუთხედი. ეს უფრო გასაგებია სტუდენტებისთვის და ნაკლები სირთულეები აქვს. მიუხედავად იმისა, რომ არსებობს სხვადასხვა ტიპის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ განსაკუთრებული თვისებები.

რა ფორმას ჰქვია სამკუთხედი?

ჩამოყალიბებულია სამი წერტილითა და ხაზის სეგმენტებით. პირველებს უწოდებენ წვეროებს, მეორეებს - გვერდებს. უფრო მეტიც, სამივე სეგმენტი უნდა იყოს დაკავშირებული ისე, რომ მათ შორის კუთხეები ჩამოყალიბდეს. აქედან მოდის ფიგურის სახელწოდება "სამკუთხედი".

კუთხის სახელების განსხვავებები

ვინაიდან ისინი შეიძლება იყოს მკვეთრი, ბლაგვი და სწორი, სამკუთხედების ტიპები განისაზღვრება ამ სახელებით. შესაბამისად, ასეთი ფიგურების სამი ჯგუფი არსებობს.

• Პირველი. თუ სამკუთხედის ყველა კუთხე მახვილია, მაშინ მას ექნება სახელი მახვილკუთხა. ყველაფერი ლოგიკურია.

• მეორე. ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია, ამიტომ სამკუთხედი ბლაგვია. ეს არ შეიძლება იყოს უფრო ადვილი.

• მესამე. არის 90 გრადუსიანი კუთხე, რომელსაც მართი კუთხე ეწოდება. სამკუთხედი ხდება მართკუთხა.

განსხვავებები სახელებში გვერდებზე

გვერდების მახასიათებლებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ სამკუთხედების შემდეგ ტიპებს:

ზოგადი შემთხვევა მრავალმხრივია, რომელშიც ყველა მხარე თვითნებური სიგრძისაა;

ტოლფერდა, რომელთა ორ გვერდს აქვს ერთი და იგივე რიცხვითი მნიშვნელობები;

ტოლგვერდა, მისი ყველა მხარის სიგრძე ერთნაირია.

თუ დავალება არ მიუთითებს სამკუთხედის კონკრეტულ ტიპზე, მაშინ თქვენ უნდა დახაზოთ თვითნებური. რომელშიც ყველა კუთხე მკვეთრია, ხოლო გვერდებს აქვთ სხვადასხვა სიგრძე.

ყველა სამკუთხედისთვის საერთო თვისებები

1. თუ შეკრებთ სამკუთხედის ყველა კუთხეს, მიიღებთ რიცხვს ტოლი 180º. არ აქვს მნიშვნელობა როგორი იქნება ის. ეს წესი ყოველთვის მოქმედებს.
2. სამკუთხედის ორივე მხარის რიცხვითი მნიშვნელობა ნაკლებია დანარჩენ ორზე ერთად დამატებული. უფრო მეტიც, ეს უფრო მეტია, ვიდრე მათი განსხვავება.
3. თითოეულ გარე კუთხეს აქვს მნიშვნელობა, რომელიც მიიღება ორი შიდა კუთხეების დამატებით, რომლებიც არ არის მიმდებარე. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის მეტია, ვიდრე მიმდებარე შიდა.
4. ყველაზე პატარა კუთხე ყოველთვის დევს სამკუთხედის პატარა მხარის საპირისპიროდ. პირიქით, თუ მხარე დიდია, მაშინ კუთხე ყველაზე დიდი იქნება.

ეს თვისებები ყოველთვის მართალია, არ აქვს მნიშვნელობა რა ტიპის სამკუთხედები განიხილება პრობლემებში. ყველა დანარჩენი გამომდინარეობს კონკრეტული მახასიათებლებისგან.

ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები

• ფუძის მიმდებარე კუთხეები ტოლია.
• სიმაღლე, რომელიც დახატულია ფუძესთან, ასევე არის მედიანა და ბისექტორი.
• სიმაღლეები, მედიანა და ბისექტრები, რომლებიც გამოსახულია სამკუთხედის გვერდებზე, შესაბამისად ერთმანეთის ტოლია.

ტოლგვერდა სამკუთხედის თვისებები

თუ არსებობს ასეთი ფიგურა, მაშინ ჭეშმარიტი იქნება ზემოთ აღწერილი ყველა თვისება. რადგან ტოლგვერდა ყოველთვის ტოლგვერდა იქნება. მაგრამ არა პირიქით, ტოლგვერდა სამკუთხედი არ უნდა იყოს ტოლგვერდა.

• მისი ყველა კუთხე ერთმანეთის ტოლია და აქვს 60º მნიშვნელობა.
• ტოლგვერდა სამკუთხედის ნებისმიერი მედიანა არის მისი სიმაღლე და ბისექტორი. უფრო მეტიც, ისინი ყველა ერთმანეთის ტოლია. მათი მნიშვნელობების დასადგენად, არსებობს ფორმულა, რომელიც შედგება გვერდისა და კვადრატული ფესვის ნამრავლისაგან 3, გაყოფილი 2-ზე.

მართკუთხა სამკუთხედის თვისებები

• ორი მწვავე კუთხე ემატება 90º-ს.
• ჰიპოტენუზის სიგრძე ყოველთვის აღემატება რომელიმე ფეხის სიგრძეს.
• ჰიპოტენუზასთან დახატული მედიანის რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის მის ნახევარს.
• ფეხი იგივე მნიშვნელობის ტოლია, თუ ის მდებარეობს 30º კუთხის საპირისპიროდ.
• სიმაღლეს, რომელიც დახატულია ზემოდან 90º მნიშვნელობით, აქვს გარკვეული მათემატიკური დამოკიდებულება ფეხებზე: 1 / n 2 = 1 / a 2 + 1 / 2-ში. აქ: a, b - ფეხები, h - სიმაღლე.

პრობლემები სხვადასხვა ტიპის სამკუთხედებთან

#1. მოცემულია ტოლფერდა სამკუთხედი. მისი პერიმეტრი ცნობილია და უდრის 90 სმ, საჭიროა მისი გვერდების ცოდნა. როგორც დამატებითი პირობა: გვერდითი მხარე 1,2-ჯერ ნაკლებია ფუძეზე.

პერიმეტრის მნიშვნელობა პირდაპირ დამოკიდებულია იმ მნიშვნელობებზე, რომლებიც უნდა იპოვოთ. სამივე გვერდის ჯამი მისცემს 90 სმ. ახლა თქვენ უნდა გახსოვდეთ სამკუთხედის ნიშანი, რომლის გასწვრივ ის ტოლფერდაა. ანუ ორი მხარე თანაბარია. თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ განტოლება ორი უცნობით: 2a + b = 90. აქ a არის მხარე, b არის ფუძე.

დამატებითი პირობის ჯერი დადგა. ამის შემდეგ მიიღება მეორე განტოლება: в = 1.2а. თქვენ შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ ეს გამოთქმა პირველში. გამოდის: 2a + 1.2a = 90. გარდაქმნების შემდეგ: 3.2a = 90. აქედან გამომდინარე a = 28.125 (სმ). ახლა ადვილია საფუძვლის გარკვევა. უმჯობესია ამის გაკეთება მეორე პირობიდან: h = 1.2 * 28.125 = 33.75 (სმ).

შესამოწმებლად შეგიძლიათ დაამატოთ სამი მნიშვნელობა: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (სმ). ყველაფერი სწორია.

პასუხი: სამკუთხედის გვერდებია 28,125 სმ, 28,125 სმ, 33,75 სმ.

#2. ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდი არის 12 სმ, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი სიმაღლე.

გამოსავალი. პასუხის საპოვნელად საკმარისია დავუბრუნდეთ იმ მომენტს, სადაც აღწერილი იყო სამკუთხედის თვისებები. ეს არის ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლის, მედიანისა და ბისექტრის პოვნის ფორმულა.

n = a * √3 / 2, სადაც n არის სიმაღლე და a არის მხარე.

ჩანაცვლება და გამოთვლა იძლევა შემდეგ შედეგს: n = 6 √3 (სმ).

ეს ფორმულა არ საჭიროებს დამახსოვრებას. საკმარისია გვახსოვდეს, რომ სიმაღლე სამკუთხედს ორ მართკუთხედად ყოფს. უფრო მეტიც, ის ფეხია და მასში ჰიპოტენუზა არის ორიგინალის მხარე, მეორე ფეხი არის ცნობილი მხარის ნახევარი. ახლა თქვენ უნდა ჩაწეროთ პითაგორას თეორემა და გამოიღოთ სიმაღლის ფორმულა.

პასუხი: სიმაღლეა 6√3 სმ.

No3. Dan MKR არის სამკუთხედი, რომელშიც 90 გრადუსი შეადგენს K კუთხეს. ცნობილია MR და KR გვერდები, ისინი უდრის შესაბამისად 30 და 15 სმ. აუცილებელია გაირკვეს P კუთხის მნიშვნელობა.

გამოსავალი. თუ ნახატს გააკეთებთ, ცხადი ხდება, რომ MP არის ჰიპოტენუზა. უფრო მეტიც, ის ორჯერ აღემატება KR-ს ფეხს. ჩვენ კვლავ უნდა მივმართოთ თვისებებს. ერთი მათგანი ეხება კუთხეებს. აქედან ირკვევა, რომ CMR-ის კუთხე უდრის 30º-ს. ეს ნიშნავს, რომ საჭირო კუთხე P იქნება 60º-ის ტოლი. ეს გამომდინარეობს სხვა თვისებიდან, სადაც ნათქვამია, რომ ორი მახვილი კუთხის ჯამი უნდა იყოს 90º ტოლი.

პასუხი: კუთხე P არის 60º.

No4. იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედის ყველა კუთხე. მის შესახებ ცნობილია, რომ ძირის კუთხიდან გარე კუთხე არის 110º.

გამოსავალი. ვინაიდან მხოლოდ გარე კუთხეა მოცემული, მაშინ ეს უნდა იქნას გამოყენებული. იგი ქმნის გაშლილს შიდა კუთხით. ეს ნიშნავს, რომ მთლიანობაში ისინი 180º-ს მისცემენ. ანუ, სამკუთხედის ფუძის კუთხე იქნება 70º. ვინაიდან ის ტოლფერდაა, მეორე კუთხესაც იგივე მნიშვნელობა აქვს. რჩება მესამე კუთხის გამოთვლა. ყველა სამკუთხედისთვის საერთო თვისებით, კუთხეების ჯამი არის 180º. ეს ნიშნავს, რომ მესამე განისაზღვრება, როგორც 180º - 70º - 70º = 40º.

პასუხი: კუთხეები ტოლია 70º, 70º, 40º.

No5. ცნობილია, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის მოპირდაპირე კუთხე არის 90º. ბაზაზე მონიშნულია წერტილი. სწორ კუთხესთან დამაკავშირებელი სეგმენტი ყოფს მას 1-დან 4-ის თანაფარდობით. თქვენ უნდა იცოდეთ პატარა სამკუთხედის ყველა კუთხე.

გამოსავალი. ერთ-ერთი კუთხის ამოცნობა შესაძლებელია დაუყოვნებლივ. იმის გამო, რომ სამკუთხედი მართკუთხა და ტოლფერდაა, ისინი, რომლებიც მის ძირში დევს, იქნება 45º, ანუ 90º / 2.

მათგან მეორე დაგეხმარებათ იპოვოთ მდგომარეობა, რომელიც ცნობილია. ვინაიდან ის უდრის 1-დან 4-ს, მაშინ ნაწილები, რომლებზეც ის იყოფა მხოლოდ 5-ია. ასე რომ, სამკუთხედის უფრო მცირე კუთხის გასარკვევად საჭიროა 90º / 5 = 18º. რჩება მესამეს გარკვევა. ამისათვის გამოაკელი 45º და 18º 180º-ს (სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი). გამოთვლები მარტივია და თქვენ მიიღებთ: 117º.

სტანდარტული აღნიშვნები

სამკუთხედი წვეროებით ა, ბდა Cაღინიშნება როგორც (იხ. ნახ.). სამკუთხედს სამი გვერდი აქვს:

სამკუთხედის გვერდების სიგრძე მითითებულია პატარა ლათინური ასოებით (a, b, c):

სამკუთხედს აქვს შემდეგი კუთხეები:

შესაბამის წვეროებზე კუთხეები ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასოებით (α, β, γ).

ტოლობის ტესტები სამკუთხედებისთვის

ევკლიდეს სიბრტყეზე სამკუთხედი უნიკალურია (მდე თანხვედრა) შეიძლება განისაზღვროს ძირითადი ელემენტების შემდეგი სამეულით:

1. a, b, γ (ტოლობა ორ მხარეს და მათ შორის მდებარე კუთხე);
2. a, β, γ (ტოლობა გვერდში და ორ მიმდებარე კუთხეში);
3. a, b, c (ტოლობა სამ მხარეს).

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები:

1. ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ;
2. ორ ფეხზე;
3. ფეხისა და მკვეთრი კუთხის გასწვრივ;
4. ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით.

სამკუთხედის ზოგიერთი წერტილი "დაწყვილებულია". მაგალითად, არის ორი წერტილი, საიდანაც ყველა მხარე ჩანს 60 ° ან 120 °. მათ ეძახიან ტორიჩელის ქულები... ასევე არის ორი წერტილი, რომელთა პროექცია გვერდებზე დევს რეგულარული სამკუთხედის წვეროებზე. ეს - აპოლონიუსი მიუთითებს... ქულები და ისეთი, როგორიც ე.წ ბროკარდის ქულები.

პირდაპირი

ნებისმიერ სამკუთხედში, სიმძიმის ცენტრი, ორთოცენტრი და შემოხაზული წრის ცენტრი დევს ერთ სწორ ხაზზე, ე.წ. ეილერის სწორი ხაზი .

შემოხაზული წრის ცენტრსა და ლემუნის წერტილში გამავალ სწორ ხაზს ეწოდება ბროკარდის ღერძი... მასზე დევს აპოლონიუსის წერტილები. ასევე, ტორიჩელის წერტილი და ლემუნის წერტილი ერთ სწორ ხაზზე დევს. სამკუთხედის კუთხეების გარე ბისექტორების ფუძეები დევს ერთ სწორ ხაზზე, ე.წ. გარე ბისექტორების ღერძი... ორთოკუთხედის გვერდების შემცველი ხაზების გადაკვეთის წერტილები სამკუთხედის გვერდების შემცველ ხაზებთან ასევე დევს ერთ სწორ ხაზზე. ამ ხაზს ე.წ ორთოცენტრული ღერძი, ის პერპენდიკულარულია ეილერის წრფეზე.

თუ ავიღებთ წერტილს სამკუთხედის შემოხაზულ წრეზე, მაშინ მისი გამონათქვამები სამკუთხედის გვერდებზე იქნება ერთ სწორ ხაზზე, ე.წ. სიმსონი პირდაპირაა ეს წერტილი. სიმსონის დიამეტრულად საპირისპირო წერტილების ხაზები პერპენდიკულურია.

სამკუთხედები

• სამკუთხედს, რომელსაც აქვს წვეროები ჩევიანების ფუძესთან, გამოყვანილია მოცემულ წერტილში, ეწოდება ჩევიური სამკუთხედიეს წერტილი.
• გვერდებზე მოცემული წერტილის პროგნოზებში წვეროებით სამკუთხედი ეწოდება ხელქვეითან პედლებიანი სამკუთხედიეს წერტილი.
• წვეროებზე გამოსახული წრფეების გადაკვეთის მეორე წერტილებში სამკუთხედი და ეს წერტილი შემოხაზული წრით, ე.წ. გარშემოწერილობა ჩევიანის სამკუთხედი... წრეწირულ-ჩევიანი სამკუთხედი მსგავსია პოდდერნის.

წრეები

• ჩაწერილი წრე - წრეეხება სამკუთხედის სამივე მხარეს. ის ერთადერთია. ჩაწერილი წრის ცენტრს ე.წ incentrum .
• შემოხაზული წრე - წრე, რომელიც გადის სამკუთხედის სამივე წვეროზე. შემოხაზული წრე ასევე უნიკალურია.
• შემოხაზეთ - სამკუთხედის ერთ მხარეს ტანგენტიანი წრე და დანარჩენი ორი გვერდის გაგრძელება. სამკუთხედში სამი ასეთი წრეა. მათი რადიკალური ცენტრი- შუა სამკუთხედის ჩაწერილი წრის ცენტრი, ე.წ სპაიკერის აზრი.

სამკუთხედის სამი გვერდის შუა წერტილები, მისი სამი სიმაღლის ფუძე და სამი სეგმენტის შუაწერტი, რომელიც აკავშირებს მის წვეროებს ორთოცენტრთან, დევს ერთ წრეზე, ე.წ. ცხრა წერტილიანი წრე ან ეილერის წრე... ცხრა წერტილიანი წრის ცენტრი დევს ეილერის ხაზზე. ცხრა წერტილის წრე ეხება წრეს და სამ ყოფილ წერტილს. შემოხაზული წრის და ცხრაპუნქტიანი წრის ტანგენსი ეწოდება ფოიერბახის წერტილი... თუ ყოველი წვეროდან სამკუთხედის გარე მხარეს გამოვყოფთ გვერდების შემცველ სწორ ხაზებზე, ორთოზის სიგრძით მოპირდაპირე გვერდების ტოლი, მაშინ მიღებული ექვსი წერტილი დევს ერთ წრეზე - კონვეის წრე... სამი წრე შეიძლება ჩაიწეროს ნებისმიერ სამკუთხედში ისე, რომ თითოეული მათგანი შეეხოს სამკუთხედის ორ მხარეს და ორ სხვა წრეს. ასეთ წრეებს ე.წ წრეებს მალფატი... ექვსი სამკუთხედის შემოხაზული წრეების ცენტრები, რომლებშიც სამკუთხედი იყოფა მედიანასებით, დევს ერთ წრეზე, რომელსაც ე.წ. ლამუნის წრე.

სამკუთხედს აქვს სამი წრე, რომლებიც ეხება სამკუთხედის ორ მხარეს და წრეწირს. ასეთ წრეებს ე.წ ნახევრად დაწერილიან ვერიერის წრეები... სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებენ ვერიერის წრეების მიზიდულობის წერტილებს შემოხაზულ წრესთან, იკვეთება ერთ წერტილში, ე.წ. ვერიერის წერტილი... ის ცენტრს ემსახურება ჰომოთეტები, რომელიც შემოხაზულ წრედ გარდაქმნის. ვერიერის წრეების მიზიდულობის წერტილები გვერდებთან დევს სწორ ხაზზე, რომელიც გადის ჩაწერილი წრის ცენტრში.

შემოხაზული წრის მიტანის წერტილების წვეროებთან დამაკავშირებელი სეგმენტები იკვეთება ერთ წერტილში, ე.წ. წერტილი გერგონი და წრფის სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებს წვეროებს წრეწირების მიზიდულობის წერტილებთან, არის წერტილი ნაგელი .

ელიფსები, პარაბოლები და ჰიპერბოლები

წარწერიანი კონუსი (ელიფსი) და მისი პერსპექტივა

უსასრულოდ ბევრი კონუსი შეიძლება ჩაიწეროს სამკუთხედში ( ელიფსები , პარაბოლაან ჰიპერბოლა). თუ სამკუთხედში ჩაწერთ თვითნებურ კონუსს და დააკავშირებთ ტანჯვის წერტილებს საპირისპირო წვეროებთან, მაშინ მიღებული სწორი ხაზები იკვეთება ერთ წერტილში, ე.წ. პერსპექტივაკონუსები. სიბრტყის ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც არ დევს გვერდზე ან მის გაფართოებაზე, ამ წერტილში არის ჩაწერილი კონუსი პერსპექტივით.

აღწერილი ელიფსი შტაინერი და ჩევიანები, რომლებიც გადიან მის კერებში

ელიფსი შეიძლება ჩაიწეროს სამკუთხედში, რომელიც ეხება გვერდებს შუაში. ასეთ ელიფსს ე.წ წარწერიანი შტაინერის ელიფსი(მისი პერსპექტივა იქნება სამკუთხედის ცენტრი). აღწერილი ელიფსი, რომელიც ეხება გვერდების პარალელურად წვეროებზე გამავალ ხაზებს, ე.წ. აღწერილია შტაინერის ელიფსის მიერ... თუ აფინური ტრანსფორმაცია("Skewing") გადათარგმნეთ სამკუთხედი რეგულარულად, შემდეგ მისი შემოხაზული და შემოხაზული შტაინერის ელიფსი გადაიქცევა შემოხაზულ და შემოხაზულ წრეში. აღწერილი შტაინერის ელიფსის (სკუტინის წერტილები) ფოკუსებით დახატული ჩევიანები ტოლია (სკუტინის თეორემა). ყველა აღწერილი ელიფსიდან, აღწერილ შტაინერის ელიფსს აქვს ყველაზე მცირე ფართობი, ხოლო ყველა წარწერიანი ელიფსიდან ყველაზე დიდი ფართობი აქვს წარწერილ შტაინერის ელიფსს.

ბროკარდის ელიფსი და მისი პერსპექტივა - Lemoine point

ელიფსს ბროკარდის წერტილებში კერებით ეწოდება ბროკარდის ელიფსი... Lemoine წერტილი ემსახურება როგორც მისი პერსპექტივა.

ჩაწერილი პარაბოლის თვისებები

პარაბოლა კიპერტი

ჩაწერილი პარაბოლების პერსპექტივები დევს აღწერილ შტაინერის ელიფსზე. ჩაწერილი პარაბოლის ფოკუსი დევს წრეწირზე, ხოლო მიმართულება გადის ორთოცენტრში. პარაბოლას, რომელიც ჩაწერილია სამკუთხედში, რომელსაც აქვს ეილერის ხაზი, როგორც მიმართულება, ეწოდება კიპერტის პარაბოლა... მისი პერსპექტივა არის შემოხაზული წრის მეოთხე გადაკვეთის წერტილი და შემოხაზული შტაინერის ელიფსი, ე.წ. შტაინერის წერტილი.

კიპერტის ჰიპერბოლა

თუ აღწერილი ჰიპერბოლა გადის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილში, მაშინ ის ტოლგვერდაა (ანუ მისი ასიმპტოტები პერპენდიკულარულია). ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტების გადაკვეთის წერტილი ცხრა წერტილის წრეზე დევს.

გარდაქმნები

თუ წვეროებზე გამავალი სწორი ხაზები და გვერდებზე არ დევს რომელიმე წერტილი და მათი გაფართოებები აისახება შესაბამის ბისექტრებთან მიმართებაში, მაშინ მათი გამოსახულებებიც გადაიკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც ე.წ. იზოგონურად კონიუგირებული ორიგინალი (თუ წერტილი დევს შემოხაზულ წრეზე, მაშინ მიღებული სწორი ხაზები იქნება პარალელური). ბევრი წყვილი იზოგონალურად კონიუგირებულია მშვენიერი ქულები: წრეწირის ცენტრი და ორთოცენტრი, ცენტროიდი და ლემოინის წერტილი, ბროკარდის წერტილები. აპოლონიუსის წერტილები იზოგონალურად შერწყმულია ტორიჩელის წერტილებთან, ხოლო ჩაწერილი წრის ცენტრი იზოგონალურად არის კონიუგირებული თავისთან. იზოგონური კონიუგაციის მოქმედებით, სწორი ხაზები გადადის აღწერილ კონუსებში, ხოლო აღწერილი კონიუგები - სწორ ხაზებში. ასე რომ, კიპერტის ჰიპერბოლა და ბროკარდის ღერძი, ენჟაბეკის ჰიპერბოლა და ეილერის ხაზი, ფეიერბახის ჰიპერბოლა და შემოხაზული წრეების ცენტრების ხაზი იზოგონალურად არის კონიუგატები. იზოგონურად კონიუგირებული წერტილების კანქვეშა სამკუთხედების შემოხაზული წრეები ემთხვევა. ჩაწერილი ელიფსების ფოკუსები იზოგონურად კონიუგატურია.

თუ სიმეტრიული ჩევიანას ნაცვლად ავიღებთ შევიანას, რომლის ძირი გვერდის შუადან ისეა ამოღებული, როგორც ორიგინალის ძირი, მაშინ ასეთი ჩევიანაც ერთ წერტილში იკვეთება. შედეგად მიღებული ტრანსფორმაცია ე.წ იზოტომური კონიუგაცია... ის ასევე გარდაქმნის სწორ ხაზებს აღწერილ კონუსებად. გერგონისა და ნაგელის წერტილები იზოტომიური კონიუგირებულია. აფინური გარდაქმნების დროს იზოტომურად კონიუგირებული წერტილები გარდაიქმნება იზოტომურად კონიუგატებად. იზოტომური კონიუგაციის შემთხვევაში, აღწერილი შტაინერის ელიფსი წავა უსასრულოდ შორეულ ხაზამდე.

თუ შემოხაზული წრიდან სამკუთხედის გვერდებით მოწყვეტილ მონაკვეთებში ჩავწერთ გვერდებზე ტანჯულ წრეებს ჩევინების ძირში, რომლებიც გამოყვანილია გარკვეული წერტილით, შემდეგ კი ამ წრეების მიზიდულობის წერტილებს ვუკავშირებთ შემოხაზულ წრეს. საპირისპირო წვეროებით, მაშინ ასეთი ხაზები გადაიკვეთება ერთ წერტილში. სიბრტყის გარდაქმნას, რომელიც ემთხვევა მიღებულ წერტილს თავდაპირველ წერტილს, ეწოდება იზო-წრიული ტრანსფორმაცია... იზოგონალური და იზოტომური კონიუგაციის კომპოზიცია არის იზოცირკულარული ტრანსფორმაციის კომპოზიცია თავისთან. ეს შემადგენლობა - პროექციული ტრანსფორმაცია, რომელიც სამკუთხედის გვერდებს თავის ადგილზე ტოვებს და გარე ბისექტორების ღერძს უსასრულოდ შორეულ სწორ ხაზად გადააქვს.

თუ გავაგრძელებთ რომელიმე წერტილის ჩევიური სამკუთხედის გვერდებს და ავიღებთ მათ გადაკვეთის წერტილებს შესაბამის გვერდებთან, მაშინ მიღებული გადაკვეთის წერტილები განლაგდება ერთ სწორ ხაზზე, ე.წ. სამხაზოვანი პოლარულიამოსავალი წერტილი. ორთოცენტრული ღერძი - ორთოცენტრის სამწრფივი პოლარული; გარე ბისექტორების ღერძი ემსახურება ჩაწერილი წრის ცენტრის სამხაზოვან პოლარს. შემოხაზულ კონუსზე მდებარე წერტილების სამწრფივი პოლარული იკვეთება ერთ წერტილში (მოხაზული წრისთვის ეს არის ლემოინის წერტილი, შემოხაზული შტაინერის ელიფსისთვის - ცენტრი). იზოგონური (ან იზოტომური) კონიუგატისა და სამწრფივი პოლარულის შემადგენლობა არის ორმაგობის ტრანსფორმაცია (თუ წერტილი იზოგონურად (იზოტომურად) კონიუგატია წერტილის ტრიწრფიურ პოლარზე, მაშინ წერტილის სამწრფივი პოლარი იზოგონურად (იზოტომურად). ) შეერთებულ წერტილამდე დევს წერტილის სამწრფიო პოლარზე).

კუბურები

ურთიერთობები სამკუთხედში

Შენიშვნა:ამ მონაკვეთში, არის სამკუთხედის სამი გვერდის სიგრძე და,, არის კუთხეები, რომლებიც დევს შესაბამისად ამ სამი გვერდის საპირისპიროდ (საპირისპირო კუთხეები).

სამკუთხედის უტოლობა

არადეგენერაციულ სამკუთხედში მისი ორი გვერდის სიგრძის ჯამი მეტია მესამე გვერდის სიგრძეზე, გადაგვარებულ სამკუთხედში ის ტოლია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სამკუთხედის გვერდების სიგრძე დაკავშირებულია შემდეგი უტოლობებით:

სამკუთხედის უტოლობა ერთ-ერთი აქსიომაა მეტრიკა.

სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემა

სინუსების თეორემა

სადაც R არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი. თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ა< b < c, то α < β < γ.

კოსინუსების თეორემა

ტანგენტის თეორემა

სხვა კოეფიციენტები

სამკუთხედში მეტრიკული თანაფარდობები მოცემულია:

სამკუთხედების ამოხსნა

სამკუთხედის უცნობი გვერდების და კუთხეების გამოთვლამ, ცნობილებზე დაყრდნობით, ისტორიულად მიიღო სახელი. "სამკუთხედების ამონახსნები"... ამ შემთხვევაში გამოიყენება ზემოაღნიშნული ზოგადი ტრიგონომეტრიული თეორემები.

სამკუთხედის ფართობი

შემდეგი უტოლობები მოქმედებს ფართობისთვის:

ვექტორების გამოყენებით სივრცეში სამკუთხედის ფართობის გამოთვლა

სამკუთხედის წვეროები იყოს წერტილებზე,,.

შემოვიღოთ ფართობის ვექტორი. ამ ვექტორის სიგრძე უდრის სამკუთხედის ფართობს და ის მიმართულია ნორმალურის გასწვრივ სამკუთხედის სიბრტყეზე:

ვსვამთ, სად,, - სამკუთხედის პროექცია კოორდინატულ სიბრტყეებზე. სადაც

და ანალოგიურად

სამკუთხედის ფართობი არის.

ალტერნატივა არის გვერდების სიგრძის გამოთვლა (by პითაგორას თეორემა) და შემდგომში ჰერონის ფორმულა.

სამკუთხედის თეორემები

დეზარგის თეორემა : თუ ორი სამკუთხედი პერსპექტიულია (სწორი ხაზები, რომლებიც გადის სამკუთხედების შესაბამის წვეროებზე, იკვეთება ერთ წერტილში), მაშინ მათი შესაბამისი გვერდები იკვეთება ერთ სწორ ხაზზე.

სონდას თეორემა: თუ ორი სამკუთხედი პერსპექტიული და ორთოლოგიურია (ერთი სამკუთხედის წვეროებიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულარები სამკუთხედის შესაბამისი წვეროების მოპირდაპირე გვერდებზე და პირიქით), მაშინ ორთოლოგიის ორივე ცენტრი (ამ პერპენდიკულარების გადაკვეთის წერტილები) და პერსპექტივის ცენტრი მდებარეობს პერსპექტივის ღერძის პერპენდიკულარულ ერთ სწორ ხაზზე (სწორი ხაზი დეზარგის თეორემიდან).