Вписанная окружность определение. Вписанная окружность. Если дан «правильный»

В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях.

Тема: Окружность

Урок: Вписанная и описанная окружности

Прежде всего, речь идет о вписанных и описанных окружностях относительно треугольника. Мы подготовлены к этой теме, так как изучили свойства биссектрис и серединных перпендикуляров треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность (см. Рис. 1).

Рис. 1

Доказательство:

Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла - АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов и , таким образом, от трех сторон треугольника.

Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника - ОМ на сторону АС, OL - на ВС, ОК - на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны:

.

Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.

Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.

Итак, три биссектрисы треугольника пересекаются в точке, являющейся центром вписанной окружности.

Рассмотрим еще одну теорему, она касается точки пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Мы знаем, что они пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром описанной около треугольника окружности.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Итак, задан треугольник . Проведем серединный перпендикуляр р 1 к стороне треугольника ВС, р 2 - к стороне АВ, р 3 - к стороне АС (см. Рис. 2).

Согласно теореме о свойствах серединных перпендикуляров, точка, принадлежащая серединному перпендикуляру к отрезку, равноудалена от концов отрезка. Отсюда , т.к. точка Q принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС. Аналогично и . Таким образом, точка Q равноудалена от вершин треугольника. Отсюда QA, QB, QC - радиусы

Рис. 2

окружности, описанной около треугольника . Обозначим радиус за R. Точка О пересечения серединных перпендикуляров - центр описанной окружности.

Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника (см. Рис. 3).

Вспомним свойства точки, лежащей на биссектрисе угла.

Задан угол , его биссектриса - AL, точка М лежит на биссектрисе.

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Рис. 3

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL - биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Кроме того, катеты . Таким образом, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Итак, вернемся к четырехугольнику. Первым действием нужно провести в нем биссектрисы.

Все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке - точке О, центре вписанной окружности.

Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания (см. Рис. 3).

Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных: , , , .

Рис. 3

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:

Раскроем скобки:

Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Справедлива обратная теорема.

Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.

Заданы окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD. Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка - центр описанной окружности.

Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак. Рассмотрим угол ےА, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу и измеряется половиной градусной меры данной дуги (см. Рис. 4). Обозначим угол ےА за , тогда дуга . Аналогично обозначим противоположный угол ےС за , он вписан в окружность и опирается на дугу . Отсюда дуга .

Рис. 4

Дуги и составляют полную окружность. Отсюда:

,

Поделим полученное выражение на два, получаем:

Итак, мы доказали прямую теорему.

Теорема

Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет .

Это есть необходимый и достаточный признак, то есть справедлива обратная теорема.

Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет , около этого четырехугольника можно описать окружность.

На основании данных теорем отметим, что вокруг параллелограмма нельзя описать окружность, так как его противоположные углы равны, и их сумма не равна (см. Рис. 5).

Рис. 5

Около параллелограмма можно было бы описать окружность, если бы его противоположные углы были равны по 90°, то есть если бы он был прямоугольником, таким образом, около прямоугольника можно описать окружность (см. Рис. 6).

Рис. 6

Около ромба также нельзя описать окружность, но можно вписать, так как все стороны ромба равны, и таким образом, суммы противоположных сторон ромба равны.

Кроме того, у ромба каждая диагональ является биссектрисой, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон ромба (см. Рис. 7).

Рис. 7

Итак, мы доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника. Мы также доказали, что около любого треугольника можно описать окружность, и ее центр совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров. Кроме того, мы увидели, что в некоторые четырехугольники можно вписать окружность, и для этого нужно, чтобы суммы противоположных сторон четырехугольника были равны. Мы также показали, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность, и необходимым и достаточным условием для этого является равенство суммы противоположных углов .

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Uztest.ru ().
2. Mschool.kubsu.ru ().
3. Ege-study.ru ().

Домашнее задание

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Рисунок 1. Вписанная окружность

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Рисунок 3. Описанная окружность

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.

Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство (Длина отрезка равна радиусу окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности ().

Длина окружности:

Площадь круга:

Дуга окружности:

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда стягивает две дуги: и . Равные хорды стягивают равные дуги.

Угол между двумя радиусами называется центральным углом :

Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:

а) угол дан в градусах:

б) угол дан в радианах:

Диаметр, перпендикулярный хорде , делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:

Если хорды и окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой равны между собой:

Касательная к окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:

Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть :

Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть :

Углы в окружности.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом . Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

∠∠

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

∠∠∠

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны :

Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна

∠∠

Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:

Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник , если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле

здесь - полупериметр многоугольника, - радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны . Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника , если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:

Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:

Где - длины сторон треугольника, - его площадь.

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

И касается всех его сторон.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Свойства вписанной окружности:

  r = (− a + b + c) (a − b + c) (a + b − c) 4 (a + b + c) ; {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};} 1 r = 1 h a + 1 h b + 1 h c {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}

  где a , b , c {\displaystyle a,b,c} - стороны треугольника, h a , h b , h c {\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}} - высоты, проведённые к соответствующим сторонам ;

  r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p {\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}

  Где S {\displaystyle S} - площадь треугольника, а p {\displaystyle p} - его полупериметр.

  • Если A B {\displaystyle AB} - основание равнобедренного треугольника , то окружность, касающаяся сторон угла ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} в точках A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , проходит через центр вписанной окружности треугольника △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} .
  • Теорема Эйлера : R 2 − 2 R r = | O I | 2 {\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}} , где R {\displaystyle R} - радиус описанной вокруг треугольника окружности, r {\displaystyle r} - радиус вписанной в него окружности, O {\displaystyle O} - центр описанной окружности, I {\displaystyle I} - центр вписанной окружности .
  • Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A 1 и B 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 {\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}} .
  • Если точки касания вписанной в треугольник T {\displaystyle T} окружности соединить отрезками, то получится треугольник T 1 со свойствами:
    • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T 1
    • Пусть T 2 - ортотреугольник T 1 . Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
    • Пусть T 3 - серединный треугольник T 1 . Тогда биссектрисы T являются высотами T 3 .
    • Пусть T 4 - ортотреугольник T 3 , тогда биссектрисы T являются биссектрисами T 4 .
  • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен a + b − c 2 {\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}} .
  • Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d = a + b − c 2 = p − c {\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c} .
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно l c = r sin ⁡ (γ 2) {\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}} , где r - радиус вписанной окружности, а γ - угол вершины C.
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам l c = (p − c) 2 + r 2 {\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}} и l c = a b − 4 R r {\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}
  • Теорема о трезубце или теорема трилистника : Если D - точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC , I и J - соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC , тогда | D I | = | D B | = | D C | = | D J | {\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|} .
  • Лемма Веррьера : пусть окружность V {\displaystyle V} касается сторон A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} и дуги B C {\displaystyle BC} описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности V {\displaystyle V} со сторонами и центр вписанной окружности треугольника A B C {\displaystyle ABC} лежат на одной прямой.
  • Теорема Фейербаха . Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей , а также вписанной окружности . Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха .

  Связь вписанной окружности с описанной окружностью

  R R = 4 S 2 p a b c = cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ − 1 ; {\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}

  Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

  

  Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

  Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

  Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

  

  Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

  Площадь круга : S=\pi R^{2}

  Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

  

  Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

  

  Длину дуги можно найти по формуле:

  1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
  2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

  Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

  

  В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

  AN\cdot NB = CN \cdot ND

  

  Касательная к окружности

  Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

  Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

  Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

  

  Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

  AC = CB

  

  Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

  AC^{2} = CD \cdot BC

  

  Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

  AC \cdot BC = EC \cdot DC

  

  Углы в окружности

  Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

  \angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

  

  Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

  Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

  \angle AOB = 2 \angle ADB

  

  Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

  \angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

  

  Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

  

  Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

  \angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

  \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

  

  На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

  

  Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

  \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

  

  Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

  \angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

  

  Вписанная окружность

  Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

  В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

  

  Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

  Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

  S = pr ,

  p — полупериметр многоугольника,

  r — радиус вписанной окружности.

  Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

  r = \frac{S}{p}

  Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

  AB + DC = AD + BC

  

  В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

  

  Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

  r = \frac{S}{p} ,

  где p = \frac{a + b + c}{2}

  Описанная окружность

  Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

  В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

  Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

  Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

  \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

  

  Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

  

  Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

  R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

  R = \frac{abc}{4 S}

  a , b , c — длины сторон треугольника,

  S — площадь треугольника.

  Теорема Птолемея

  Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

  Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

  AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD